2nde
Interprétation des solutions d’une équation du 2nd degré.
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo star en maths. Ici Romain, j’espère que tu vas bien.
Dans cette vidéo nous allons apprendre à résoudre une équation du second degré, donc en 2nde, après avoir obtenu la forme factorisée du trinôme.
Donc en fait l’exercice va se décomposer en trois questions :
La première ça va être de démontrer une égalité, qui va te donner la forme factorisée de ton trinôme.
La deuxième question ça va être de résoudre l’équation du second degré, en passant par la forme factorisée que l’on vient d’obtenir à la première question.
En fait ça va revenir à une équation produit nul, ça va être très simple à résoudre.
Et la troisième et dernière question ça va être d’interpréter graphiquement les solutions de l’équation f(x)=0 sachant que le f(x) dans cet exercice c’est ce fameux polynôme de 3ème degré, qu’on appelle aussi trinôme.
Juste une petite précision aussi à propose de cette vidéo, je suis avec l’un de mes élèves en fait dans le cadre du programme star en math 2nde.
Donc n’hésite pas du tout à te mettre dans la même situation que lui et à répondre aux questions que je lui pose.
Si vous avez une calculatrice près de vous c’est mieux, comme ça on va tous pouvoir tracer la fonction.
Donc on va la tracer. Donc vous allez dans le menu graphique et vous mettez y1, ça dépend, moi j’ai une casio, y1=x2-2x-3
Ça va, tu arrives à la rentrer en même temps que moi ?
Donc en fait, voilà, on dessine. Et du coup, répète un peu ta question :
Alors on me dit de déterminer graphiquement les coordonnées des points communs de la parabole de f(x) et de l’axe des abscisses.
Voila, en gros, qu’est-ce qu’on te demande de trouver, si on résume tout ça? ON te demande de trouver les points ou ça coupe l’axe des abscisses.
Voilà c’est ça.
Et du coup tu as trouvé quoi comme point ? Premier point ? À gauche.
J’ai trouvé -1 et 3.
Ouais, alors tu sais Laurent que j’aime bien préciser que quand on parle d’un point, c’est plutôt 2 coordonnées un point.
Le premier point, c’est tout simplement le point de coordonnées (-1, 0) et le
Alors la deuxième question c’est :
Montrez que pour tout x, f(x)= (x+1)(x-3)
Alors comment tu vas démontrer ça ? Ça je l’ai mis en rouge pour dire c’est ce qu’on veut démontrer, je mets surtout un point d’interrogation.
Comment tu vas faire pour démontrer ça ?
En fait je ne sais pas vraiment, je pensais qu’il fallait utiliser les coordonnées de la question précédente.
Alors c’est une bonne idée de penser aux résultats de la question précédente. Ça peut servir dans les exos de math.
C’est bien de penser à utiliser le résultat précédent. Mais là, tu n’as pas besoin. Il y a aussi des questions qui n’utilisent rien d’avant, tu sais bien.
Là, en fait ce qu’il faut faire, il faut que tu démontres une égalité. D’accord ? Donc comment tu pourrais démontrer l’égalité entre ces deux choses ? La chose bleue et la chose rouge ?
D’abord j’écris l’égalité entre les 2.
Ben non, justement tu n’as pas le droit d’écrire que c’est égal au début, vu que tu veux démontrer que c’est égal à la fin.
Tu vois quand tu veux démontrer quelque chose, tu n’as pas le droit de l’écrire au début. Tu comprends ?
Ce qu’il faut faire, quand tu veux démontrer que A=B en général, et bien soit tu pars de A, tu le calcules tu fais des trucs dessus, tu fais une succession d’égalités et à la fin tu arrives à B
Soit, deuxième façon de faire, tu pars de B et tu calcules et tu arrives à A.
Donc c’est ça qu’il faut faire, dans cette question là. Il faut que tu démontres l’égalité comme ça.
Donc du coup tu partirais duquel à ton avis ? Lequel te semble le plus calculable ?
Le deuxième.
Ouais c’est ça, le deuxième. Donc qu’est-ce que tu vas écrire sur ta copie ? Tu commencerais par écrire quoi ?
(x+1)(x-3) égal, tout simplement, et là, tu commences à développer ton calcul. Et après à la fin et bien on espère tomber sur x2-2x-3 qui est égal à f(x).
C’est parti. Tu vas voir que ça va marcher évidemment. Donc on va développer ça.
Je t’encourage à développer comme ça. Tu peux mettre les petites flèches au crayon à papier.
Donc tu fais ça, ensuite ça, tu es d’accord ? C’est parti
« Calcul mathématique »
Et comme par hasard tu tombes sur f(x). Ça marche ?
C’est juste ça. C’est que ça, ce n’est pas très compliqué.
On passe à la suite.
La troisième question c’est résoudre l’équation f(x)=0 et interpréter graphiquement le resultat obtenu.
Donc la on va résoudre l’équation f(x)=0. Alors, comment tu vas résoudre ça ?
Ben on va faire x2-2x-3 =0
Ça c’est vrai, je l’écris en dessous, c’est la même chose que ça. Mais du coup, tu as vu il y a une question précédente, tu peux peut-être utiliser le resultat de la question précédente.
Ça vaut quoi x2-2x-3 ?
Ah oui ! Vu qu’on a prouvé que (x+1)(x-3) égal à ça et bien on peut mettre directement (x+1)(x-3)=0
Voila, c’est ça qu’il faut faire, il faut utiliser le resultat. On utilise les trucs qu’on trouve.
Voila et ça c’est l’équation que tu veux résoudre. C’est très bien Laurent. A partir de ça qu’est-ce qu’il faut faire ?
Là tu as une belle équation qu’on appelle, je ne sais pas si ça te dit quelque chose, ça a un nom, pas très compliqué, qui commence par un p avec un r
Équation « produit nul » en fait, c’est un produit qui vaut 0. C’est juste un nom qu’on donne à ce type d’équation là.
Et ça c’est des équations qui sont ultra faciles à résoudre, parce que, qu’est-ce que ça donne comme solutions ?
Est-ce que tu te souviens de comment on résout ça ?
Ben, c’est soit l’un est égal à 0 soit l’autre est égal à 0
Oui, exactement, c’est ça. C’est la bonne vieille règle de collège, je pense que tu as déjà du voir ça au collège.
C’est-à-dire que si tu as un produit de facteurs qui vaut 0, alors l’un au moins des facteurs vaut 0.
Donc là, ça te donne quoi exactement ? Premier facteur égal 0
Soit x+1=0, donc x=-1
Très bien, première solution
Soit x-3=0, donc x=3
C’est parfait. Tiens, est-ce que ce n’est pas les abscisses des points que tu avais trouvés, des points d’intersection ?
Ah oui.
Donc en fait, regarde, quand tu résous cette équation là, f(x)=0 qu’est-ce que ça veut dire graphiquement ? Qu’est-ce que tu cherches en fait ? Qu’est-ce que tu veux trouver avec cette équation ?
Le moment où la courbe coupe l’axe des abscisses.
Exactement, c’est ça. Le moment, on peut préciser ce que c’est que le moment, et bien c’est les x en fait, c’est les x pour lesquels la courbe coupe l’axe des abscisses.
Evidemment, tu retrouves ton -1 et ton 3 que tu avais trouveds sur la calculatrice.
Ce qu’on disait c’est que ça donne, pas une montagne ici, mais ça donne un bol parce que le a, tu as vu, le a il vaut combien ici ? Il vaut 1.
Et donc ça donne une parabole qui est tournée vers le haut. Elle ouvre ses bras si tu veux, vers le haut, tu vois, c’est le signe de a qui te dit ça.
Peut-être que tu as vu ça, c’est des petites notions que l’on voit au fur et à mesure en 2nde et on les précise vraiment en première.
Et c’est une question assez classique, tu as vu ce qu’on a fait ici
Ça il faut savoir faire, et attention au début, il ne faut surtout pas mettre que f(x) = (x+1)(s-3) parce que tu ne sais pas que c est égal à f(x).
Tu vois on l’a mis à la fin, pas au début. Ça c’est une petite erreur que parfois on peut faire mais il ne faut pas la faire.
Il faut juste développer l’un des membres et à la fin tranquillement, tu arrives, c’est égal à f(x) voilà.
Tu aurais pu partir du début aussi mais bon, partir du début ce n’est pas facile parce qu’il aurait fallu que tu factorises et factoriser ça, c’est moins facile.
Donc souvent, ce que je voulais dire par là, pour démontrer une égalité, il y a un sens qui est plus facile que l’autre.
Et là, le sens plus facile que l’autre, c’était en partant de là, c’est ce que tu as fait.
