2nde Mise en équation d’un problème géométrique avec les aires d’un triangle et d’un carré

2nde Mise en équation d’un problème géométrique avec les aires d’un triangle et d’un carré

Comment mettre en équation un problème géométrique ?

Bonjour à toi et bienvenue à cette nouvelle vidéo star en maths. J’espère que tu vas bien
Alorsm, dans cette exercise, nous avons un triangle a b c, ici en bleu clair, qui est découpé dans un carré de côté x.
La question est la suivante, il faut déterminer x tel que l’aire du triangle soit égale ou inférieure à ¼ de l’aire du carré.
Alors, peut être que tu as déjà rencontré ce type de problème où tout est exprimé en français. Tu vois, on te présente une figure géometrique et tu n’as pas vraiment d´équation, ou fonction ou quoi que ce soit d’autre qui t’est présenté mathematiquement. Tu n’as que des mots en français, apart de x et a, b, c…En fait, je trouve que c’est un exercise qui n’est pas évident. C’est un exercise qui est plutôt niveau seconde mais si tu es première ou terminale, je pense que ça vaut vraiment le coup que tu t’y interesse, et t’entraines dessus. Ce n’est pas un exercise évident car il y a plein de savoirs faire, il y a plein de petites choses à savoir faire.
Première chose qu’il va falloir faire c’est que, quand tu lis la question tout est exprimé en mots français et en fait, ça serait bien d’essayer de traduire ça mathématiquement, de mettre en équation la question.
Et ca, je peux t’assurer que c’est quelque chose de pas facile, traduire mathématiquement de choses, mettre en équation des questions qui sont exprimées en français, c’est quelque chose qui n’est pas facile. Pourtant c’est quelque chose que l’on attend de toi dans plusieurs exercises à partir de la seconde, en lycée.
Ca va être une première chose à savoir faire. Et ensuite, on sera devant ne équation ou une inéquation, tu vas voir, mathématique dans cet exercise et il va falloir que tu aies du savoir faire pour la résoudre.
Donc déjà ce que je t’encourage à faire c’est de te concentrer sur l’enoncé de l’exercise, quand il est exprimé de cette façon-là, c’est-à-dire, en français. Donc tu lis chaque mot et tu vois ce que tu peux en faire. Notamment quand tu as une figure géométrique comme ici présent, et bien, je t’encourage à marquer tout ce que tu sais sur cette figure géométrique, c’est vraiment très important.
Là, par exemple, il y a une figure qui t’est proposée mais tu n’est pas forcément indiqué. Car on te dit qu’il y a un triangle abc,
Effectivement, je regarde la figure, le triangle abc, je le vois bien. Il y a a b c qui sont indiqués.
Ensuite il est découpé…découpé, bien, pas de souci, c’est juste que le triangle est « dans le carré ».
Dans le carré de côté x. Donc là on a un carré, on voit bien que c’est le carré noir, et ça serait bien d’indiquer les informations intéressantes sur ce carré.
Qu’est qui est intéressant d’ajouter sur cette figure noire pour indiquer que cette figure noire est effectivement un carré ? Bien déjà, les angles droits…on peut ajouter les angles droits, partout, au sommet. C’est vraiment de petites informations qui paraissent rien..mais à mon avis c’est important de les indiquer car ça peut t’aider ensuite à réflechir. Si ça n’avait pas été là, c’est pas sûr que tu aurais l’idée d’exploiter ces angles droits. Là, c’est pas sûr qu’on en ait besoin mais on va voir.

Ensuite, c’est un carré de côté x. Il faut l’indiquer, tout simplement. Reportons cette notation x qui est proposée comme étant la longueur de l’un des côtés du carré, reportons-la sur la figure.
On va repporter notre x partout.
Là, c’est plutôt pas mal sachant que le x c’est toute cette longueur là, sachant que la longeur du bas est un peu…il y a la longeur 2 et la longeur x. Donc là il y a quelque chose qui n’est pas dit dans l’enoncé en français mais, quand tu regardes la figure, tu remarques une nouvelle information, c’est cette fameuse longeur 2 ici. Donc sûrement qu’on va devoir l’utiliser. Dit-toi aussi quelque chose, dès que tu as une information qui est présentée sur une figure ou dans l’énoncé en français, ou sous forme d’équation, sous forme mathématique, ou de symbole mathématique, et bien, cette information c’est quelque chose que l’on va devoir utiliser, c’est une donnée si tu veux, qu’il va falloir à un moment donnée utiliser.
Il y a très rarement, je dirais même « jamais », des données inutiles dans un énoncé des maths.
Donc forcément, le 2 en rouge ici va être utile à un moment donné. Ca marche ? Donc maintenant, question…on va essayer de la traduire mathématiquement, c’est-à-dire, de la mettre sous forme d’une équation.

Donc là, je dirais que la première étape pour résoudre ce type d’exercise, c’est très important, c’est tout simplement traduction mathématique. A la fin, tu aimerais bien avoir soit une fonction, soit une équation, soit les deux…bref, des symboles mathématiques qui traduisent en entier la question proposée. Et aussi les données…si les données ne sont pas traduits mathématiquement il ne faut pas hésiter à les traduire mathématiquement.
Et la deuxième étape, ça sera tout simplement la résoution. Donc tu vois qu’il y a une étape supplémentaire en ce genre d’exercise, c’est vraiment cette étape de traduction mathématique.
La deuxième c’est évidemment la résolution effective de ton problème.
Donc on lit tranquillement la question ensemble. C’est quelque chose de très important, quand tu es tout seul toi devant un exercise de ce type là, il faut que tu te concentres sur chaque mot de la question.
Et quand tu vas te concentrer dessus tu vas voir que tu vas pouvoir traduire chaque mot.
Déterminer x…bon, ça je comprends ce que ça veut dire…déterminer c’est un verbe souvent employé en maths pour dire trouver. Donc trouver, chercher le x…tel que l’aire du triangle…L’aire du triangle…tiens, tiens, tiens..
J’ai un triangle bleu clair, abc, et là on nous parle de son aire. Ca peut être pas mal d’essayer de traduire mathématiquement ça. Comment on traduit mathématiquement l’aire d’un triangle ? En fait il faut connaitre la formule de l’aire d’un triangle.
Et c’est quoi la formule de l’aire d’un triangle ? Et bien, je vais l’indiquer.
L’aire d’un triangle – donc là on est à la première étape-, et bien, c’est quoi ?
Est-ce que tu te souviens de la formule ? C’est une formule très importante que l’on retrouve dans énormément d’exercises en maths.
C’est basse fois hauter, le tout divisé par 2.
Il faut que la hauteur soit issue de la basse.nTu sais que l’hauteur du triangle est cette fameuse droite qui coupe perpendiculaire la basse, c’est-à-dire, le côté que tu as choisi. On verra à quelle basse et à quelle droite on s’intéresse après.
Là déjà c’est important de rappeller la formule de l’aire d’un triangle.
Donc là on continue à lire la question, tranquillement, posément…soit inféure ou égale, ça je connais la traduction mathématique, c’est tout simplement le symbole < =. Et bien je le mets en dessous. Et un quart je sais aussi `a quel nombre ça correspond, c’est 1 / 4 et c’est aussi le nombre décimal 0,25. Et bien, je vais le mettre. Un quart…0,25…de l’aire du carré, je l’ai souligné en noir…comment on le traduit mathématiquement ? on va rappeller la formule de l’aire d’un carré. Et bien c’est côté fois côté, donc c’est côté au carré. Donc et là on s’approche d’une bonne traduction mathématique de notre question. Ce qu’il va falloir faire c’est aire du triangle, celle-ci qu’on va adapter à notre triangle bleu, inférieure ou égale à un quart de l’aire, un quart de l’aire c’est un quart fois l’aire du carré…Quand on dit 0,25 d’un prix c’est 0,25 fois ce prix…Si le prix c’est 100 euros, par exemple, 25% d’un prix c’est 25% de 100 euros, donc 25% fois 100 eurosm donc simplement 25 euros. Donc là c’est fois, donc un quart fois de l’aire de ce carré que l’on a adapté à la notation de notre exercise. Ca va ? Est-ce que tu comprends un petit peu cette démarche de traduction mathématique ? Là on va finir la première étape, de traduction mathématique, on a bien avancé mais c’est pas tout à fait terminé, il faut vraiment bien mettre en forme tout ça et nottamment adapter. Et adapter, c’est ça ce que je veux dire quand je dis « bien mettre en forme » l’aire du triangle est base fois hauteur divisée par deux. Bon, tu regardes ton triangle…qu’est-ce que tu va choisir comme basse ? Tu peux toujours choisir n’importe quel côté du triangle, comme étant la basse. Alors, le problème c’est ce qu’il va avoir un cas plus symple, quand même. Si tu choisis comme basse par example, AC, ça ne va pas être simple de trouver l’hauteur issue de AC. Tu pourrais la construire, le problème c’est que ça ne va pas être facile de trouver sa longueur. En fait ce que je t’encourage à prendre comme basse de ce triangle abc c’est le côté AB. Parce que ça va être très simple de trouver la hauteur de cette basse. Ca va être AB fois la hauteur. C’est quoi la hauteur, en fait, issue de cette basse ? Et c’est quoi la hauteur ? Je rappelle très rapidement : c’est la droite qui passe, qui coupe perpendiculairemet ce côté et qui passe par le sommet opposé. D’accord ? Donc, en fait, quelle est la droite qui passe par le sommet opposé à AB, c’est-à- dire c, et qui coupe perpendiculairement la droite AB. Et bien, c’est cette droite-là, tu vois…cette droite que je pourrais appeler tout simplement d. Donc c’est la droite passant parle côte droit du carré. Donc en fait, ça va être ça la hauteur et ça va être juste cette longueur là, c’est-à-dire, x. Tu te rends compte ? On se rend compte que notre hauteur issue de AB est tout simplement x….le tout divisé par 2. Ca y est, on obtient petit à petit, l’aire de notre triangle bleu, et ensuite on met inférieure ou égale à un quart fois, l’aire du carré. Je comprends que c’est tout simplement x au carré. Puisque x c’est la notation adoptée pour traduire la longueur d’un côté de notre carré. Et bien, là…on y arrive presque. On n’a pas tout a fait encore une traduction mathématique totale parce que j’aimerais bien qu’on remplace au maximum les choses. AB, c’est quoi AB ? Ca serait bien de le remplacer par quelque chose qui dépend de x. AB en fait quand tu regardes c’est cette longueur en bleu en bas. Et en fait c’est quoi ? Sachant que toute la longeur de A jusqu’à ce sommet-là du carré c’est x et que cette longeur rouge vaut 2. Et bien,forcément cette longueur, je pense que tu es d’accord avec moi, c’est la longeur totale, x , moins 2. Et là, bien, on obtient :
Voilà la traduction mathématique de notre question. Tu as vu qu’on a passé de tout cela à ceci.
C’est plutôt pas mal parce que maintenant on va pouvoir s’attaquer à la résolution de cette inéquation. On appelle ca une inéquation, parce que nous cherchons les x qui satisfont cette inéquation.
Voilà pour la première étape de traduction mathématique de notre énoncé, c’est pas forcément évident. C’est quelque chose que tu dois savoir faire et le conseil que je te donne c’est vraiment de te concentrer sur chaque mot de l’énoncé et d’essayer de penser à sa traduction mathématique, aux symboles mathématique qui correspondent…Donc il faut aussi que tu connaisses les formules…quand tu as souvent une figure géométrique comme ça, il faut que tu connaisses les formules des aires des carrés, des triangles…parfois des trapèzes, du perymètre d’un cercle quand tu as un cercle, de l’aire d’un disque…etc.
Voilà donc pour cette première étape.

Dans la vidéo précédente nous avons traduit mathématiquement notre question qui était exprimée en mots français et on était arrivé à cette inéquation ici présente. C’est à dire, qu’on est passé du monde des mots, si tu veux, au monde mathématique, des symboles mathématiques. Et à partir du moment où tu es dans le monde mathématique tu vas pouvoir résoudre de façon exacte les choses, c’est ça qui est interessant. Donc là, nous allons passer tout simplement à la deuxième étape de cette vidéo, dans la résolution de cet exercise, c’est à dire, tout simplement à la résolution de notre inéquation.
Donc, la deuxième étape de cet exercise est tout simplement résoudre l’inéquation suivante à laquelle on était arrivé après notre traduction mathématique. C’était:

Voilà, donc là tu es en face d’une inéquation, on a presque oublié le contexte dans lequel cette inéquation a lieu. Tu vois, on s’en fiche maintenant de notre carré et de notre triangle, c’est peut être à la fin qu’on vendra à ce que ça veut dire la solution que l’on aura trouvé. Mais, si tu regardes, juste cette inéquation on pourrait oublier tout ce qu’il y a avant et on pourrait te présenter comme exercise juste cette inéquation à résoudre.
Bon, voilà ce qu’on va faire dans cette vidép. On va juste résourdre cette inéquation. On va se concentrer sur elle.
Donc là, comme resoudes-tu ce type d’inéquation?
Bon, c’est une inéquation qui n’est pas simple. Pour moi c’est une inéquation qui est déjà un petit peu avancé. Donc tu te souviens pour résoudre une équation ou une inéquation, il y a deux étapes: c’est… la première, et bien tu va chercher l’ensemble de valeurs possibles, autrement dit, les valeurs interdites. Est-ce qu’il y a des valeurs interdites ici? Mais non, pas vraiment. Parce que, certes, tu as des cautions mais tu n’as pas de dénominateurs qui peuvent s’annuler, ca ne peut pas être zero…tu n’as pas de racines carrée non plus, donc là il n’y a pas de valeur interdite du tout dans cette inéquation.
Ensuite, la deuxième partie est utiliser une technique de résolution pour effectivement resoudre ton inéquation. Comment resoudre ce genre d’inéquation? Bon, souvent la première tactique que l’on eut utiliser c’ets d’essayer d’isoler le petit x d’un côte du inférieur ou égal.
La, peut être l’idée que tu aurais c’est de développer un peu ici. On peut essayer de le faire, on va voir ce que ça donne. Donc là, si on développe, ca va nous donner quoi? Ca nous donne:

On a développé, on est content et maintenant on repporte l’inférieur ou égale ici à
Là, ce qui serait bien aussi c’est de se débarrasser du 2 et du 4. Comment faire, par exemple, pour se débarrasser du divisé par 2 qu’on a à gauche?
et bien, ce qu’on va faire c’est multiplier à gauche et à droite par 2, parce que si tu multiplies à gauche et à droite tout ça par 2 et tout ça par 2, ce qui va faire à gauche c’est d’enlever le divisé 2 au dénominateur.
Car tout ça divisé par 2, entre paranthèses, forcement, les 2 en haut et en bas de la fraction vont s’annuler. Tu te souviens des règles pour transformer une inéquation? Tu as le droit, d’ajouter ou soustraire un nombre à gauche et à droite de ton sinférieur ou égal, ça ne changera pas l’inférieur ou égal, tu as le droit de multiplier ou divisier à gauche et à droite par un nombre positif, c’est ce qu’on fait ici avec 2, un nombre positif, et ça ne changera pas l’inférieur ou égal. Par contre quand tu multiplies ou divises par un nombre négatif, on n’aura pas de le faire ici, alors le signe change pour un supérieur ou égal. Bon, je te rapelle ces petites règles importantes pour transformer une inégalité.
Là, donc, on fait juste multiplier par 2 des deux côtés et ça enlève le 2 à droite et à gauche. Et du coup il nous reste tout simplement:

Là on peut mettre tout sous la forme d’une seule fraction.
2x au carré sur quatre, c’est aussi x au carré sur 2. Parce que 4 c’est 2 fois 2 donc les 2 s’annulent en haut et en bas…ca marche? donc il te reste juste un 2 en bas.

Là c’est paréil, on essaie de se débarraser du 2 qu’on a en divisé là. Donc, exactement de la même façon, on multiplie de deux còtés par 2. Tu refais 2 fois ça, des deux côtés bien sûr. Et là tu obtient l’inéquation souvente, qui est celle-ci:

On va aller plus vite, je vais développer… Et on va obtenir

Et bien, qu’est ce que c’est le but de multiplier par 2 de deux côtés? C’est justement d’enlever le divisé par 2 qu’on obtenait là…Donc il te reste juste un x au carré…voilà
Et maintenant ce au’on fait, tu vas que tu ne vas pas reussir à isoler le petit x tout seul puisque tu as des x au carré. Ca ne va pas ètre possible d’isoler le petit x tout seul. Mais ce qu’on va faire déjà on va regrouper les x et les x au carré. Donc on va passer le x2 tout simplement, à gauche.
Donc en faisant -x2 à gauche et à droite de ton inéquation. Tu vois, comme ça on va l’enlever de la droite et on va le retrouver de l’autre côté avec un -. Donc là , je vais le noter là…
Il va te rester

Le 4x on ne l’aura pas bougé
et à droite tu auras inférieur ou égal à 0.
Là on s’approche d’une équation que l’on peut résoudre. Et peut être tu vois comment on va le faire. En fait, on va essayer de factoriser à gauche et on va essayer de trouver le signe de cette expression. Parce que tu as inferieur ou égale à zero…et plus particulièrement de trouver quand est ce que cette expression est négative, est -, à l’aide d’un tableau de signe.

Donc, pour quoi on factorise? Parce qu’il plus simple de trouver le signe d’une expression qui est factorisée que de ceci.
Trouver le signe de , moi personnellement je suis incapable, comme ça.
Vaut meux essayer de trouver le signe de quelque chose qui est factorisé, c’est à dire, sous forme d’un truc, d’un facteur on appelle ça, fois un deuxième facteur. Comme ça il te suffira de trouver le signe de deux facteurs.

Donc là, on factorise par x, parce que tu vois que tu as x qui est en comment dans le premier et le deuxième terme…Donc on factorise par x. On trouve:
x facteur de inferieur ou égale à 0

Donc là je vais un peu vite avec l’étude de signe de l’inéquation, je supose que tu es un peu à l’aise avec la transformation de l’inéquation comme on vient de le faire, la factorisation aussi et le tableau de signe qu’on s’apprête à faire.

Donc on va mettre notre x

Dans cette exercise il ne faut pas oublier le contexte. C’est à dire, que dans la première ligne du tableau de signe tu pourrais mettre – l’infini + infini, le problème c’est que notre x, tu sais que c’est une longueur, donc forcément, il faut que ce soit un numéro positif. Il y a quelque chose aussim que l’on peut utiliser dans cet exercise, c’est que notre x, oui, c’est une longueur, mias c’est une longueur qui va être égale ou supérieur à 2. Car tu vois biendans le côte du bas du carré, tu as une longueur 2 qui s’inmisce de ce côté-là. Donc, forcement x, qui est la longueur des côtés du carrée, doit être supérieure à 2. Sinon, on ne pourrait pas avoir cette longueur rouge.

Parce que, en plus, par example, si x était 1,5 ce qui n’est pas possible.. pas possible pour quoi? parce que tu n’aurais plus une longueur de 2 si tu ça doit faire 1,5 , tu ne peux plus avoir de longeur 2 et en plus ce triangle bleu n’existerait plus. Donc tout simplement, cela qui est un peu compliqué, c’est vrai que ce n’est pas forcément évident d’y penser, c’est pour ca qu’il faut revenir, de se remettre dans le contexte de l’exercise, et x peut varier entre 2 et plus infini, d’accord? Il ne peut pas être en dessous de 2 et encore moins être négatif, évidemment.

Donc là, ça va être la première ligne de ton tableau.
Tu vas mettre x, c’est ton premier facteur, ensuite x – 4 l’autre facteur, et ensuite x fois x -4 qui est notre expression
On trace les lignes
Le x…quel est le signe de x, quand x se balade de 2 a plus infini?
Rien de plus simple…le x est positif quand x se balade de 2 à plus infini! 1, 2, 3, 4., 5 avec les nombres decimaux entre…tout ça c’est est positif
Maintenant, comment obtenir le signe de x – 4? Là c’est un peu moins c’est moins évident
En fait, c’est pas exactement comment obtenir le signe de ce genre de fonction, c’est ce qu’on appelle une fonction afine, parce que c’est du type ax + b, tu te souviens que les fonctions afines sont ax + b.
Et bien, je t’encourage à aller dans d’autres vidéos que j’ai faites sur le sujet où j’explique comment obtenir le signe d’une fonction afine.
Donc là on va aller un peu vite
En fait, vu que le coefficient directeur vaut 1, ce qu’il y a devant le x, ta fonction afine est croissante. Pour toi elle est comme ça, si tu traçais sa droite dans le repère orthonormé, car la courbe d’une fonction afine est une droite quand tu traces ça dans un repère orthonormé. Elle est croissante, ça ne veut pas dire qu’elle est positive, ça veut dire que c’est – d’abord et + ensuite. Tu vois, quand tu as une fonction croissante à un moment donné forcement elle va couper l’axe des abscises, avant elle sera au-dessous et après elle est au-dessus. Quand elle est au dessous x-4 est négative et après sera +, quand la droite est au-dessus de l’axe des abscises elle sera +. Le problème est qui nous manque un petit truc, c’est de savoir quand est ce que ça coupe l’axe des abscises. Pour ça on resoud la petite équation: x-4=0. Tu résouds cela et ça te donne, x=4, tout simplement, en passant le 4 à droite. Tu mets ton 4 ici, forcement à droite de 2, parce que c’est plus grand que 2…je te rappelle que les nombres dans cette première ligne sont arrangés dans un ordre croissant. Et ensuite, tu mets le 0 au niveau de cette ligne-là. Et btu le reportes ici. Parce que forcement quand x-4 vaut zero, et bien, x facteur de x-4, aussi. Parce que x fois 0, peu emporte la valeur de x, quelque chose fois 0, ça fait 0. C’est pour ça qu’on met 0 là. Donc là c’est bien, on se rapproche du signe que l’on cherche. Tu peut rapporter le + ici. On va avoir + là et – ici.
Là on applique la technique des fois entre les signes. plus fois moins, ça fait un nombre négatif, un nombre positif fois un nombre positif ça te donne un nombre positif.

Ca marche? Là on revient à notre inéquation, qui était celle-ci.
Et on voulait qu’elle soit négative notre expression, négative ou égale à zero.
Donc ce qui nous intéresse c’est, cette partie là
Le – avec le 0 inclus.
Au niveau de x ça revient à x compris entre 2 et 4
Et on a le droit à inclure le 4, tout simplement car x (x-4) vaut zero quand x vaut 4. Et en fait on cherchait à ce que l’expression soit inférieure ou égale à 0 donc quand c’est x=4 ça marche aussi. Ca marche?

Donc voilà tes solutions.
C’est à dire, que la longueur du côté de ton carré doit être comprise entre 2 et 4 pour que l’aire de triangle bleu claire soit inférieure à 1/4 de l’aire du carré total.
Voilà à quoi correspond cet exercise.
Donc là c’est S égal, tu peux mettre les solutions à la fin, comme ça…à l’interval 2 jusqu’à 4 inclus.
Voilà comment on a résolu notre inéquation.
Donc j’espère que tu a bien compris comment on a résolu notre petite inéquation: on a développé, on s’est débarrassé de nos fractions de sur 2 et sur 4, en multipliant par 2 et par 2 encore une nouvelle fois après pour se débarrasser de ces fractions, on a tout mis d’un même côté, c’est à dire, ici, pour avoir un zero à droite, et après on a factorisé pour faire une étude de signe de ceci. Et en particulier on voulait savoir quand s’était négatif ou zero. La c’est une technique très employé pour résoudre une inéquation. Je t’encourage à l’etudier avec attention et bien comprendre en detail. J’estime que je l’ai expliqué bien, avec tous les details, donc à mon avis si tu t’entraines à refaire quelques petites inéquations de ce genre là que tu pourras trouver sur mon blog et dans d’autres vidéos que j’ai faites…Et bien, n’hésites pas à aller t’entrainer, à refaire par toi même ce type d’inéquation…Je pense que tu seras ensuite à l’aise pour résoudre ce genre de choses.
Je pense que la partie difficile de cet exercise c’était la première étape, c’est ce que l’on a fait dans la vidéo précédente, à savoir, la traduction matémathique. C’est à dire, traduire toute cette question dans une inéquation. A mon avis, c’est cela qui n’est pas évident et qui tu pourras trouver dans d’autres exercises que tu feras.