2nde Factorisation après développement

Comment factoriser une somme de termes sachant que tu reconnais des éléments commun sur chaque terme mais pas sur tous les termes ?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons factoriser une expression et cette expression c’est (x+1)²-2(x+1) +1. Alors tu sais que factoriser une expression ça veut dire la mettre sous forme de facteur et là tu vois bien que ton expression ce n’est pas un produit de facteurs parce que c’est tout simplement une somme. Tu as un moins là, un plus là. Bref, tu as une somme en fait de 3 termes :

Et donc ici tu reconnais tout simplement les opérations plus et moins donc en fait ton expression n’est pas mise sous forme de facteurs donc elle n’est pas déjà factorisée. C’est pour ça que cet exercice existe ! Donc comment on va factoriser cette expression ? Souviens toi que la méthode pour factoriser une expression qui est sous forme d’une somme de terme comme ici et bien c’est déjà de repérer dans chacun des termes, si chacun des 3 termes :

Déjà essayer de repérer un terme en commun, un élément plutôt en commun. Donc est ce que c’est le cas ici, est ce que dans le premier terme, le 2eme, le 3eme terme tu reconnais un élément, un sous élément commun. Et bien dans le 1er terme on reconnaît déjà un x+1 dans le 2eme terme il y a aussi un x+1 mais par contre pas dans le 3eme terme. Donc imaginons que le 3eme terme n’ai pas existé c’est-à-dire, s’il n’y avait pas eu « +1 » ici et bien tu aurais pu factoriser par x+1 et tout simplement dire que ces 2 choses là c’est tout simplement (x+1) (x+1)-2 mais là ce n’est pas possible par ce que derrière tu as encore le +1. Tu as transformé ton équation initiale qui comporte 3 termes en une expression qui comporte 2 termes mais c’est toujours une somme. Ici tu as un plus et donc ce n’est pas encore un produit de facteurs donc c’est peut être pas encore la bonne méthode ici puisque l’élément commun qu’on avait repéré c’est +1 mais tu ne le retrouves que dans le 1er terme, le 2eme terme mais pas le 3eme donc c’est peut être pas ça qui va falloir faire pour factoriser notre expression. Donc ce que je te propose de faire c’est de factoriser cette expression en tout vas pour essayer d’y parvenir c’est déjà de développer. En effet tu remarques qu’ici tu as une identité remarquable :

Tu vas obtenir une expression qui va être égale à celle-ci mais plus simple. Ensuite on va essayer de réfactoriser, toujours essayer de trouver des éléments communs dans ta somme de termes. Donc déjà 1ere chose on va développer et c’est ce qu’on fait :

Alors tu peux me demander oui Romain c’est très bien mais pourquoi on a développé d’abord notre expression ? Et bien attendons un petit peu elle est développée mais on va quand même la nettoyer un petit peu et essayer de la simplifier. On regarde ce que ça fait :

On va garder les X² au début, ensuite mettre les 2x ensembles. Ici on remarque qu’ici tu avais 2x et là tu as-2x donc ils s’annulent, ils se simplifient. Et de là même façon tu regardes ici, tu as 1 +1 ça fait 2-2 donc ça s’annule, ça fait 0. Donc tu as vu que ton expression elle s’est transformée en quelque chose d’extrêmement simple. Tout ce que tu avais au début ça s’est transformé en x².

Ça c’est déjà une forme factorisée parce que x² c’est tout simplement égal à x×x. c’est un produit de facteurs. Et là en fait l’exercice est terminé et tu as réussi à factoriser ton expression en là transformant en une expression égale mais qui est beaucoup plus simple et qui est x² donc tu vois on n’a même pas eu le temps d’appliquer la 2eme étape qui est tout simplement une factorisation classique dans laquelle tu essayes de reconnaitre..Tu as encore une somme de termes mais là ce n’est plus le cas, on n’a plus une somme. Quand tu as encore une somme de termes tu essayes de reconnaitre comme on avait essayé de le faire au début, des éléments communs dans chaque terme et si tu trouves un élément commun dans tous les termes tu peux factoriser par cet élément commun comme on avait essayé de la faire avec l’élément commun x+1 du début sauf que x+1 il n’était pas dans le 3eme terme c’est-à-dire 1.

Donc là tout simplement en essayant de développer notre expression on a montré qu’elle valait x² ça c’est déjà une forme factorisé de notre expression. Donc en fait ce que je voulais te dire dans cet exercice c’est que bien sur factoriser une expression ça passe par la reconnaissance d’un élément commun dans chacun des termes de ta somme car si ton expression n’est pas déjà un produit de facteur c’est une somme donc si tu as une somme de termes il faut essayer de factoriser, essayer de mettre sous forme de facteurs ton expression. C’est justement ça la factorisation et donc essayer de trouver un élément commun dans chacun des termes. On a essayé de le faire ici avec X+1 mais tu ne le retrouvais pas dans le 3eme terme et il n’y a pas d’autres éléments communs. Donc quand tu ne peux pas identifier un élément commun il faut essayer de nettoyer ton expression, de la simplifier ce qu’on a fait ici en développant. Tu développes en fait ici parce que tu avais dans chaque terme des petites formes factorisées. Ici (x+1)² c’est un produit de facteurs c’est tout simplement (x+1) × (x+1). Ça aussi c’est une forme factorisée donc pourquoi ne pas essayer de tout développer, de tout simplifier comme on l’a fait ici et en fait tu trouves x² à la fin donc c’est gagné. Ça c’est une forme factorisée. Voilà pour cet exercice de factorisation