2^nde – Comprendre les formules de base en Trigonométrie

Déjà, je vais juste faire apparaître un petit triangle rectangle. Donc je vais dessiner un triangle rectangle tout de suite <Figure>. Voilà, on va le noter par exemple ABC. Donc ce triangle, il est rectangle en A. C’est comme ça que ça se dit. Alors, maintenant je vais faire apparaître un angle, admettons cet angle-là, qu’on note par exemple, comment vous voulez qu’on le note ? Est-ce que vous connaissez les lettres comme alpha, teta … Est-ce que tu as déjà vu ça Lisa ?

Non.

Ok, donc comment on peut le noter cet angle ? On va le noter tout simplement l’angle ABC, avec un chapeau. Ok, ça je pense que tu l’as déjà vu. Maintenant, dans ce triangle rectangle, est-ce que tu aurais des relations qui te donnent justement le cosinus de cet angle ABC ? Le sinus de cet angle ABC et aussi la tangente de cet angle ABC. Est-ce que ça te dit quelque chose, est-ce que ça tu as déjà vu ça en fait ?

Oui, mais je ne m’en rappelle plus du tout en fait.

Et bien c’est très bien que tu ne t’en rappelles pas, comme ça, ça va permettre de revoir un petit peu, sachant qu’il y a une petite formule à connaître. Donc en gros, de cet angle ABC, tu peux calculer ce qu’on appelle son cosinus. Je sais que cosinus c’est quelque chose d’un peu bizarre. Bon disons que c’est une fonction, comme une fonction qui prend un x, qui mange un x et qui à la fin donne cosinus x. donc là, ce qu’elle mange, ce n’est pas des x, ce ne sont pas n’importe lesquels, ce sont des angles. Donc là, on va dire que, je vais quand même le noter teta ϴ cet angle, ça va être plus simple, ϴ= l’angle ABC avec un chapeau. Maintenant, le cosinus de ϴ, ça va être égal à quelque chose, de la même façon que le sinus de ϴ ça va être égal à quelque chose, et puis aussi la tangente de ϴ. Ça vous allez me dire « à quoi ça sert d’avoir ces fonctions un peu bizarres », donc ça sert à pas mal de choses, mais déjà on va dire à quoi elles sont égales ces fonctions. En fait, est-ce que ça te dit quelque chose les angles en radian Lisa ? Est-ce que cette unité, les radians, ça te dit quelque chose ?

Non, pas du tout.

Pas du tout, ok c’est bien. Donc ça veut dire que depuis toujours, tu as vu les angles exprimés en degré. Ça doit être ça. Et donc du coup, qu’est-ce que c’est que par exemple 90° pour toi, on va faire simple dans un premier temps, qu’est-ce que c’est comme angle ?

C’est un angle droit. C’est bien. <Figure>

Ensuite, tu imagines bien que 45° c’est combien maintenant ?

Comment je pourrais avoir l’angle 45° ?

Au niveau de l’angle 45° maintenant, comment je pourrais le représenter graphiquement, comment je pourrais le dessiner ? Toujours là-dessus.

Par un trait qui passe au milieu.

Par un trait qui passe au milieu, effectivement, entre guillemets. Jusque là c’est simple, c’était juste pour avoir des ordres de grandeur sur des angles en degré, sachant que l’angle 180°, c’est l’angle plat <Figure>. Donc maintenant, tu peux calculer le cosinus, le sinus et la tangente. La droite verte que j’ai tracée ici, c’est la bissectrice.

La bissectrice c’est la droite qui coupe un angle en passant par le sommet, en divisant l’angle en deux angles égaux.

Donc c’est exactement ça. Maintenant, il y a trois formules en fait pour le cosinus, le sinus et la tangente. Là, il faut s’en rappeler et c’est exprimé dans ce triangle rectangle, donc c’est exprimé en fonction des longueurs. Donc, si tu ne les connais pas, il y a une formule. Est-ce que Pierre, tu les connais ces formules ? Ces formules permettant d’exprimer cosinus. Tu peux répondre par oui ou par non comme tu veux.Oui tu les connais. En fait, il y a une formule qui permet de les retenir. Cette formule c’est CA SO TO H H A, je sais que c’est un peu bizarre, mais il faut le retenir. Voilà.

Notre prof de maths nous l’avait donné.

Ah tu as vu ? Je ne te dis pas quelque chose de super bizarre, tu as déjà vu, tu as déjà entendu ça quand même. Sinon il y en a une autre, c’est SOH CAH TO A, c’est la deuxième, c’est celle que connait Pierre. Ah il te l’a donné aussi. Et en gros ça te donne les formules. Alors, comment ça va donner les formules à ton avis ? Lisa, est-ce que tu as une idée. Par exemple le cosinus.

C’est avec les lettres, mais je ne me rappelle plus trop.

Ok, alors du coup, le C il représente quoi ? Le A, le H, tout ça, ça représente quoi à ton avis ?

Le C, c’est cosinus et le T tangente.

Donc ça c’est bien. Ensuite, le A, le O et le H, sachant qu’on est dans un triangle rectangle.

Ce n’est pas l’hypoténuse ?

Oui.

Non, je ne sais plus.

Ça c’est bien.

Côté adjacent, je ne sais plus.

Ça c’est bien aussi. Tu vois, il ne t’en manque plus qu’un, c’est le O et le O, c’est le côté ?

Opposé.

Tu vois, tu t’en souviens. C’est super, du coup, maintenant ce qu’il faut c’est les reconnaître sur le schéma.

Qu’est-ce que c’est que l’hypoténuse sur le triangle bleu ici à gauche ?

C’est le côté le plus grand.

Voilà, donc en gros ici, c’est ?

CB

C’est CB, ou BC, peu importe, du coup, le cosinus en fait, d’après cette formule, il vaut quoi. Donc le cosinus c’est ça. Est-ce que tu t’en souviens ? Est-ce que c’est adjacent fois l’hypoténuse ? Est-ce que c’est Adjacent sur l’hypoténuse ?

Sur.

Voilà, c’est un « sur ». C’est pour ça que j’ai mis le H H A en dessous. Donc avec la formule SOH CAH TOA on ne le voit pas bien, il faut juste savoir que ce sont des quotients et c’est pareil pour le reste. Ici sinus égal à opposé sur l’hypoténuse, la tangente égal à l’opposé sur adjacent. Donc je pourrais mettre des « égal » ici. Voilà, donc si on rappelle cette petite formule, tu as vu que ça permet de retrouver les formules tout simplement parce que maintenant côté adjacent, il faut le reconnaître sur la figure, qu’est-ce que c’est comme côté à ton avis. Sachant que c’est le côté adjacent à l’angle qu’on est en train de considérer.

C’est AB.

Oui c’est ça. C’est très bien, ça veut dire qu’ici j’ai AB sur BC ou CB. Ensuite, pour sinus.

Opposé c’est CA, sur BC.

Très bien, et la tangente ?

CA/CB

Alors CA sur adjacent donc, plus BC, justement c’est le côté adjacent, CA/BA. Voilà les formules, tout simplement. Donc maintenant, après je n’ai pas d’exercice sous la main, mais ces formules permettent tout simplement de trouver le sinus et cosinus de ces angles là. En fait, donc, il ne faut jamais oublier quand vous avez un triangle rectangle, de se rappeler du théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore n’est jamais très loin quand vous avez un triangle rectangle. Par exemple si j’ai comme longueur, disons 3 ici et 5 là. Quel pourrait être ma longueur ? Donc, tu n’es pas obligée de la trouver toute de suite Lisa.

Mais à ton avis comment tu ferais pour la trouver la longueur de l’hypoténuse BC ?

BC²=CA²+AB²

C’est très bien. Du coup, combien vaut BC² dans un premier temps. Tu utilises vraiment cette égalité, tu vas remplacer par ce que tu connais, c’est-à-dire :

CA² donc 9

Oui, 3² donc 9, ok

Et 5² = 25

Voilà, donc

35

Donc BC² doit valoir, pas tout à fait 35, mais pas loin.

34

Voilà, ensuite pour trouver BC comment on va faire ?

On met une racine

On met une racine carrée, c’est-à-dire qu’on passe entre guillemets toute cette égalité, donc BC²=34 à la racine carrée. Je vais mettre une flèche comme ça et je vais mettre « racine carré ». Donc on va prendre la racine carrée de BC², tu vois je vais y aller lentement égal à la racine carrée de 34. Tu vois j’ai mis une racine carrée à gauche, et j’en ai aussi mis une à droite. Qu’est-ce qu’on obtient ici à gauche √BC², qu’est-ce que c’est ?

C’est BC.

C’est BC, exactement. Alors, normalement c’est la valeur absolue de BC, mais je ne sais pas si tu as vu la fonction « valeur absolue ». Est-ce que ça te dit quelque chose ?

Non, pas du tout.

Ok, pas de problème, on ne l’aborde pas si tu l’as pas encore vu. Et donc, ici à droite, qu’est-ce qu’on obtient. √34 est-ce qu’on ne pourrait pas essayer de le simplifier un petit peu ?

2√3 ?

Alors 2√3, qu’est-ce que ça fait 2√3 . C’est aussi égal à combien si je veux faire passer le 2 sous la racine. 2 c’est la racine carrée de quoi en fait ?

De 4.

√4 x √ 3, donc tout ça, ça fait combien ? ça fait racine carrée de 12. On obtient 12, donc ce n’est pas 34 alors. Donc en fait, est-ce qu’on peut le simplifier, ce n’est pas sûr ! En fait, il y a une petite méthode pour essayer de simplifier les racines carrées. Ici à priori par exemple 34 c’est aussi 2 fois combien ? 2×17, tu es d’accord ?

Oui

Mais aucun des deux n’est un carré parfait, donc tu ne peux pas vraiment les sortir de la racine. 34 ce n’est pas non plus 4 fois un nombre entier, parce que 4 fois 8 c’est 32 ; 4 fois 9 c’est dessus, c’est 36. Tu vois, donc bref, ça reste √34. Voilà, donc ça c’est bien. Tu as BC, sachant qu’on a aussi toutes les longueurs des autres côtés. Et donc à présent est-ce que tu peux trouver la valeur ϴ, ou en tout cas dans un premier temps, son sinus ou son cosinus.

Comment tu ferais pour calculer son cosinus par exemple ?

On utilise la formule du cosinus et on remplace par les longueurs. Voilà, c’est exactement ça. C’est bien. Et donc, on va obtenir quoi, par exemple dans le cas présent ici.

5/√34

5/√34, donc ça c’est AB, sur l’hypoténuse BC. Voilà, donc et bien écoute, c’est bien. Il y a une chose aussi qu’on peut dire, c’est sur le cosinus et le sinus, à ton avis, je ne sais pas Pierre par exemple, jusqu’où tu voulais en venir dans la trigonométrie ? Mais peut-être dans un premier temps, on va s’arrêter là parce qu’après il y a des exercices si tu veux, donc je fais juste un petit cours très rapide. Juste au niveau des inégalités, à ton avis AB comme longueur, ici au-dessus, c’est plus grand ou plus petit que BC Lisa ? Dans un triangle rectangle, si BC est toujours l’hypoténuse ?

Je n’ai pas bien compris la question en fait.

Oui, c’est bien tu as raison, il faut me demander de répéter. A ton avis, AB comme côté, cette longueur AB plutôt, est-ce que c’est plus petit ou plus grand que BC ?

Plus petit.

Oui, tout simplement, c’est toi-même qui me le disais. BC, cette hypoténuse, c’est toujours le côté le plus grand dans un triangle rectangle. Donc AB forcément c’est plus petit, donc du coup ce rapport AB/BC, il est plus petit que quel nombre ? Est-ce que tu saurais me le dire ça ?

Non, je ne sais pas.

Tu ne saurais pas trop ? Alors en gros, si je prends un nombre, un petit nombre, et je le divise par un nombre plus grand, à ton avis, comment va se comporter le rapport des deux ? Regarde, je prends un petit nombre, imaginons 5 et je prends un nombre plus grand, disons 15. Combien vaut ce rapport ? À peu près. Est-ce qu’on peut simplifier la fraction ? C’est ça que je te demande. Tu ne vois pas comment on peut simplifier la fraction, pas trop ?

Non.

Non ? 15 c’est égal à quoi par rapport à 5 ?

3×5

Oui 3×5

Donc je mets 3×5, donc la fraction elle devient quoi ? Je ne peux pas simplifier haut et bas par un nombre ?

Si, on peut enlever le 5.

Oui je l’enlève, donc ici il reste un « 1 » quand même. 1×5. Tu es d’accord ? Donc la fraction devient 1/3. 1/3 ça vaut combien comme nombre à peu près ?

0,333…

Voilà, exact, et donc du coup, c’est plus petit que quel nombre ici ? Ce que je voulais te dire en fait, c’est quand tu prends un nombre petit, plus petit que le dénominateur, tu obtiens toujours à la fin un nombre, qui est inférieur ou égal à 1. Est-ce que tu vois d’où ça vient ? Ça te paraît normal ou non ?

Oui.

Déjà, si ça te paraît normal c’est bien. Ça veut tout simplement dire en gros que, si tu prends un nombre petit, je le répète, et que tu le divises par un nombre qui est plus grand comme ici, une longueur qui est plus petit, c’est-à-dire AB, sur une longueur qui est plus grande, forcément, parce que c’est l’hypoténuse, c’est-à-dire BC, et bien tu obtiendras ce cosinus de ϴ, c’est-à-dire ce rapport, est inférieur ou égal à 1. C’est ça que je veux te dire cos ϴ≤ 1. Et c’est de la même façon pour sinus, parce que sinus, c’est CA, ce côté-là. Et ce côté-là comme longueur, c’est plus petit que BC forcément parce que BC c’est toujours la plus grande. Donc, sin ϴ pareil, c’est inférieur ou égal à 1. Bref, voilà des inégalités qui sont importantes. Ce que vous pouvez retenir un petit peu, c’est que cosinus et sinus d’un angle sont toujours compris, donc là, on ne l’a pas démontré, je l’ai juste démontré pour inférieur ou égal à 1 mais c’est toujours compris entre -1 et 1. Donc là, on peut rajouter en fait supérieur ou égal à -1 et ici aussi. Donc ça, vous allez me dire, ça ne sert pas à grand-chose, mais si, ça sert dans pas mal d’exercices de maths par la suite. Donc voilà des petites propriétés que je suis en train de vous montrer petit à petit sur les cosinus et les sinus. D’autre part, si je mets ici, Isa tu es toujours avec moi je pense.

Si je mets le cosinus de ϴ au carré, qu’est-ce que ça devient ?

Tout ça au carré, on utilisant ça, toujours les mêmes formules.

AB/BC au carré

Voilà, tout simplement. Je vais le faire en bleu plutôt. Et qu’est-ce que c’est que AB/BC le tout au carré, il faut bien mettre ici, attention, il n’aurait pas fallu mettre juste un carré comme ça <Calcul mathématique>. Ici, il faut absolument mettre les parenthèses. Est-ce que tu comprends pourquoi ?

Oui parce que sinon, ce n’est que AB qui est au carré.

Voilà. Ça c’est très bien, c’est très très important ça. Donc là, voilà, et qu’est-ce que ça veut dire qu’une fraction le tout au carré ? Exprimons en fait ce que ça veut dire le carré.

AB/ BC x AB/BC

Voilà, je peux le faire aussi comme ça. Et qu’est-ce que c’est que AB/BC x AB/BC aussi. En gros, est-ce que tu ne peux pas juste multiplier les longueurs entre elles au numérateur et multiplier les longueurs entre elles aussi au dénominateur, tu vois ? Ce que je veux te dire, c’est que ça fait juste AB²/BC². Voilà. Tout simplement. Ok. Maintenant, on a calculé ça, cosinus de ϴ au carré. Et maintenant, sinus au carré, sinus au carré de ϴ, alors pourquoi je dis « sinus au carré », alors que normalement c’est sinus de ϴ, le tout au carré, parce que ça s’écrit aussi comme ça sin² ϴ. Voilà et cosinus de ϴ le tout au carré, ça s’écrit aussi comme ça. C’est-à-dire que le carré vous pouvez le mettre juste au-dessus de la fonction, enfin, juste à côté de la fonction, et donc juste après. Donc voilà, c’est juste une notation, c’est égal tout ça. Donc ça vaut combien sin², de la même façon.

CA/BC au carré

Voilà, donc en gros CA², maintenant qu’on sait faire, sur BC², d’accord ? Ok, alors maintenant, on va les ajouter. Je sais que ça peut paraître bizarre, mais tu vas voir.

Cos² ϴ+ sin² ϴ, qu’est-ce que ça va nous donner ?

<Calcul mathématique>

C’est très bien, donc je vais noter ça et il faut aussi se rappeler qu’on est dans un triangle rectangle. Donc, du coup, qu’est-ce qu’on a comme relation. Tu me le disais tout à l’heure. D’après Pythagore en fait. Il faut toujours penser à Pythagore dès qu’on est dans un triangle rectangle. Tu te souviens, BC² en fait ?

BC²= CA²+AB²

Voilà c’est ça, oui c’est bien. Donc je l’avais juste effacé tout à l’heure, mais bon. Et donc du coup, ok on en est là, tu vas me dire ok, super, maintenant ici à droite on continue encore un petit peu. Est-ce qu’on ne pourrait pas rassembler ces deux fractions ? Tu vois, elles sont sur le même dénominateur non ?

Du BC²

Alors là, une règle très importante sur les fractions. C’est bien ça nous permet de faire un calcul littéral et ça nous permet justement de débusquer les petites choses sur lesquelles tu n’es pas encore super à l’aise. Donc, là vu qu’elles sont sur le même dénominateur, regarde, je vais te faire un petit rappel ici par exemple, en rose à droite. Imaginons que tu aies, je ne sais pas 2/4+5/4, combien ça fait ça ?

7/4

Exact.

Est-ce que tu ne peux pas faire la même chose avec ce qu’on a ?

<Calcul mathématique>

C’est très bien et qu’est-ce que c’est que <Calcul mathématique>
Donc qu’est-ce qu’on obtient ? <Calcul mathématique>

Et qu’est-ce que c’est que ça ? <Calcul mathématique>

Qu’est-ce que c’est qu’un nombre sur lui-même ? Ce même nombre sur lui-même.

C’est 1.

C’est 1. Voilà et c’est tout ce que je voulais vous montrer. Tout simplement qu’on arrive à ce résultat qui est toujours vrai, quelque soit ϴ, quel que soit l’angle en fait. C’est-à-dire que cos²x +sin² x= 1. Et ça c’est vraiment une relation que vous pouvez, déjà donc là je vous l’ai montrée, donc là tu as bien compris Lisa je pense, c’est une relation qui est intéressante parce que des fois dans les exercices elle est très utile. Donc voilà un petit peu ce que je peux vous dire sur les cosinus et les sinus. Ce qu’on a dit aussi tout à l’heure c’est que, regarde, on a sorti une application numérique quand même. Cos ϴ c’était 5 /√34. Donc si je tape ça dans ma calculatrice, je trouve, regarde je vais taper ça, 5 /√34, bon je trouve à peu près 0,85, même 0,86 à peu près. Donc ça, ça vaut ça. Et 0,86, on observe bien au passage que c’est entre -1 et 1 donc ça respecte bien cette inégalité, cette double inégalité. Et 0,86 comment on va faire pour trouver l’angle ϴ à partir de ça ? Et bien il y a une fonction dans la calculatrice qui s’appelle Arc cosinus, c’est-à-dire ACS. Souvent, elle est juste en face ou à côté de cosinus. Donc moi je tape arc cosinus de 0,86 là, et je l’ai trouvé mon angle en degré, et je trouve 30,96, c’est-à-dire 31°. Donc en gros, juste en connaissant la longueur du triangle rectangle, on a trouvé l’angle 31° à peu près d’après ma calculatrice. Tu vois ? Donc c’est ça qui est intéressant avec les cosinus, sinus et les quelques relations qu’on a parfois, c’est qu’on peut trouver les valeurs des angles sans connaître les valeurs des autres angles. Je n’ai pas eu besoin de connaître celle-ci. Tu vois ? Grâce juste en fait aux longueurs qu’on a dans notre triangle rectangle. Donc par exemple pour un architecte c’est vachement intéressant parce que ça lui permet, si juste il connaît la longueur de son terrain, s’il a un angle droit à un moment donné, ça lui permet de connaître concrètement combien vaut son angle à un moment donné dans son triangle rectangle. Ça peut servir à ça par exemple. Voilà en tout cas. J’espère que j’ai ravivé quelques vieux souvenirs pour toi, les vieux souvenirs de la troisième.