2nde Fonction croissante ou fonction décroissante ?

Vidéo 15: 2nde Fonction croissante ou fonction décroissante ? (1/2)

Comment étudier la monotonie d’une fonction sur un intervalle donné?

Bonjour, et bienvenue sur Star-en-Maths TV. Alors aujourd’hui, dans l’exercice, qu’est-ce que l’on te demande? On te demande d’étudier la monotonie de la fonction F définie par :

<calcul mathématique>

sur l’intervalle <calcul mathématique>

Alors qu’est-ce que la monotonie d’une fonction – qu’est-ce qu’une fonction monotone? Alors en fait, une fonction monotone, c’est une fonction qui est soit croissante, soit décroissante, sur l’intervalle considéré.

Donc en fait l’énoncé te donne un indice sur la variation de la fonction sur cet intervalle; elle est soit croissante, soit décroissante.

En seconde, comment as-tu appris à déterminer si une fonction est croissante ou décroissante? Et bien, en fait je vais te faire un petit rappel de cours en noir ici dans cette vidéo. Généralement, pour montrer qu’une fonction est croissante, tu prends deux nombres A et B tel que :

<calcul mathématique>

Alors A et B appartenant à l’ensemble de définition de la fonction, d’accord? Donc on va le vérifier ensuite, mais pour l’instant je fais un petit rappel de cours théorique.

Une fois que tu as choisis ces nombres-là, pour montrer que la fonction est croissante, il faudrait que tu montres que tu as :

<calcul mathématique>

Et cela signifie que F est croissante. D’accord, puisque tu auras choisi A et B qui sont n’importe où dans l’ensemble de définition, de façon bien sûr à ce que tu ais A qui est inférieur ou égal à B. Et si tu arrives à montrer cela, et bien ça veut dire que F est croissante.

Si, en ayant choisit :

<calcul mathématique>

tu montres que – toujours en utilisant la définition de la fonction –

<calcul mathématique>

Dans ce cas tu auras montré que F est décroissante.

En fait ce que cela veut dire, c’est que tu prends des nombres sur l’axe des abscisses – imaginons un petit graphique ici :

<graphique>

Tu es d’accord que B est égale ou supérieur à A, tels qu’ils sont placés sur l’axe des abscisses. Et bien si j’obtient que :

<calcul mathématique>

Cela veut dire que tu vas obtenir un premier point, d’abscisses A et d’ordonnée F(a), et un deuxième point qui est forcément plus haut que le premier point. Pourquoi? Et bien parce qu’il a une ordonnée F(b) qui est supérieure à F(a) puisque tu vois bien que sur l’axe de ordonnées, le point est plus haut que F(a).

Donc cela veut dire, puisque la flèche de l’axe des ordonnées va vers le haut, que l’image de B par F est supérieure à F(a).

Et cela veut bien dire, quand tu as deux points comme ceci – si je fais un trait qui relie les deux – que le trait monte vers le haut. Donc, la fonction est croissante. Et si tu trouves, toujours avec A inférieur à B, cette fois-ci que F(a) est supérieure à F(b), cela veut dire que le deuxième point sera en-dessous du premier point. Donc, tu comprends que la fonction est décroissante.

Donc voilà pour le rappel de cours – et c’est ce que l’on va essayer d’appliquer, nous, dans l’autre exercice.

Donc comment appliquer ce que l’on vient de voir à notre exercice?

Nous on cherche à savoir si F est monotone. Alors monotone ça veut dire soit croissante, entièrement sur l’intervalle -5,-2, soit entièrement décroissante.

Donc nous on va prendre A – soit :

<calcul mathématique>

Alors avant tout, petite chose que je n’ai pas dite, c’est que l’ensemble de définition de la fonction F ici, et bien quel est-il? L’ensemble de définition de la fonction F c’est R tout entier, privé du nombre qui fait que le dénominateur s’annule.

En fait en mathématique tu ne peux pas diviser par zéro. Donc lorsque X sera tel que

<calcul mathématique>

et bien on ne pourra pas calculer F(x).

Et si tu regardes – je vais le calculer rapidement – donc je fais :

<calcul mathématique>

Ça, c’est le seul nombre qui ne fait pas parti de l’ensemble de définition de F. Donc l’ensemble de définition de F, on va noter ici à droite :

<calcul mathématique>

Cet ensemble aussi on peut le noter, si tu n’as pas l’habitude de cette notation,

<calcul mathématique>

Et donc nous, il n’y a aucun problème, notre intervalle -5,-2 fait entièrement parti de l’ensemble de définition de F – il n’y a pas de valeur interdite dans cet intervalle-là.

2nde Fonction croissante ou fonction décroissante ? (2/2)

Nous on prend donc a et b appartenant à -5 et -2 et on va essayer de comparer :

<calcul mathématique>

Bon alors tu es d’accord que comparer ces 2 nombres tels qu’ils sont, c’est vraiment pas évident comme ceci. Donc si tu veux montrer que f(a) et supérieur ou égal à f(b) ou à l’inverse que f(a) est inférieur ou égal à f(b) il serait peut être bien en fait d’étudier la différence des 2 nombres.

<calcul mathématique>

Donc, essayons maintenant de développer au numérateur parce qu’en fait tu vas te rendre compte tout de suite que le dénominateur ici ceci fois ceci est positif. En effet puisque les nombres ici a et b on les à pris dans [-5 ; -2] et tous les nombres entre -5 et -2 sont négatifs. Donc tu es d’accord que -4a, a est négatif donc -4 fois un nombre négatif ça fait un nombre positif puisque le produit de 2 nombres négatifs ça donne un nombre positif. Donc ça c’est positif puisque ajouter 5 à un nombre positif ça reste un nombre positif et pareil pour ça, donc le produit de ces 2 là, qui sont 2 nombres positifs ça donne un nombre positif. Donc il nous reste plus qu’à étudier le signe au numérateur et on va voir si c’est négatif ou positif. Donc pour ce faire, ce qu’on va faire, c’est qu’on va développer.

<calcul mathématique>

Voilà comment on prouve dans notre exercice ici que f est croissante. Donc l’idée c’est toujours de comparer en supposant au départ que inférieur ou égal à b, de comparer f(a) et f(b). Voilà la méthode générale.