2nde Exprimer une longueur en fonction de x dans une figure avec des triangles

Donc là, je marque que c’est ça la question qu’on veut faire. On veut démontrer quoi finalement ? Une égalité, voilà MP= 5-x. Et comment on va justifier ça ? Est-ce que tu as une idée ? Qu’est-ce que tu vois sur ta figure qui te saute un peu aux yeux par rapport à tes connaissances ? Est-ce qu’il y a quelque chose qui te saute aux yeux ? Déjà, qu’est-ce que tu as comme figure géométrique toute simple dans ton schéma, sur celui-ci ?

Triangle ?

Voilà ! Un triangle qui est quoi d’ailleurs ? Lequel, parce qu’il y en a plein des triangles ?

OAB

Tu vois tu pourrais choisir plein d’autres triangles, tu pourrais choisir celui-là par exemple, avec le point rouge, on pourrait choisir celui-là, le total, le bleu. Bref, toi tu me parles de OAB. Très bien. Qu’est-ce qu’il est ce triangle ?

Il est rectangle ?

Oui et quoi d’autre d’ailleurs ?

Isocèle.

Voilà. Bon, ça, c’est bien. Qu’est-ce que tu connais sur les triangles rectangles, tu as plein de connaissances même sur le triangle rectangle. Dis une que tu as en tête comme ça.

Le théorème.

Oui, lequel ?

Thalès, non ?

Alors Thalès c’est pas tout à fait comme celui des triangles rectangles. Pas toujours.

C’est Pythagore.

Oui c’est Pythagore, donc on pourrait penser à Pythagore peut-être. Thalès, en fait, tiens !

Qu’est-ce qu’il faut pour qu’on puisse appliquer Thalès ? Comme conditions ?

Il faut un triangle, c’est vrai, mais il faut quoi d’autre ?

Il faut une droite parallèle à la base ?

Oui, exactement Lisa, c’est bien. Et là, qu’est-ce qu’on aurait comme droite parallèle à une base, quelle base tu pourrais choisir ?

OA

Et bien oui, c’est bien ça. Quelle est la droite qui est parallèle à OA justement ?

NM

NM, c’est brai, bon, pourquoi pas ? Voilà, et bien c’est parti on applique Thalès. Donc, sur ta copie, qu’est-ce que tu dirais ? Donc, quel triangle déjà ?

Dans le triangle OBA

OK, qu’est ce qu’on a comme conditions qu’il faut dire pour appliquer Thalès ?

Avec NM parallèle à OA

Alors NM est-ce que je le mets comme ça ou je mets autre chose comme symbole ?

Entre parenthèses

Oui, c’est très bien ça, c’est important, parce qu’entre parenthèses, ça veut dire que ce sont les droites. Ensuite, parallèle à OA. Voilà. Donc qu’est-ce que tu mettrais sur ta copie ?

Le théorème de Thalès

Oui, en fait c’est ça. Ce que je voulais t’entendre dire c’est comment tu formulerais la chose. En fait tu dirais, d’après le théorème de Thalès. Ok, donc là qu’est-ce qu’on va obtenir d’après le théorème de Thalès ? C’est ça qui est important, il faut s’en souvenir. C’est la connaissance très importante de cet exercice. C’est un peu la clé.

<Calcul mathématique>

Alors c’est quoi ce rapport, il est égal à quoi ?

<Calcul mathématique>

C’est très bien. Bon, n’oublions pas ce qu’on veut nous aussi. Nous on voudrait MP surtout. Alors MP c’est égal à quelle longueur en fait sur notre schéma ?

MP = NO

On ne l’a pas vraiment démontré, mais je pense que ton prof accepterait, tu es d’accord ? C’est clair et net que ces longueurs-là sont égales, parce qu’ici on a des angles droits et qu’en fait tout simplement OPMN est un rectangle donc ses côtés opposés sont clairement égaux. OK, donc nous, MP, on est d’accord que c’est NO. Le NO, il est où là-dedans ? Est-ce qu’on en a du NO ?

Non

Pas vraiment.

On va le faire avec MP plutôt.

MP oui ce serait pas mal, donc du coup comment on va appliquer le théorème de Thalès. Est-ce que c’est toujours avec les mêmes droites parallèles MN et OA ?

Non, avec NO et MP.

Oui, c’est ça exactement, donc on va plutôt faire ça comme ça. Ça va nous simplifier la vie, peut-être qu’on pourrait trouver avec ça, mais ça va peut-être être un peu plus long. Donc là on va réappliquer le théorème de Thalès, avec on a dit MP parallèle à NO, la droite NO, c’est d’ailleurs quelle autre droite ?

OB

Oui, c’est ça donc ce sont les mêmes. Donc les rapports qu’on va obtenir ce sont lesquels ? On part plutôt de quels points maintenant ? Ce n’est plus B, c’est A, tu vois ? Donc c’est toujours la plus petite distance sur la plus grande. Donc, MP/BO=AM/AB=AP/AO

Ok, comment on fait maintenant ?

On remplace par les longueurs qu’on connaît

Très bien tout à fait, alors qu’est-ce qu’on connaît ?

<Calcul mathématique>

L’intérêt d’un bon schéma c’est que tu vois normalement directement les choses. Tu as x là et là tu as le 5 <Figure>, <Calcul mathématique> donc je fais fois 5 des deux côtés, tu es d’accord. Donc ça, j’enlève ici, c’est le but. Ici les 5 s’enlèvent et c’est gagné. Tu as compris ? Voilà comment on a démontré notre petite égalité. C’est bien Isa, donc en gros tu vois, la figure en fait, c’était ça la clé, c’est qu’avec une bonne figure, tu essaies de regarder, de réfléchir sur ta figure. Tu as plein de choses que tu peux appliquer d’après tes connaissances. Tu as des triangles rectangles, tu as des droites parallèles donc tu peux déjà appliquer plein de Pythagore, plein de Thalès là-dedans. C’est ça qu’il faut faire, qu’il faut essayer de faire. Il faut quand même appliquer le bon, donc tu peux en essayer d’autres pour essayer d’appliquer Pythagore et de voir que tu n’arrives à rien, mais ce n’est pas grave, tu auras essayé quelque chose. Tu seras quand même partie de quelque chose qui est vrai, parce que tu peux appliquer Pythagore en effet, donc après tu essaies d’autres pistes, et là, la bonne piste c’était Thalès, dans le triangle OBA avec celle-là. Tu vois au début, on avait choisi une piste qui n’était pas forcément la meilleure. Thalès, avec cette droite-là (NM) et (OA). Donc, est-ce que tu comprends petit à petit l’élément déclencheur ? Est-ce que tu comprends qu’il faut que tu arrives toi, toute seule devant ta copie à réussir ça. Est-ce que tu comprends un petit peu comment faire ?

Oui

Donc, une bonne figure je te répète, et puis rapprocher ensuite tes connaissances de ça. Donc toi tu es là, tu es juste à côté de ta figure, tu es en train de regarder. Et donc, il faut que tu penses à toutes les connaissances que tu as sur cette figure-là. Est-ce que je peux appliquer Pythagore, tu as plein d’idées qui arrivent. Et tu choisis la meilleure idée que tu as, ou d’autres idées. Tu peux avoir d’autres idées, mais ce n’est pas grave, tu les appliques. Il y en a qui vont te mener à rien. Et là, il y a Thalès qui se balade dans tes connaissances et Thalès, effectivement, tu peux l’appliquer sur ta figure. Tu vois ? Voilà la démarche qu’il faut entreprendre. C’est ça que je veux aussi te transmettre petit à petit. Ce n’est pas juste des explications pour résoudre tes exercices, parce que résoudre quelque part ce n’est pas le plus important, quand on a trouvé les résultats, ce n’est pas le plus important. Il faut que toi tu y arrives après, sans moi. C’est ça qui est le plus important. Donc là, je ne sais pas, est-ce que tu avais déjà pensé un petit peu à Pythagore ou à Thalès quand tu as fait ta figure ? Pas trop ?

Pas du tout non.

Il ne faut pas les oublier ces théorèmes, parce que ce sont clairement des théorèmes qui servent encore. En gros, ce sont presque les seules connaissances de collège que tu as à retenir, avec quand même toutes les petites aisances, ou les petits réflexes qu’il faut que tu aies sur les calculs. En gros c’était ça le collège, vous avez fait un peu de calcul littéral donc, c’est ce qu’on a fait ici par exemple. Tu vois, il faut de l’aisance là-dessus. Donc là on améliore petit à petit, et il ne faut pas oublier les connaissances comme les théorèmes de Thalès et de Pythagore. Je vois que tu t’en souvenais donc c’était bien. Tu n’as pas eu l’idée de l’utiliser, mais tu te souvenais de ce que ça voulait dire ; de comment l’appliquer ? Donc ça, c’est très bien.