2nde Expression conjuguée du dénominateur

2nde Expression conjuguée du dénominateur

Comment utiliser une expression conjuguée pour démontrer une égalité?

Bonjour à toi et bienvenue sur Star en Maths TV. Ici Romain, alors dans l’exercice d’aujourd’hui, il faut démontrer quelque chose de tout simple. C’est qu’on a :

« Expression mathématique »

Alors tu sais que quand on te demande de démontrer une égalité comme ceci, et bien ça veut dire que tu n’as pas déjà l’égalité. Donc ici tu ne peux pas commencer par écrire :

« Expression mathématique »

Alors tu vas me dire que c’est peut-être un petit peu bête de te dire ça, mais je préfère te le dire parce qu’il m’est déjà arrivé d’avoir des élèves qui font cette erreur, qui supposent déjà les choses qu’il faut démontrer. En fait non, ici tu ne sais pas encore que tu as une égalité. Et le but de l’exercice, justement, c’est de démontrer qu’il y a effectivement une égalité, que les deux expressions sont effectivement égales. Donc, comment procéder pour démontrer une telle chose?

Et bien soit tu pars du membre de gauche et tu essaies de démontrer par une suite de calculs que tu arrives au nombre de droite, soit tu pars du membre de droite et tu essaies d’arriver par une suite de calculs au nombre de gauche. Et donc cette petite suite, que tu vas essayer d’établir, de trouver, ça constituera en fait ta démonstration, tu vois? C’est ça une démonstration mathématique.

Donc tu ne peux pas écrire l’équation dès le début, puisque c’est ce qu’on te demande de prouver, mais par contre tu peux reprendre bien sûr l’une des deux expressions, l’un des deux nombres, et essayer de prouver tout simplement qu’il est égal à l’autre par une série de calculs.

Donc ça c’était le point de vue raisonnement.

Maintenant, c’est comment on va faire vraiment pour démontrer cette égalité. Donc, moi je te le disais, ce que je te propose de faire, c’est de prendre l’un des deux membres et d’essayer de montrer qu’il est égal à l’autre. Donc, on va prendre ici le membre de droite. Bien sûr, rien ne t’interdit d’écrire ce nombre tout seul. Par contre tu n’as pas le droit de dire qu’il est égal à l’autre, évidemment.

Donc comment, en fait, on va démontrer que c’est égal à ça, sachant que ça – si tu l’observes un petit peu mieux, ce nombre à gauche – et bien tu vois que tu n’as plus de racine carrée de deux en dessous. C’est-à-dire que tu n’as plus de radical au dénominateur. Le dénominateur, bien sûr, c’est le nombre du dessous dans une fraction.

Donc, comment on va faire, à partir de ce nombre-là, où tu as une racine carrée de 2 au dénominateur – comment on va faire pour l’enlever? Et bien en fait il y a une astuce qu’on appelle la multiplication par l’expression conjuguée du dénominateur – c’est un petit peu compliqué à dire, je suis à fait d’accord avec toi – mais cette astuce te permet d’enlever la racine carrée de deux au dénominateur.

Donc ce que nous allons faire c’est de tout simplement, comme je te le disais à l’instant, ça c’est l’astuce théorique – en fait le nom de l’astuce, on va multiplier par l’expression conjuguée du dénominateur. Je vais te dire tout de suite ce que c’est.

D’une façon générale, qu’est-ce que c’est une expression conjuguée? Et bien quand tu as déjà une expression initiale qui est A + B, comme ici tu as cinq plus racine carrée de deux, et bien l’expression conjuguée de ceci n’est pas une égalité bien sûr c’est une autre expression, il n’y a pas d’égalité entre les deux, c’est tout simplement A (le premier terme de cette somme) mais plutôt que d’avoir un plus tu mets juste un moins, donc A – B, et ça c’est l’expression conjuguée de cette expression initiale ici. Ce qui veut dire que dans notre exemple, l’expression conjuguée du dénominateur est :

« Expression mathématique »

Donc ça, c’est l’expression conjuguée. Alors maintenant je te disais que l’astuce, elle consiste en la multiplication haut et bas par l’expression conjuguée. Donc là en fait ce que je vais pouvoir faire c’est de mettre un égal et dire que je multiplie haut et bas par un même nombre qui est l’expression conjuguée de ce dénominateur. Et j’ai le droit de le faire, de multiplier haut et bas ça ne change absolument pas une fraction – multiplier haut et bas par un même nombre, attention.

Et donc en multipliant haut et bas j’ai donc le droit de mettre une égalité, puisque les fractions que l’on va obtenir sont égales. On va donc obtenir :

« Calcul mathématique »

Donc ça, ce sont vraiment deux fractions égales. En fait tu pourrais simplifier cette fraction-là si tu la rencontrais toute seule, donc c’est bien une égalité.

Donc, maintenant ce qu’on va faire c’est d’aller un petit peu plus loin dans le calcul du numérateur et du dénominateur.

« Calcul mathématique »

Et la surprise, regarde, c’est bien ce qu’il faut démontrer, c’est-à-dire qu’au numérateur du nombre auquel on doit arriver, et bien il y a bien un cinq moins racine carrée de deux au-dessus. Et là, on en a déjà un! Donc déjà, c’est une bonne chose. Donc maintenant ce qu’il va falloir prouver c’est que le dénominateur, c’est-à-dire tout ceci, ce produit de deux facteurs, et bien ça vaut 23.

Donc en fait ce que je te propose de faire, et bien c’est de remarquer que c’est une identité remarquable, et que ici tu as (a + b) facteur de (a – b), sachant que le petit a c’est 5 et le petit b est racine carrée de deux tout simplement.

Sinon, si tu ne remarques pas que c’est une identité remarquable, pas de problème, il te suffirait de développer. Donc tu fais :

« Calcul mathématique »

Bref tu aurais pu développer, mais remarquer que c’est une identité remarquable va plus vite parce que cette identité remarque, tu te souviens que c’est aussi a carré moins b carré, sachant que je te disais à l’instant que le petit a est 5 et b c’est racine carrée de deux.

« Calcul mathématique »

C’est gagné! Voilà comment on a fait pour passer de là, avec une série d’égalités, à ce nombre-là final. Et donc on a bien démontré notre égalité, on a bien démontré que ce nombre-là est égal à celui-là.

Voilà, en conclusion, point de vue raisonnement, quand tu dois démontrer une égalité entre deux choses, et bien tu prends l’une des deux choses – celle qui te paraît la plus pertinente, la plus simple à utiliser, et tu démontres par une série d’égalité – comme on vient de faire ici – que tu arrives à ton autre nombre. Voilà. Et donc tu peux commencer par l’un ou par l’autre, je pense qu’on aurait pu tout aussi bien commencer par là, mais ça aurait peut-être été un petit peu plus difficile. En fait il suffisait de commencer par ce nombre de droite, finalement, ça c’est la deuxième chose que je voulais te dire dans cet exercice, une fois que je t’ai parlé du raisonnement. Et bien cette deuxième chose c’est la multiplication par l’expression conjuguée du dénominateur. C’est-à-dire que pour enlever une racine carrée qui t’embête au dénominateur, et bien c’est très simple, tu multiplies par son expression conjuguée (il suffit de mettre un moins au lieu d’un plus entre les deux – ou un plus s’il y avait eu un moins). D’accord? C’est juste une inversion, si tu veux, du signe. Et quand tu multiplies haut et bas par une expression conjuguée, et que tu as des racines carrées, tu remarques que tu tombes en fait sur cette identité remarquable ici. Et les carrés, ici, te permettent de faire disparaître la racine carrée du dénominateur, puisqu’elle devient un carré quelque part. Et donc elle apparaît au numérateur, c’est vrai, mais elle disparaît du dénominateur – et là c’est ce qu’il fallait faire comme opération.

Voilà j’espère que tu as compris cet exercice. Donc 1, comment démontrer une égalité, et 2, à quoi ça sert de multiplier par l’expression conjuguée du dénominateur, notamment quand tu as des racines carrées comme ici.