2nde Etude d’un triangle

Comment calculer le périmètre et l’aire d’un triangle ?

Bonjour à toi et bienvenue dans cette vidéo star en math. Ici Romain j’espère que tu vas bien.

Alors là nous avons un exercice plutôt niveau 2nde.
Donc si tu es en seconde c’est parfait parce qu’il va te faire revoir plein de formules importantes de cette classe.

Donc en fait on a un agriculteur qui possède un champ triangulaire dons les coordonnées des sommets sont :
A (-5 ; -2)
B (5 ; -2)
C (-3 ; 2)

Il y a 3 questions :
La première : il faut aider l’agriculteur à savoir quelle longueur de clôture il doit acheter pour protéger son champ.
ON nous dit que la clôture sera installée tout le long du bord du champ.

On va dans cette première vidéo résoudre cette première question et pour chaque autre question on fera une autre vidéo parce que ça concerne à chaque fois des formules distinctes et importantes.

Dans cette première question je pense que tu as compris qu’il fallait… Quand tu traduis la question, il faut en fait calculer le périmètre de ce champ triangulaire.
Parce que si tu obtiens le périmètre de ce champ, tu sauras quelle longueur de clôture l’agriculteur doit acheter.
D’accord ? C’est une autre façon en fait de dire, cette première question : calculez le périmètre du triangle.
Donc là, il va nous falloir calculer le périmètre de ce triangle.

Comment fait-ton pour calculer le périmètre d’un triangle ?
Le périmètre, je pense que tu sais ce que c’est hein ?
Quand je parle de périmètre, c’est le pourtour, c’est la longueur, en fait, de tous les côtés.
C’est la somme des longueurs de tous les côtés de notre triangle.

Je pense qu’un conseil important c’est dès que tu as un exercice dans lequel tu peux dessiner des choses, il faut le faire. Il faut tout simplement le faire.
Donc là on te parle de coordonnées de points, et bien je pense que ce sera beaucoup mieux de placer ces points dans un repère orthonormé, de voir un peu ce que ce champ triangulaire donne.
C’est ce qu’on va faire tout de suite.
C’est parti ! Nous allons placer nos trois points dans notre repère ici.
Donc là, je l’ai tout petit sur mon tableau mais quand tu dessines, toi, essaie de faire une figure assez grande, pas trop petite.
Essaie d’utiliser, autant que faire se peut, une règle. C’est important de ne pas trop dessiner à main levée pour avoir quelque chose de propre tout simplement.
Quand c’est propre sur ton dessin, c’est aussi propre dans ta tête. Donc c’estimportant.

Donc là, le A (-5;-2)
-5 c’est toujours les x. Tu sais ça hein ?
-5, là et tu descends, -2 et on arrive ici.
Là on va avoir notre point A.

Ensuite, le point B de coordonnées (5;-2).
Donc on a le 5 ici en x et -2 en y
Je pense que tu sais placer tes points, il n’y a pas spécialement de soucis pour ça.

Ensuite le C, et bien c’est -3 en x et 2, on va monter de 2.
Voilà.

Alors on va relier les points, on va obtenir, donc, ce triangle, ce champ, le champ de notre agriculteur, qui ressemble à ceci.
Donc une fois qu’il est dessiné, tu as vu, on y voit un petit peu plus clair.
Qu’est-ce qu’on pourrait supposer sur ce triangle ? Qu’est-ce que tu penses ?
Moi je pense que peut-être il est rectangle, ici, au niveau de C. Non ?
Il n’est pas isocèle, il n’y a pas deux côtés égaux, ni équilatéral, les trois côtés n’ont pas l’air égaux.
Peut-être que BC=AB mais bon on ne peut pas prouver, c’est juste des suppositions

Tu vois, je pense que ça vaut le coup, dès que tu fais quelque chose, en mathématiques particulièrement,d’essayer de regarder, de comprendre les choses, d’avoir un petit esprit critique comme on appelle ça.
Essayer de comprendre, sans savoir si c’est demandé ou pas, essayer de regarder par toi-même.
J’ai un triangle ici, tiens, je pense que ceci, cela, il est peut-être rectangle en C.
Tu vois, ça ne mange pas de pain de faire cette petite reflexion.

Donc là, ce qu’on va faire, et bien c’est tout simplement calculer les longueurs BC, BA, et AC.
Comment calcule-t-on la distance entre deux points ? Par exemple AB, on va commencer par celle-ci.
Et bien en seconde tu vois une formule par rapport à ça. La formule suivante :
Je vais la rappeler en noir , donc dans cette première question que nous sommes en train de résoudre, la formule pour calculer la distance entre deux points c’est la suivante :
« calcul mathematique »
Cette formule nous allons l’appliquer à notre cas.

Dans un premier temps on va calculer notre longueur AB.
Donc ce sera la plus simple parce qu’en fait, je pense que tu seras d’accord avec moi, on peut compter directement sur le graphique combien elle vaut.
Mais ce n’est pas ce que je t’encourage à faire parce que ce n’est pas une preuve vraiment.
Bon je pense que tu seras d’accord, on va compter quand même, parce qu’elle est horizontale ici, ça nous donnera une bonne idee de ce qu’elle vaut.
Donc en fait c’est 10 carreaux tout simplement. Parce qu’on a 5 à gauche de l’axe des y, 5 à droite donc ça fait 10 carreaux
Mais plus rigoureusement, il faut utiliser cette formule ici présente, et remplacer le xb et le xa, le yb et le ya par ce qu’ils valent.
Donc on va obtenir:
« calcul mathématique »

Tu vois c’est comme ça que je t’encourage toujours à appliquer une formule.
Tu la rappelles de façon générale, par exemple d’une autre couleur, avant.
Et après tu l’appliques à ton cas particulier. Tu vois en remplaçant bien les choses.
Donc la le xb : tu peux toujours répéter les coordonnées sur ton schéma. D’accord ? Donc B c’est (5;-2), A c’est (-5;-2) et C (-3;2).
Donc en fait, le xb, c’est 5. Donc on remplace:
« calcul mathématique »
Il ne faut pas se tromper, il faut bien mettre les parenthèses.
Maintenant, On fait notre calcul :
« calcul mathématique »
Tu vois qu’on retombe bien sur notre 10, heureusement.
Donc ça c’est la première longueur.

Et je t’encourage, maintenant que tu as bien compris comment on applique la formule, si tu n’avais pas réussi, à l’appliquer pour, par exemple, la longueur AC.
Maintenant on va aller un petit peu plus vite:
« calcul mathématique »
Tu peux toujours repeter avec les coordonnées si tu veux.
On va un petit plus vite, on remplace directement, On remplace par les coordonnées de nos points A et C.
On obtient racine de 20
Voilà donc pour notre 2ème longueur. Racine de 20, c’est un nombre qu’on va peut-être simplifier. 20, c’est 4 fois 5.
Je t’encourage à savoir simplifier ce genre de racine carrée, racine carrée d’un nombre entier comme ça.
Là, c’est facile en fait, j’ai fait une autre vidéo là-dessus, n’hésite pas à aller la voir : simplifier une racine carrée, tu peux peut-être la trouver avec ces mots clés.
« calcul mathématique »
Et ça donne 2racine de 5.
Tu vois c’est peut-être un nombre plus simple comme ça. C’est comme ça qu’on essaie de simplifier généralement nos racines carrées.

Ensuite, pour la dernière longueur, la troisième, c’est la longueur BC. Donc, on applique la formule:
« calcul mathématique »
La longue racine carrée il faut bien la garder longue, jusqu’au bout. Tu n’as pas le droit de la séparer en deux. Très important.
Parce que tu as un + . Tu as le droit de la séparer en 2 quand tu as un *. Mais quand tu as un + tu n’as pas le droit.
Donc ça, ça vaut, tout simplement, on va un peu vite donc :
« calcul mathématique »
En fait, tu peux remarquer peut-être, xc-xb qu’est c’est ?
C’est cette différence sur l’axe des x. tu vois? C’est de C à B horizontalement, il y a combien de carreaux?
En fait il y en a 8. Tu vas le retrouver ici ton 8.
« calcul mathématique »
ça correspond à quoi ce 2+2 ? 2+2 qui correspondait à yc-yb.
Et bien ça correspond à la longueur entre les 2 points mais verticale cette fois-ci. Tu as 4 carreaux. Et tu retrouves bien 4 ici.
« calcul mathématique »
En fait, ce que je veux te faire voir c’est que cette formule de la distance entre deux points, ça provient tout simplement du théorème de Pythagore.
Tu vois, la longueur BC, tu pourrais dessiner un triangle rectangle ici, avec ce point-ci.
Là tu vois, tu as un triangle rectangle, et dans le triangle rectangle pour calculer l’hypoténuse BC, c’est la longueur de ce côté là au carré plus la longueur de ce côté là au carré.
Donc en fait 8 carreaux au carré plus 4 carreaux au carré. Le tout racine carré.
Donc tu vois que c’est Pythagore en fait qui se cache derrière cette formule là. Donc là, on obtient:
« calcul mathématique »

Voilà donc pour les différentes longueurs. Donc là on a trouvé, on récapitule: 10, 2 racine de 5 et 4 racine de 5
La somme ça fait
« calcul mathématique »
Pour avoir ton périmètre. Donc la longueur de la clôture qu’il doit acheter c’est 10 + 6 racine de 5
Tu peux entrer ce nombre dans ta calculatrice, on va le faire quand même, pour avoir une estimation en mètres. On imagine que tout ça c’est en mètres.
« calcul mathématique »
Pour avoir un nombre décimal approché. Ben ça fait 23,4. Tout simplement, 23,4 mètres
Voilà donc pour le périmètre de ta clôture pour cette première question.

Coordonnées d’un point
2nde
Etude d’un triangle 2/3

Après avoir calculé le périmètre d’un triangle dans la première question, et bien dans cette vidéo nous nous attaquons à la deuxième question de cet exercice:
en fait on nous demande, de savoir si le champ de notre agriculteur, que j’ai dessiné ici, donc en rouge, a une forme de triangle rectangle.
Donc ce qui est sûr, c’est qu’il a une forme de triangle, mais est-ce qu’il a une forme de triangle rectangle ?
Alors là, il faut te remémorer une règle de collège, c’est même un théorème. Je pense que tu le connais. C’est la réciproque du théorème de pythagore.
En fait c’est ça qui nous permet de savoir si un triangle est rectangle ou pas.

Donc en fait, dès que tu as un triangle, tu ne sais pas s’il est rectangle au début. D’accord?
Et bien en calculant les différentes longueurs au carré, et si tu as l’égalité que je vais noter ici:
donc pour cette question 2:
Dans un triangle, en général, dans un triangle ABC,si tu as tout simplement :AB2 +AC2 =BC2
Là tu ne sais pas que BC est l’hypoténuse pour le moment. Donc l’hypoténuse, tu ne peux employer ce terme que quand tu sais déjà que ton triangle est rectangle.
Là tu ne sais pas qu’il est rectangle.
Donc si tu as ça, alors, là oui, ABC est rectangle en A. Et ça, c’est ce qu’on appelle la réciproque.
C’est-à-dire l’inverse, un petit peu, du théorème de pythagore : réciproque du théorème de pythagore.
Donc j’espère que ça te rappelle des choses. Je pense que tu as déjà vu ça.

Donc on peut faire un petit dessin si tu veux : le petit dessin, et bien c’est le suivant :
Donc au début, tu as un triangle, on ne sait pas qu’il est rectangle : hop ! tu as A, B, C
Donc ce que tu fais, c’est que tu calcules la longueur AB, tu la mets au carré, tu calcules la longueur AC, tu la mets au carré.
Et tu regardes si la somme de ces 2 carrés fait bien la longueur BC au carré qu’il faut que tu calcules et que tu mettes au carré.
Et si c’est le cas, s’il y a bien une égalité entre ces deux choses là, alors ton triangle est bien rectangle en A.
Et c’est seulement à la fin que tu pourras mettre ceci. ça marche ?

Et je te rappelle le théorème de Pythagore.
Le théorème de pythagore c’est quand tu sais, déjà au départ, que tu as un triangle rectangle, alors tu as cette relation là qui est vraie.D’accord ?
Donc c’est l’inverse, en fait, du théorème de pythagore tout seul.
Et la réciproque de pythagore, c’est quand tu ne sais pas qu’il est rectangle, et bien si tu as cette relation qui est vraie, alors, le triangle on peut dire qu’il est rectangle.

Donc ça c’est exactement ce théorème que nous allons appliquer.
Donc je te rappelle les différentes longueurs que nous avions calculées précédemment dans la première question.
Nous avions calculé, tu te souviens, avec la formule de la distance entre deux points, donc avec la longue racine carrée : une formule que je t’encourage vivement à connaître parce qu’est sert beaucoup.
Donc là, c’était 10, là, c’était 4racine de 5 et là, c’était 2racine de 5 pour cette longueur AC.
Donc nous bien sûr, ce n’est pas en A qu’il va être rectangle notre triangle. tu vois, à priori, il n’a pas l’air rectangle en A.
On va essayer de prouver qu’il est rectangle en C.

Donc pour ce faire, on va adapter, on va appliquer cette formule noire, ce théorème noir, à notre cas.
Toujours très important de bien adapter les règles que tu as dans ton cours à l’exercice.
Donc là, ce qu’on va faire, c’est pas démontrer exactement ceci, c’est démontrer, en fait, puisque nous on veut que AB soit l’hypoténuse, donc soit ce côté là en fait.
Et bien on va déjà calculer AB au carré.
En fait, pour démontrer ceci, pour démontrer cette partie là du théorème, tu le fais en 2 temps. Tu es obligé de faire 2 calculs.
Tu es obligé de faire le calcul de gauche : tout ça si tu veux. Et le calcul de droite.
Et après tu regardes s’il y a une égalité entre les 2.
C’est très important de procéder comme ça. Tu ne peux pas mettre qu’il y a un égal au début puisque justement le but c’est de savoir s’il y a une égalitéentre les deux.
Tu comprends la demonstration ?

Nous on veut AB carré.
Tu pourrais mettre comme ça sur ta copie. Tu fais un premier point et tu calcules AB carré :
AB carré, c’est tout simple : AB c’est 10 et donc AB carrré ça donne 100.
Voilà donc pour ce côté là du égal. Mais on ne sait pas encore s’il y a un égale.
Tu mets un deuxième point, tu fais le calcul, si tu veux, de gauche, ce calcul là. Et tu calcules la somme des deux autres côtés au carré.
à savoir, donc, 2 racine de 5, au carré plus 4racine de 5 au carré. Donc c’est parti, on fait ce calcul. Donc, tu vas d’abord commencer en écrivant avec les lettres :
« calcul mathématique »
Je te rappelle qu’un carré ce n’est rien d’autre qu’un nombre fois lui-même.
« calcul mathématique »

Je t’encourage vraiment à procéder lentement au début en mathématique, c’est très important.
Il faut aller lentement, il faut prendre son temps pour ne pas faire d’erreur. C’est très très important.
Si tu vas trop vite, c’est comme si tu faisais un grand bond, tu vois, si tu fais un grand bond dans la vraie vie, tu risques de ne pas arriver précisément à un point.
Tu vois ce que je veux dire, tu pourras te tromper. Ce sera un grand bond mais si tu n’es pas habitué à faire des grands bonds, tu vois, tu arriveras…
Le point où tu arriveras, il ne sera pas forcément très précis, ce n’est pas là forcément que tu voulais aller.
Par contre si tu fais des petits pas, si chaque petit pas est bien fait, et bien à la fin tu arriveras exactement là où tu veux.
Tu comprends, donc c’est pour ça que je t’encourage à procéder lentement.

Donc là on obtient :
« calcul mathématique »
Donc on tombe sur 100. Donc on a bien notre égalité ici.
Donc tu vois, sur ta copie tu dirais on a bien, après calcul, tu ne dois pas le dire au début, tu le dis vraiment après calcul des deux membres
On a bien l’égalité entre les 2.
Donc tu mettrais : d’après la réciproque du théorème de pythagore et bien on a, tout simplement, notre triangle ABC est rectangle en C.
ça marche ? J’espère que tu as bien compris cette petite démonstration toute simple.
C’est très important de bien faire les choses par étape. Et de bien comprendre la philosophie de cet enchainement ici. D’accord?
Donc voilà pour cette 2ème question de cet exercice. Donc c’est comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?
Une des premières façons qu’on voit dès le seconde et qui peut-être même provient du collège, c’est tout simplement appliquer la réciproque du théorème de pythagore.

Coordonnées d’un point
2nde
Etude d’un triangle 3/3

Dans les deux vidéos précédentes, nous avons fait les deux premières questions de cet exercice.
C’est-à-dire que nous avions calculé le périmètre de notre champ triangulaire.
Et on avait aussi, dans la 2ème question, dans la 2ème vidéo, démontré que notre triangle était rectangle en C.
D’ailleurs, on peut l’indiquer sur le schéma.
Très important, dans tous les exercices que tu fais, dès que tu démontres des questions, dès que tu fais des questions, en fait, tu peux reporter sur la figure les nouveaux resultats que tu viens de trouver.
C’est très important de, petit à petit, vraiment mettre à jour les informations de ta figure, comme ça vraiment, tu as toutes les données, tu peux bien visualiser tout ce qu’il faut sur ta figure, sur ton dessin.

Donc dans cette vidéo, nous allons tout simplement nous attaquer à la 3ème question, à savoir : calculer la surface de notre champ.
Donc pour calculer la surface d’un triangle, et bien il y a une bonne vieille formule.
Dans cette 3ème question, c’est très important que tu connaisses cette formule parce qu’elle revient vraiment dans beaucoup d’exercices de 2nde notamment mais aussi après, en 1ère et Terminal.
Et bien, cette formule c’est la suivante, pour n’importe quel triangle, qu’il soit rectangle, isocèle, équilatéral ou quelconque, la formule de l’aire d’un triangle, c’est la suivante:
Base fois la hauteur issue de cette base divisé par deux.
Une base qu’est-ce que c’est ? Une base c’est tout simplement l’un des côtés de ton triangle, et plus précisément dans cette formule, c’est la longueur d’un des côtés.

Tu choisis, l’un des côtés du triangle. Donc tu choisis l’un des côtés. Imaginons que nous par exemple on choisisse le côté AB. On a le droit.
Et après, donc le but, c’est d’avoir la longueur de la hauteur issue de cette base. Donc la longueur de la hauteur issue de notre côté AB.
Alors, si je dessine la hauteur issue de ce côté…
on peut le faire, sachant que la hauteur- très important de connaître ce terme hauteur dans un triangle- donc c’est la droite qui passe par le sommet opposé et qui coupe perpendiculairement ton côté.
Donc là, c’est cette droite là. Hop et donc la tu mets l’angle droit.
Donc nous, en fait ce n’est pas la longueur de la droite hein, longueur d’une droite ça ne veut rien dire, mais la longueur de ce segment ici, entre C et ce point, tu vois, la longueur ici.
Le problème, c’est que ce n’est pas du tout évident de connaître cette longueur.
Donc peut-être que sur le schéma tu pourrais dire que c’est autant de carreaux, c’est 4 carreaux mais ce n’est pas du tout une preuve.
En math, on ne se réfère pas précisément au schéma. Le schéma est juste là pour donner des idées et après on fait des preuves avec les informations qu’on a sur le schéma, avec les règles qu’on a de notre cours.
Là, ce n’est pas une preuve, de dire que cette longueur vaut 4.

Donc ce qu’il faudrait faire, peut-être, c’est plutôt utiliser une autre base.
Comme ça on pourrait peut-être avoir une hauteur qui est plus simple.
Par exemple si je prends le côté AC, et bien quelle est la hauteur issue de AC ?
La hauteur c’est la droite qui passe forcément par le point B, on est d’accord, et qui coupe AC perpendiculairement.
C’est tout simplement la droite BC parce que nous avions prouvé dans la 2ème question, et je l’ai mis là, qu’on a un angle droit ici, que le triangle il est rectangle en C.
Donc tu vois que la hauteur, je répète bien, issue de notre base AC, c’est donc la droite BC, parce qu’on a un angle droit rouge ici. Voilà.

Donc en fait, la hauteur issue de la base, quand tu choisis la base comme étant AC, c’est tout simplement la longueur BC.
Donc, c’est très simple, c’est ça que je veux dire, dans un triangle rectangle de calculer l’air parce qu’il suffit de bien choisir ta base et ta hauteur est directement donnée, en fait, c’est l’autre côté.
C’est pas l’hypoténuse, c’est l’autre côté.

Regarde je fais un autre schéma si tu veux. Je fais un triangle rectangle. Un petit schéma tout simple pour te montrer comment ça marche.
Donc là en fait, ce serait C. En fait je remets notre champ triangulaire ici, si tu veux. Ici on aurait tout simplement B et là on aurait A.
Là on a notre angle droit. Donc la tu fais tout simplement AC fois BC divisé par 2. Et voilà
C’est exactement ce calcul là que nous allons faire pour calculer l’aire de notre triangle.
Donc je répète bien, pour calculer l’aire d’un triangle rectangle, c’est tout simple d’appliquer cette formule là.
Tu aurais pu aussi très bien choisir comme base BC.
Et donc la hauteur issue de cette base, c’est forcément cette droite là, tu vois parce que c’est la droite qui est perpendiculaire à la base, -bon c’est pas très joli, mais je pense que tu comprends, qui est perpendiculaire ici – et qui passe par sommet opposé qui est A.
Donc la longueur de cette longueur, c’est ça, c’est donc AC.

Bref on revient toujours au même calcul, c’est que l’aire de notre triangle, vu qu’il est rectangle ici c’est simple d’appliquer cette formule.
Attention, cette formule elle est toujours valable, elle est valable pour n’importe quel triangle. Donc c’est ça qui est intéressant.
Donc l’aire ça donne, l’aire de notre triangle ABC :
« calcul mathématique »
ça va nous donner 20
ça y est, on a calculé la surface, ou l’aire, c’est pareil, de notre triangle.

Donc ici en mathématique tu sais qu’il n’y a pas vraiment d’unité.
j’aurais pu choisir l’unité mètre au tout début de l’exercice, pour bien clarifier les choses.
Mais bon en mathématique, on n’a pas vraiment besoin d’unité, enfin on ne les précise pas vraiment.

Donc voilà pour l’aire de notre triangle. J’espère que tu as bien compris comment on a appliqué cette formule. C’est ça qui est important.
Retiens bien cette formule de l’aire d’un triangle, qui marche pour n’importe quel triangle.
C’est pas idiot que ce soit AC fois BC divisé par 2 parce que tu vois, pour un triangle rectangle, si je prolonge un peu le triangle rectangle,tu vois, si je le reproduis de l’autre côté de l’hypoténuse.
je mets C’ ce point. Et bien tu vois tu obtiens le même triangle rectangle, et tu obtiens donc un rectangle.
Et tu te souviens que l’aire d’un rectangle c’est longueur fois largeur donc ça ferait BC fois AC, tu vois, l’aire de notre rectangle total.
Donc c’est pas idiot que l’aire du triangle bleu ce soit BC fois AC divisé par 2, c’est à dire la moitié de l’aire de notre rectangle.
Voilà, donc tu peux comprendre un petit peu cette formule qui est l’application de celle-ci pour un triangle rectangle, à l’aide d’un rectangle.

Voilà, j’espère que je ne t ai pas trop embrouillé avec toutes ces formules.
En tout cas la formule de base de calcul de l’aire d’un triangle c’est celle-ci.
Et nous donc on a appliqué notre formule noire à notre triangle rectangle et ça a donné quelque chose de simple.
Voilà pour le calcul. Donc c’est bon, l’agriculteur il connaît tout ce qu’il a à connaître sur son champ : le périmètre, il sait que son champ c’est un triangle rectangle et il sait aussi que sa surface, son aire.
Donc il peut calculer plein de choses à partir de ça et savoir ce qu’il doit acheter par exemple, comme engrais ou autre pour mettre sur son champ. D’accord ? quelle quantité ?
On pourrait même poursuivre l’exercice si on voulait.

Voilà pour cet exercice.