2nde Factoriser une expression

2nde Factoriser une expression

Comment factoriser une expression ?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui on va faire une opération mathématique très importante, sur des expressions algébriques qui est l’opération de factorisation. En fait on va factoriser une expression et cette expression c’est celle-ci :

<calcul mathématique>

Alors comment factoriser une telle expression on verra ensuite à quoi pourrait servir une factorisation parce que c’est bien joli de dire factorisez moi ceci, factorisez moi cela mais en fait ça sert en mathématique de factoriser une expression. Tu vas voir.

Alors déjà, comment on va pouvoir factoriser ça ? Déjà qu’est ce que c’est que factoriser quelque chose ? Factoriser quelque chose ça veut dire mettre en commun dans plusieurs termes quelque chose. C’est-à-dire trouver dans des termes différents un terme en commun. Alors ici déjà combien de termes vois tu ?

En fait on appelle « terme » les 2 éléments qui font partie d’une opération moins ou plus et entre mes 2 doigts il y aurait un plus et un moins. Mes 2 doigts sont les termes de l’addition ou d’une soustraction. Alors ici, dans l’expression présente quels sont les termes que tu vois et combien il y en a ?

En fait je vais te le dire, ici tu vois qu’il y a un moins et que le reste du temps il y a des parenthèses ici on pourrait mettre si tu voulais des crochets ça ne changerait rien mais en fait ce qui est fait entre parenthèses ça doit être calculé en premier tu es d’accord et ici on aurait des crochets aussi. Donc finalement ça c’est un premier terme et ça c’est un deuxième terme.

Donc toute notre expression finalement c’est une soustraction parce qu’il y a un moins au milieu et on soustrait à tout ce premier terme là le second terme. Donc mettre en facteur comme je te le disais au début c’est trouver l’élément en commun dans tous les termes. Alors qu’est ce que tu vois de commun dans ces termes là ? Au premier regard c’est pas évident à voir. Alors pourquoi ce n’est pas évident à voir ? Parce que ici tu as x+2, tu as x+3 ici tu as 2x+4 ici, bon à priori ces 2 choses là n’ont rien à voir avec x+2. Pareil pour 5x-3. Quand tu regardes 5x-3 et bien ça n’a pas grand-chose à voir avec x+3 et n’ont plus avec 2x+4.

En fait il faut regarder d’un petit peu plus près. Si on reprend x+2, est ce que ça a un rapport avec x+3 ? Oui mais ça n’a pas un rapport qui peut nous intéresser pour mettre en facteur. En revanche si tu compares x+2 et 2x+4, là tu vas trouver quelque chose d’intéressant. En effet parce que 2x+4 je vais le renoter ici :

<calcul mathématique>

C’est ça qu’il fallait faire. C’est-à-dire qu’il faut trouver en regardant de très près parfois l’élément commun dans chacun des 2 termes. Là, en regardant de plus près :

<calcul mathématique>

Voilà, on a factorisé notre différence ici puisque il y avait une opération moins. C’était une expression qui était mise sous forme d’une différence et bien on l’a transformé en un produit de facteurs. Alors, je te disais au début que la factorisation c’est souvent très utile et notamment quand tu cherches à résoudre une équation et là c’est très utile dans le cas notamment ou tu veux résoudre l’équation tout ceci égal 0. Là, comment tu ferais ? Tu pourrais développer mais tu trouverais si tu regardes bien des x au carré ici puisque tu aurais x fois 5x, ça fait 5x². Tu aurais des x au carré ici aussi donc bref tu trouverais des équations du second degré et ça en seconde tu ne sais pas vraiment résoudre alors que quand tu as un produit de facteurs qui est nul, puisqu’on a transformé tout ça en un produit de facteur qui est celui-ci.

<calcul mathématique>

En essayant de développer ici tu n’aurais pas réussi, en tout cas en seconde c’est beaucoup plus difficile. Donc voilà l’intérêt de la factorisation.