2nde Fraction rationnelle

Comment simplifier une fraction rationnelle.
Bonjour à toi et bienvenu sur Star en maths TV. Ici Romain et dans l’exercice d’aujourd’hui, niveau plutôt 1ère S, et bien nous avons une fonction noté g, telle que g(x)=(2x-3)/(x+1).
Et il s’agit de montrer dans cet exercice que pour tout x différent de -1, et bien on a g(x) qui peut aussi s’écrire 2-5/(x+1).
Donc il faut tout simplement démontrer que pour tout x différent de -1, on va voir pourquoi, on a l’expression de g(x) qui est égale à cela : 2-5/(x+1).

Pourquoi il faut qu’on démontre cette égalité (puisqu’il s’agit juste de démontrer une égalité) quand x est différent de -1 ? Tout simplement parce que la fonction g est définie quand x est différent de -1. Pourquoi ?
Parce que la fonction g, tu vois bien que c’est une fraction rationnelle. Alors une fraction rationnelle c’est un grand mot pour dire que tu as un polynôme en-dessus et un polynôme en dessous.
Ici, les polynômes sont très simples, ils sont de la forme ax+b, qui sont, je te le rappelle aussi, des équations de droites. Ce sont des polynômes du premier degré puisqu’il n’y a pas de x au carré ni de x au cube, il y a juste un x avec un coefficient devant. Et ici l’ordonnée à l’origine : b.
Donc ici, quand tu as un quotient avec ax+b au-dessus et a’x+b’ en-dessous, donc x+1, et bien c’est vraiment une fraction rationnelle assez simple avec des polynômes du premier degré au numérateur et au dénominateur.

Et comment trouves-tu l’ensemble de définition d’une fraction rationnelle ? Il suffit de regarder son dénominateur et plus précisément de regarder quand ce dénominateur s’annule. Ça va te livrer les valeurs interdites.
Ici, quand est-ce que x+1 est égal à 0 ? Et bien tout simplement quand x est égal à -1, justement. Donc x=-1, donc la valeur -1, c’est une valeur interdite pour cette fonction g. Autrement dit, la fonction g est définie sur R -c’est-à-dire l’ensemble des réels, tous les nombres- moins (donc le moins quand il s’agit des ensembles, il est penché comme ceci) -1, donc l’ensemble constitué uniquement du nombre -1.
Et cet ensemble se note comme ceci, entre accolades avec le nombre -1 à l’intérieur. Donc ça, c’est un ensemble qui ne contient qu’un seul nombre.
Et ceci, tout cet ensemble, donc R moins -1, c’est aussi égal tout simplement à ]-l’infini;-1[ union ]-1;+l’infini[. tu vois c’est comme si tu avais rangé un petit peu les nombres de cet ensemble dans l’ordre croissant et tu les as mis sous forme d’une réunion d’intervalle.
Donc ça c’est vraiment l’ensemble de définition de ta fonction g.
Donc maintenant tu comprends pourquoi on veut montrer cette égalité, (2x-3)/(x+1)=2-5/(x+1), uniquement quand x est différent de -1. Voilà, c’était juste une petite précision mais quand même qu’il fallait comprendre.
C’est pour ça, je t’encourage tout le temps quand tu lis l’énoncé d’un exercice de maths, à comprendre totalement cet énoncé. Il faut que tu comprennes tout ce qu’on te dit. C’est vraiment important parce que ça peut ensuite te donner des idées pour répondre à certaines questions et souvent parce que c’est nécessaire de comprendre ce qu’on te dit dans l’énoncé pour répondre aux questions.
Si tu ne comprends que partiellement l’énoncé, c’est problématique pour la suite.

Donc maintenant on va démontrer, en prenant un x qui est différent de -1, donc pour x différent de -1, c’est-à-dire tout simplement pour un x qui est à l’intérieur de l’ensemble de définition de g, et bien on va essayer de démontrer que (2x-3)/(x+1), c’est égal à 2-5/(x+1).
Alors tu es d’accord que je ne vais pas écrire tout de suite égal ça puisque c’est ce qu’il faut démontrer, bien évidemment.
Alors, quand tu dois démontrer une égalité entre deux choses, et bien soit tu pars de la première chose et par une succession de transformations tu vas tomber sur la deuxième chose, soit inversement, tu pars de la deuxième chose et tu montres que c’est égal à la première chose.
Alors à ton avis, quel est le plus simple ici ? Est-ce qu’on part de 2-5/(x+1) pour démontrer que ça vaut à la fin (2x-3)/(x+1) ou l’inverse : est-ce qu’on part de ça : (2x-3)/(x+1) et on arrive à ça ?
Moi je te propose de partir de 2-5/(x+1). Par contre il faut prendre une précaution, il ne faut absolument pas écrire g(x)=2-5/(x+1) et après tu fais tes petites transformations et à la fin tu veux montrer que ça fait (2x-3)/(x+1). Il ne faut pas écrire ça, c’est très important, pourquoi ? Parce que j’ai mis g(x) égal ça mais ce n’est pas du tout vrai ça. C’est ce qu’on veut démontrer.
Il faut justement démontrer que g(x), dont on ne sait que ça, on veut démontrer que ce g(x) est égal à 2-5/(x+1). Donc tu ne peux pas déjà dire que g(x) est égal à 2-5/(x+1).

IL faut donc juste partir de cette expression, 2-5/(x+1) et démontrer à la fin que ça vaut (2x-3)/(x+1), et si c’est le cas, effectivement, ça on sait que c’est égal à g(x). Donc ça, je le mets entre parenthèses parce qu’on ne va pas partir en fait de cette expression.
Donc on part de là et on va vouloir démontrer que c’es égal à (2x-3)/(x+1). Comment fait-on ? Et bien tout simplement tu as une différence de deux nombres. Le premier nombre c’est 2 et le deuxième nombre c’est 5/(x+1).
Vu que le deuxième nombre est une fraction, pour pouvoir faire la différence facilement, autant mettre le 2 au même dénominateur. Donc c’est ce qu’on fait tout de suite. Et comment mettre deux au même dénominateur ? Et bien il suffit de prendre 2 et de le multiplier haut et bas par le dénominateur de l’autre fraction, c’est-à-dire x+1. Et le deuxième nombre ne change pas.
On a bien les mêmes dénominateurs aux deux nombres. Et comment on a fait ? On a multiplié haut et bas (ça veut dire en haut et en bas) Tu peux considérer que 2, c’est aussi une fraction, c’est 2/1. Donc tu multiplies 2, en haut, par x+1 et aussi 1, en bas, par x+1. Mais le 1 fois quelque chose tu peux l’enlever et tu obtiens juste x+1.

Donc maintenant, une fois que tu as ça, tu mets un grand trait de fraction, le dénominateur c’est x+1. ET qu’est-ce qu’on va avoir au numérateur ?
« Calcul mathématique »
Et donc ça vaut, ce qu’il s’agit de démontrer, (2x-3)/(x+1). Voilà, et ça, effectivement, c’est g(x). On le sait, c’est notre définition de g(x), qui t’est donnée dans l’énoncé, celle que j’ai entourée en rouge ici.
Donc tu as bien démontré, par une succession d’égalités, que g(x) c’est égal à 2-5/(x+1). Voilà comment on a démontré notre égalité.

Tu aurais peut-être pu aussi partir de la première chose, c’est-à-dire (2x-3)/(x+1), et arriver à 2-5/(x+1), mais c’était peut-être un petit peu plus technique.
Voilà, donc j’espère que tu as bien compris cet exercice et je te dis à très bientôt sur Star en maths TV.

2nde
Fraction rationnelle
vidéo 2/2 : démonstration dans l’autre sens

Donc je te disais à l’instant que pour montrer une égalité entre deux choses, soit tu pars de la première pour démontrer que ça vaut la deuxième, soit tu pars de la deuxième pour montrer que ça vaut la première.
Et ici, tu te souviens qu’on avait choisi de partir de 2-5/(x+1) et de démontrer que ça, ça vaut (2-3)/(x+1). Et je te disais à l’instant qu’on peut aussi démontrer cette égalité en partant de l’expression même de g(x).
C’est un petit peu plus technique mais c’est tout à fait possible aussi.

Donc g(x), ici, pour démontrer notre égalité, c’est égal (et ça on peut le dire puisque c’est l’expression de g(x), c’est la définition de cette fonction) à (2x-3)/(x+1).
Et nous on va vouloir montrer, en transformant ceci, que ça vaut 2-5/(x+1). Alors comment on fait ? Alors là, c’est une opération un petit peu technique que tu pourras peut-être retrouver parfois.
EN fait il suffit d’essayer de faire apparaitre au numérateur, le dénominateur. Peut-être que ça te fait penser à la division Euclidienne de deux polynômes. Si ça ne te fait pas penser à ça, ce n’est pas grave du tout.
Donc on va essayer de faire apparaitre (x+1) au numérateur mais comment on va faire vu qu’on a (2x-3), ça ne ressemble pas du tout. Et bien en fait, ce qu’on va faire, c’est le faire apparaitre un petit peu de façon forcée.

Tu vois, ici tu as un 2. Très bien on va le remettre. Puis tu as un x. On va faire apparaitre ici (x+1), entre parenthèses et il est en facteur de 2. Le problème c’est que 2 facteur de (x+1), ça ne vaut pas 2x-3.
Donc ici, quand on développe, on obtient, je vais le noter d’une autre couleur, forme développée : c’est tout simplement 2x+2.
Et qu’est-ce qu’il faut retrancher ou ajouter comme nombre pour obtenir 2x-3 à partir de 2x+2 ? Et bien il faut tout simplement retrancher 5. Donc ici on va mettre -5. Voilà.
Et ce que je viens d’écrire c’est tout à fait égal à 2x-3. Quand je développe ça fait 2x+2-5, ça fait bien 2x-3. Donc, tout ceci sur x+1, le dénominateur ne change pas. Et là, on a fait apparaitre du x+1 au numérateur.

Et maintenant ce qu’on va faire, c’est qu’on va séparer cette fraction rationnelle en deux fractions rationnelles. On va obtenir :
« Calcul mathématique »
Tu es d’accord ? C’est une simple règle sur les fractions. Et ici, qu’est-ce qui se passe dans la première fraction rationnelle ? Et bien les x+1 s’en vont. Donc ici les x+1 s’en vont, ils se simplifient et il te reste 2.
Et donc là tu fais bien apparaitre ton 2-5/(x+1). Tu vois ce n’est pas beaucoup plus compliqué finalement dans cet exercice de commencer par (2x-3)/(x+1).
Donc, c’est ce qu’on a fait ici, il faut juste penser à faire apparaitre ton dénominateur au numérateur, de façon à le simplifier par la suite. Tu vois c’est ce qui s’est passé ensuite ici, le x+1 s’est simplifié au numérateur et au dénominateur dans cette sous-fraction rationnelle en quelque sorte.

Et donc ça, c’est exactement une division euclidienne de deux polynômes. En fait tu prends le polynôme 2x-3 et tu le divises par le polynôme x+1.
Voilà, donc si tu n’as pas vu la division euclidienne de deux polynômes, ce n’est pas grave mais en tout cas, c’est un petit peu cette opération qu’on refait ici.
Voilà, j’espère que tu as bien compris cette petite opération et je te dis à très bientôt sur star en maths Tv.