2nde Factoriser à l’aide d’une identité remarquable

2nde Astuce pour factoriser un polynôme du second degré (1/2)

Comment factoriser un polynôme du second degré ?

Bonjour et bienvenue sur starenmathstv, dans l’exercice d’aujourd’hui c’est un exercice de factorisation il va falloir factoriser l’expression : x²-3x+2. Comment on appelle ce genre d’expression, et bien en fait on appelle ce genre d’expression un polynôme du second degré. Tout simplement parce que ici tu as une inconnue x et tu l’as retrouves au carré, ensuite tu l’as retrouves puissance 1 et ensuite puissance 0 c’est-à-dire il y a une constante.

En fait toute expression de la forme ax²+bx+c on appelle ça un polynôme du second degré et en première tu étudieras normalement un peu plus ces fonctions polynômes du second degré il y a aussi des fonctions polynôme du 3eme degré, 4eme degré. Bref, second degré ça vient de la puissance 2 ici. Quand tu as une puissance 2 au maximum on appelle ça un polynôme du second degré. Si c’était puissance 3 ce serait un polynôme du 3eme degré.

En tout cas il s’agit ici de factoriser 2 polynômes du second degré. En première tu verras des outils qui te permettront de factoriser des polynômes du second degré très facilement mais quand tu es en seconde et bien de prime abord ce n’est pas très évident de transformer cette expression qui est une somme en fait de ces termes :

<Formule mathématique>

Donc tu as une somme ici de ces 3 termes. Vu que tu as une somme déjà ce n’est pas un produit de facteurs. Biensur l’expression n’est pas déjà factorisée sinon l’exercice n’existerait pas. Donc l’idée pour transformer ceci en un produit de facteurs c’est-à-dire pour factoriser et bien l’idée générale pour factoriser tu sais bien que c’est chercher un élément commun dans les 3 termes ici qui sont les 3 termes de ta somme sauf qu’en regardant un petit peu plus près il n’existe pas d’élément commun dans les 3 termes. Certes tu as x qui apparait ici comme étant x×x c’est x², tu as x qui apparait ici aussi dans le 2eme terme mais sauf que tu n’as pas de x dans le 3eme terme donc x n’est pas un élément commun aux 3 termes et je ne vois pas d’autres élément qui pourraient être commun à ces 3 termes dans cette somme. Du coup quelle est l’astuce qui va te permettre de factoriser cette expression ?

Et bien là je vais te montrer une astuce vraiment spéciale qui utilise une identité remarquable et cette identité remarquable c’est la suivante :

<Formule mathématique>

Ici tu as un x² pourquoi en fait ne pas essayer d’adapter ce x² à ce a² et ensuite ton -3x pourquoi ne pas essayer de l’adapter à ton +2ab ou à ton -2ab mais on a vu que ces 2 identités remarquables là ce sont les mêmes c’est juste que b est remplacé par –b dans la 2eme ce sont les mêmes identités remarquables. Donc ce qu’on va essayer de faire en fait c’est transformer x²-3x donc juste ces 2 premiers termes là sur la somme de tes 3 termes du début en quelque chose qui ressemble à ça. Tu vois donc je te dis on va transformer ton x² donc je réécris si tu veux juste l’expression initiale.

<Formule mathématique>

Et ça regardons ce que ça fait tout de suite, donc je redéveloppe.

<Formule mathématique>

Et voilà, donc là on à une transformation qui est tout à fait intéressante parce qu’à quoi ça nous a servi tout ça, regarde bien,

<Formule mathématique>

Je vais te montrer tout de suite à quoi ça sert. Voilà ce que nous avons fait, nous avons pris les 2 premiers termes de ce polynôme du second degré et nous les avons identifié à ces 2 premiers termes dans cette identité remarquable là plutôt que (a+b) ² on a pris (a-b) ² puisqu’il y avait un moins ici. Donc on a trouvé que notre expression :

<Formule mathématique>

Tu vois que quand on redéveloppe cette partie entourée en rouge on retrouve bien x²-3x donc il y a bien une égalité entre ces 2 choses là et donc biensur le +2 subsiste entre là et là tout simplement. Tu vas me dire, c’est bien joli d’avoir fait ça mais à quoi ça sert et bien c’est ce à quoi je voulais te répondre tout simplement :

<Formule mathématique>

Tu vois on a transformé déjà toute notre expression initiale en ceci, donc ce n’est pas fini allons plus loin. On garde :

<Formule mathématique>

Là tu vas me dire, c’est toujours pas factorisé parce qu’on a encore 2 termes qui sont ces 2 termes là. Donc ça reste toujours une somme même s’il y a un moins. Moins c’est toujours une somme c’est + (-1/4) si tu veux. Là on n’a toujours pas fini l’exercice, on n’a toujours pas factorisé. Oui mais là intervient une autre identité remarquable parce que tu connais cette identité remarquable qui est :

<Formule mathématique>

Je vais noter ça de façon un petit peu différente :

<Formule mathématique>

En fait on va nettoyer un peu ce qu’il y a dans les parenthèses et tu auras transformé tout ça qui est une somme de 3 termes donc pas du tout un produit de facteurs en un produit de facteurs donc tu auras bien factorisé ton expression. On termine :

<Formule mathématique>

Tu as vu qu’on a réussi à factoriser notre expression c’est exactement ce qu’on voulait faire donc je vais te rappeler un petit peu l’astuce, la méthode qui permet de factoriser ce genre d polynôme du second degré.