2nde Fréquence et moyenne des gains d’une tombola

2nde Fréquence et moyenne des gains d’une tombola (1/2)

En statistique, qu’est ce que c’est que la fréquence d’apparition d’un nombre ?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Dans l’exercice d’aujourd’hui voici les gains que permets de faire une tombola. Les fréquences d’obtention des billets de la tombola sont également données. En moyenne on te dit que chaque billet de cette tombola fait gagner 14€ et la question de l’exercice c’est : Déterminer les réels g et f de ce tableau. Donc voici les gains sur la 1ere ligne :

<Formule mathématique>

Là tu vois que tu as une fréquence manquante correspondant au gain de 50€. Ce qu’on va faire avant de déterminer les réels g et f c’est-à-dire avant de répondre directement à la question de l’exercice c’est expliquer ce qu’est la fréquence ici dans la 2eme ligne de ce tableau. La fréquence à quoi ça correspond ? Et bien regarde si je prends 10^€ ici tu as une fréquence de 0,1 donc la fréquence en statistique ça se note souvent « f » et à quoi ça correspond une fréquence de 0,1 pour les gains de 10€ et bien on te dit les fréquences elles correspondent dans l’exercice en fait aux fréquences d’obtention des billets de la tombola. Tu vois toi on te propose un billet de tombola et bien la fréquence d’obtention d’un billet de 10€ elle est de 0,1. Concrètement en fait à quoi ça va correspondre et bien tu vas avoir 10% de chance d’obtenir un billet qui te fait gagner 10€ parce que les fréquences ça se traduit aussi en pourcentage et c’est ce que je te recommande de faire pour bien comprendre ce qu’elles font.

Alors une fréquence déjà en statistique c’est toujours compris entre 0 et 1 donc ça peut être 0 et ça peut aussi être égal à 1.Donc ce n’est pas exclus.

<Formule mathématique>

La tu peux les traduire en pourcentage, c’est-à-dire si on reprend notre billet de 10€, ça fréquence c’est 0,1, ça correspond aussi à 10%. Tu sais que 10% ça correspond à : le nombre devant le % divisé par 100. Donc 10% c’est aussi 10/100 qui fait 0,1. Donc on peut traduire chacune des fréquences de ce tableau sous forme de pourcentage pour mieux comprendre. Pourquoi on comprend mieux avec les pourcentages, parce que toi on te donne un billet de tombola, dans cette tombola qui est représentée avec ce tableau et bien tu as 10% de chance d’obtenir un billet qui va te faire gagner 10€. Si on prend un autre exemple, imaginons un billet qui te fait gagner 100€, et bien quelle est la chance, la probabilité quelque part, puisque ça se rapproche des probabilités. Quelle est la probabilité que tu obtiennes un billet qui te faire gagner 100€ ? On te dit que sa fréquence d’apparition, la fréquence d’obtention d’uns de ces billets qui te fait gagner 100€ c’est 0,02 donc en tout cas c’est déjà plus petit que 0,1 et ça correspond 0,02 à tout simplement 2%. Ça veut dire que tu as 2 chances sur 100 d’obtenir un billet qui te fait gagner 100€ donc moins de chance que d’obtenir un billet de 10€. Concernant un billet qui te fait gagner 20€ tu as 30% de chance. Donc sur 30 billets de la tombola il y en aura 30 qui te font gagner 20€, c’est une autre façon de le dire. Il y en aura 10 qui font gagner 10€, il y en aura 2 qui font gagner 100€ et nous dans cet exercice il faut qu’on détermine le gain g ici en orange et cette fréquence manquante ici dans la 2eme ligne. Comment on va faire ?

Et bien en fait ce qu’on va faire comme toujours en mathématique c’est relire ensemble rapidement l’énoncé, on te dit :

Voici les gains que permets de faire la tombola. Les fréquences d’obtention des billets de la tombola sont également données. (La 2eme ligne, ça c’est juste une description de ton tableau ici) et on te dit aussi qu’en moyenne chaque billet fait gagner 14€. Ça c’est une information à surligner. Cette information est importante car on te dit que chaque billet de la tombola, sur 100 billets en moyenne tu en prends 1, en moyenne il te fera gagner 14€. Nous allons aussi utiliser cette information qui te donne le gain moyen d’un billet de tombola, et ce gain moyen c’est 14€. Maintenant imaginons que tu ais 100 billets de cette tombola, peut être qu’il y en a plus ou moins qui on été imprimés mais peu importe imaginons qu’il y a 100. Tu as ici 50 billets sur 100 qui te font un gain g en orange ici. Ça ça correspond à 50% je vais le noter ici :

<Formule mathématique>

Le nombre de billets qui te feront gagner 50€ se sont forcement les billets qui te reste et donc il en reste 8 nécessairement. Je répète rapidement : sur les 100 billets tu en auras 50 qui te feront gagner g€, 10 qui te feront gagner 10€, 30 qui te feront gagner 20€, 8 qui te feront gagner 50€ et 2 qui te feront gagner 100^€. C’est comme ça qu’on a déterminé le nombre 8 et ce 8 ça correspond à 8% qui correspond justement à notre fréquence f :

<Formule mathématique>

Sur les 92 autres billets ceux qui restent te ferons gagner 50€ car tu sais que les 92 autres te font gagner respectivement : g€,10€ ,20€ ,50€, 100€. As-tu compris comment on a déterminé ici la fréquence manquante f. tu vois on a trouvé 8% ce qui correspond au nombre 8/100 puisque je te dis que le% c’est divisé par 100 ce qui est égal aussi à 0,08. Donc on a trouvé f=0,08. Si tu remarque bien on reprend notre exemple avec les %, sur 100 billets, en fait les % revenaient à un nombre de billets. Tu as 90 billets plus 8 billets ça fait 98 billets plus 2 billets ça fait 100 billets donc tu retrouves ici tes 100 billets. 100 billets initiaux c’est 100%. Pour déterminer une fréquence manquante il faut vérifier que les somme des fréquences : 0,5+0,1+0,3+f+0,02=1. C’est ça la règles en fait. La somme des fréquences est forcement 1 et 1 rappelle toi que c’est la même chose que 100%.

Pour continuer à t’expliquer cette notion de fréquence je vais prendre un autre exemple donc on oublie la tombola un instant et on va se concentrer sur une série de notes scolaires. Par exemple tes notes en maths, je sais ce n’est pas très original mais normalement ça devrait te permettre de bien comprendre ce qu’est une fréquence. Imagine sur l’année, tu as eu en mathématique :

<Formule mathématique>

Sur ces 10 notes tu peux calculer la fréquence d’apparition de chacune des notes. Déjà quelles sont les notes différentes que tu as eu. Tu n’as pas eu de 7, de 9 ou de 5 non tu as eu que des 14, 12, 11, et 18. C’est tout ce que tu as eu comme variété notes donc ça correspond en revenant rapidement à notre tombola aux gains possible. Là ce sont les notes possibles que tu as eu en maths dans ton année. Maintenant quelles sont les fréquences d’apparition de chacune de ces notes. Et bien ce qu’il faut, ici tu as 10 notes au total, et bien que ces 10 notes combien tu as eu par exemple de 14, tu en as eu 3. Tu as eu 2 11/20, tu as eu 3 12/20 et 2 18/20. On arrive à 10 notes. Chacun de ces nombres correspond au nombre d’apparition de chacune de tes notes différentes. Tu peux traduire ces nombres en fréquence puisque par exemple tu as eu 3 14/20 et en tout tu as 10 notes donc ça fait 3 notes sur 10 qui sont des 14 :

<Formule mathématique>

Voilà comment tu détermines des fréquences.

<Formule mathématique>

Maintenant faisons la somme de toutes ces fréquences :

<Formule mathématique>

En fait c’est ça que ça veut dire des fréquences. Dans la tombola ça correspond à une série de gains. Imagine tu es organisateur de ta tombola, tu viens d’imprimer les billets, tu as tous les billets devant toi. Pour chaque billet tu regardes le gain qu’il te fait obtenir. Tu mets le gain du 1^er billet, le gain du 2eme, le gain du 3eme billet, etc., etc..Tu as peut être 100 billets, 200 ou 1500, peu importe en tout cas ce que te dit ce tableau c’est que tu as une fréquence de 0,5 d’obtenir le gain g. On va s’atteler à trouver le gain g. tu as une fréquence de 0,1 d’obtenir le gain à 10€. C’est-à-dire que sur toute ta série de gains séparés par des virgules et bien les billets qui te font gagner 10€ apparaissent en fait 10% du temps dans tous tes billets donc tu vois tu as 10% de tes billets tout simplement qui correspondent à des gains de 10€, qui te font gagner 10€. Tu peux toujours traduire si c’est plus concret pour toi les fréquences en pourcentages. Si tu as 100 billets et bien il n’y en aura que 10 qui te ferons gagner 10€, 30 qui te font gagner 20€, 8 qui te font gagner 50€ et 2 qui te font gagner 100€. Les fréquences dis toi juste que ce sont de pourcentages et que la somme de toutes tes fréquences doit faire 1 c’est-à-dire 100%.

2nde Fréquence et moyenne des gains d’une tombola (2/2)

Maintenant il nous reste le gain g à trouver et comment on va trouver le gain g ? Et bien il nous suffit d’utiliser l’information qu’on n’a pas encore utilisé de l’énoncé c’est-à-dire qu’en moyenne les billets te font gagner 14€. Qu’est ce que ça veut dire une moyenne ? Et bien tout simplement ça veut dire que si tu fais la somme de tous les gains de tous tes billets, tu vas avoir des billets qui te donnent 10€, d’autres 20 donc tu vas avoir par exemple :

<Formule mathématique>

Comment trouver ce gain g ici et bien dans la série ici de gain tu vas trouver g tout simplement. Tu vas avoir des billets qui t’apportent g€. Ce que je viens de te rappeler c’est la définition de la moyenne. En effet pour t’aider à comprendre ça et bien quand tu fais ta moyenne de tes notes, tu vas sommer toutes les notes. J’ai oublié de mettre les plus mais ce sont des plus qu’il y a entre ces nombres. Tu vas faire la somme de toutes tes notes et diviser par le nombre total de toutes tes notes et là tu vas obtenir ta note moyenne. Dans cette tombola c’est la même chose. L’organisateur il va prendre les gains de tous les billets, il va faire la somme de tous les gains. Donc 10€ +20€+10€ et il va diviser par le nombre total de billets et il va obtenir 10€ de gain moyen par billet. Donc tu es d’accord que là ça serait presque une équation qui te permettrait de trouver cette inconnue g ici qu’on retrouve plusieurs fois dans la somme. Le problème c’est qu’on ne connaît pas le nombre total de billets. On ne sait pas combien de billets on été imprimés dans cette tombola. Donc il va falloir transformer un petit peu ce calcul pour utiliser les fréquences qu’on te donne dans ce tableau donc en fait ce calcul il est aussi égal à :

<Formule mathématique>

Je reprends l’analogie avec tes notes scolaires, si tu as eu un 14, un 12, un 11 comme tout à l’heure et bien tu mets les 14 ensembles, tu comptes combien tu en as ça te donne n14, tu multiplies par cette note, ensuite tu regroupes les 12 ensembles, tu comptes combien tu en as, tu en a peut être 3, 2 et bien tu mets 2 fois 12, tu comptes le nombre de 11 et tout. Et bien c’est exactement ce calcul là qu’on fait ici et ça correspond tout à fait au calcul de la moyenne, c’est exactement la même chose. Je transforme un petit peu ce calcul pour utiliser les fréquences.

<Formule mathématique>

En fait ce sont les fréquences d’apparitions ou d’obtention des billets de ta tombola. n 10/N ça correspond à la fréquence des billets qui te font gagner 10€ et tu vois que c’est 0,1. Ensuite, n 20/N c’est la fréquence des billets qui te font gagner 20, c’est 0,3. Et maintenant la fréquence des billets qui te font gagner 50€ c’est le petit f qu’on avait déterminé auparavant c’est 0,08.

<Formule mathématique>

Là tu vois que tu t’es débarrassé du nombre total de billets que tu ne connaissais pas. Tu as fait apparaitre les fréquences. Et ici tu obtiens une équation :

<Formule mathématique>

Nous allons résoudre tout de suite cette équation :

<Formule mathématique>

Donc le gain qui nous restait à déterminer c’était 2€. J’ai indiqué l’unité de ce gain. J’espère que tu as compris comment on a utilisé dans un 1^er temps le fait que des fréquences c’est tout à fait la même chose que des pourcentages donc forcement tous tes gains ils représentent 100% des gains disponibles dans cette tombola. Donc il y avait 50% de gain g, 10% de gain 10, 30% de gain 20, 2% de gain 100 donc forcement on arrive à 92% il nous restait 8% de gain 50. Ensuite pour déterminer le gain g il fallait utiliser cette information de l’énoncé qui te donne le gain moyen par billet et donc il fallait revenir à la définition de la moyenne mais à la définition de la moyenne avec les fréquences. Donc je t’ai bien montré le passage..et bien.. Le calcul de la moyenne de façon classique au calcul de la moyenne grâce aux fréquences et c’est ça qui nous a permis de trouver le gain g en résolvant cette équation à une seule inconnue. J’espère que tu as bien compris cet exercice, c’est crucial pour la compréhension des fréquences et biensur de la moyenne.