2nde Géométrie spatiale, droites coplanaires

2nde Géométrie spatiale, droites coplanaires

En géométrie spatiale comment construire l’intersection de 2 droites coplanaires ?

Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv, dans l’exercice d’aujourd’hui on te propose d’étudier un tétraèdre noté ABCD et un point mobile I qui est sur le segment en AB, I ne peut pas être égal à A ni à B c’est pour ça que le segment AB on le note avec A et B exclus, tu vois comme des intervalles et J est un point mobile aussi mais sur le segment AC avec A et C exclus également. On te demande de savoir si les droites IJ et BC se croisent et si oui alors il faudra construire le point d’intersection de ces 2 droites. Bien sûr si on te demande de construire le point d’intersection noté K de ces droites IJ et BC c’est qu’effectivement la réponse à la question « ce croisent t’elles ? » et bien c’est oui donc d’après nous les droites IJ et BC se croisent mais ça ce n’est pas une démonstration mathématique il va falloir le prouver. Donc comment on va prouver que 2 droites IJ et BC sachant qu’ici on est en géométrie spatiale, on est en 3D et tu sais bien qu’en 3D 2 droites ne se croisent pas toujours. Par exemple là tu as une 1ère droite c’est mon doigts et là j’ai une 2ème droites, dans l’espace tu vois, et les 2 ne se croisent pas. Peut être qu’elles se croisent dans l’écran mais dans la réalité mais 2 doigts ici ne se touchent pas. Donc en 3D tu as parfois des droites qui ne se croisent pas. En 2D par contre quand 2 droites ne sont pas parallèles forcement elles se croisent. Donc c’est différent. Mais là IJ et BC comment on va prouver qu’elles se croisent ?

Et bien il faut déjà démontrer qu’elles sont coplanaires. Alors on va démontrer que les droites IJ et BC sont coplanaires. Alors qu’est ce que ça veut dire coplanaire ? En latin le mot « coum » ça veut dire avec, et le mot coum tu le retrouve dans beaucoup de mots en français comme étant le préfixe et le préfixe c’est plus coum mais co, et ici co ça veut dire avec et tu le retrouve par exemple dans le mot colocataire. Ce sont des gens qui sont ensembles dans une même location. Là c’est pareil, 2 droites coplanaires ça signifie qu’elles sont ensembles dans un même plan. Planaire bien sûr ça correspond à plan. Donc co quand tu retrouves ce préfixe là ça veut dire, avec/ensembles.

Comment on va montrer que les droites IJ et BC et d’abord pourquoi on va montrer que les droites IJ et BC sont coplanaires ? Parce que si elles sont coplanaires, si elles ne sont pas parallèles, elles se croisent, c’est forcé. Parce que 2 droites qui sont dans le même plan, en fait tu rapporte à un problème qui est en 2 dimensions. 2 droites dans un même plan si elles ne sont pas parallèles, forcement elles se croisent. Tu vois si je prends ma main et que dessus je mets mon doigt, et que j’en mets un 2ème donc mon pouce, mon index, forcement, mon index et mon pouce représentants les 2 droites ils se croisent.

Donc en 2D, 2 droites qui ne sont pas parallèles se croisent forcement et donc si on montre qu’elles sont coplanaire à priori ici dans le plan ABC, on va montrer que c’est le plan ABC et bien on aura montré que IJ et BC se croisent. Sauf si elles sont parallèles dans ce plan. D’abord on va montrer qu’elles sont coplanaires, et pour montrer qu’elles sont coplanaires, c’est très simple on va y aller progressivement. Considérons déjà la droite IJ et on va montrer qu’elle est dans le plan ABC. Puisque de fait la droite BC elle est dans le plan ABC puisque la droite BC elle constitue le plan ABC.

<Formule Maths>

La droite IJ, est ce qu’elle appartient au plan ABC ? Directement comme ça tu ne peux pas le dire en fait il faut y aller plus progressivement. IJ est composée des points I et J :

<Formule Maths>

Tu ne peux pas dire d’emblée en fait que IJ et BC sont dans le même plan il faut quand même montrer un petit peu que tu as montré pourquoi.

<Formule Maths>

Du coup les 2 droites sont coplanaires, il ne semble pas qu’elles soient parallèles sur ce schéma mais si elles le sont alors elles ne se croisent pas mais si elles ne sont pas parallèles alors elles se croisent forcement. Donc là ce qu’on vient de montrer c’est que les 2 droites (IJ) et (BC) appartiennent au plan donc ABC. Elles sont coplanaires.

Oui elles se croisent sauf exception si elles sont parallèles. Alors là sur le schéma peut être que tu vois que les droites IJ et BC ne sont pas parallèles car si on reproduit en 2D de façon aplati et pas avec une vue fuyante comme ça sur la face ABC.

<Schéma Maths>

IJ2 serait parallèle, on appelle cette configuration, configuration de Thalès. C’est un triangle dans lequel une droite qui coupe le triangle est parallèle à l’un des cotés du triangle, ici la droite IJ2 est parallèle au coté BC du triangle ABC. Ça serait une configuration de Thalès et c’est le seul cas où les droites IJ et BC ne se coupent pas. Sinon oui le reste du temps elles se croisent. Il apparait d’après ce qu’on voit sur notre figure, IJ et BC ne sont pas parallèles. Donc ce qu’on va faire c’est qu’on va construire ensemble l’intersection k des droites IJ et BC.

<Formule Maths>

Pour construire l’intersection des droites IJ et BC il faut un peu sortir du cadre et ne pas penser que IJ et BC sont seulement des segments tu vois, des choses fermées. Il faut penser à prolonger les droites IJ et BC sur ton schéma et c’est ce qu’on va faire immédiatement.

<Schéma Maths>

On a notre point K qu’on nous demandait de construire et j’ajoute une chose sur l’exercice. Ce point K tu vois qu’il est sur la droite BC or la droite BC elle appartient à la face du dessous de ton tétraèdre, cette face qui s’appelle BCD. Du coup si le point K appartient à la droite BC il appartient au plan BCD bien sûr K n’est pas dans la face BCD, il n’est pas au milieu des 3 points ici mais il appartient au plan du dessous du tétraèdre. C’était juste une information supplémentaire. Voilà, on a prouvé que 2 droites IJ et BC se croisaient en montrant qu’elles étaient dans un même plan puisqu’en 3D tu sais bien qu’il peut exister des droites qui ne se croisent pas même sans être parallèles. On a montré que IJ et BC étaient coplanaires donc appartenaient à un même plan et ensuite en prolongeant les 2 segments IJ et BC, donc en traçant les 2 droites IJ et BC on a pu construire le point d’intersection K. J’ajoute que tu as vu qu’il y avait quand même un K exceptionnel dans lequel les droites IJ et BC ne se croisaient pas pourtant en étant coplanaires et ce K là c’est quand on est dans une configuration de thalès d’un triangle ABC c’est-à-dire que la droite IJ elle est parallèle à cette droite BC dans le triangle ABC. Niveau méthode ça nous apprend que quand tu as un schéma 3D il ne faut pas hésiter à reproduire en 2D l’un des plans de ton schéma 3D. Ca nous est arrivé déjà de reproduire les faces d’un cube, une face d’un cube en 2D, ça te fait un 2ème schéma sur lequel tu peux y voir plus clair. Ça peut te permettre d’avancer dans la résolution de l’exercice. N’hésite jamais à refaire une partie de la figure, une zone qui te parait pas claire, et notamment quand tu es en 3D n’hésite pas à reproduire l’une des faces, l’un des plans comme ça sur un schéma 2D en fait tu enlèves un peu la complexité du problème 3D tu le transforme en un problème 2D quelque part. C’est ce que je te conseille de faire quand tu abordes un problème en géométrie spatiale.