2nde Montrer qu’une fonction carré est croissante sur un intervalle donné

2nde
Etude d’une fonction carrée
vidéo 1/3

Quand tu es en seconde, comment étudier les variations d’une fonction polynôme du second degré?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo star en math. J’espère que tu vas bien. Ici Romain.
Donc dans cet exercice nous allons étudier la fonction suivante, ici en mauve : f(x)=x2-6x+13.
Et on a deux questions dans cet exercice.

Donc la première question que nous allons traiter dans cette vidéo, c’est qu’il va falloir montrer que pour tout x, on a f(x)=(x-3)2+4
Et à la fin, donc la deuxième question, ce sera dans la prochaine vidéo, de montrer que f est croissante sur l’intervalle [3;+l’infini[, sans calculer la dérivée.
Donc si tu es en seconde, la dérivée ça ne te dit rien du tout mais si tu es en première, la dérivée c’est un outil que tu vas bientôt voir ou que tu as déjà vu, et là, dans cet exercice, il ne faut pas utiliser ça;
IL faut utiliser dans la question b une façon de faire que tu vois normalement en seconde.

Donc là, dans cette première vidéo, il va falloir montrer la chose suivante, on va faire la question a.
Il va falloir juste montrer que f(x) et bien c’est aussi égal à (x-3) le tout au carré plus 4.
Bon c’est une question très classique dans les exercices de seconde, comment démontrer ceci ?
C’est très simple en fait, il faut juste, dans cette question, je peux l’exprimer autrement, démontrer que x au carré moins 6x plus 13 est égal à (x-3) au carré plus 4.
Il faut démontrer ceci. Ça c’est l’inconnu, c’est le but en fait, c’est la cible de cette question.

Donc comment démontrer une égalité en mathématiques ? Comment tu démontres que A=B d’une façon générale ?
Et bien soit, tu as plusieurs techniques, soit tu pars de A et tu le calcules, tu le transformes un petit peu et à la fin tu arrives à B.
Soit tu pars de B et tu le transformes et tu arrives à A. tu le transformes petit à petit avec une succession d’égalités.
Soit, il y a une troisième alternatives, un petit peu moins fréquente, c’est que tu montres que A=C en le transformant un petit peu et tu montres que B=C aussi en le transformant un petit peu aussi.
Donc tu auras bien démontré l’égalité entre A et B.
Donc voilà 3 techniques pour démontrer l’égalité en mathématiques.

Donc à ton avis, laquelle on va utiliser ici ?
Et bien moi je t’encourage à utiliser la suivante, c’est qu’il faut juste, en fait, partir de (x-3) au carré +4 ici en bleu clair, transformer un petit peu cette expression, et à la fin, démontrer que ça vaut x au carré moins 6x plus 13.
Donc tu sais ça, que c’est f(x).
Tu sais une seule chose sur f(x), c’est que c’est égal à ceci, pour l’instant, au début.
Donc là, tu pars de ça, mais attention, tu ne pars pas de f(x) égal ça, puisque justement c’est le but, je vais mettre un point d’interrogation au dessus.
Tu ne peux pas dire que tu as égalité entre les deux, entre f(x) et ça puisque justement c’est le but de la question;
Ça, c’est une erreur classique, c’est pour ça que je te préviens là-dessus.
Donc en fait, il faut juste partir de (x-3) au carré plus 4 et en fait tu le transformes, je répète, en fait ça reviens à partir du B ici en noir et tu le transformes pour arriver au A.

Donc nous, c’est ce qu’on va faire, sachant que tu pourrais aussi partir de x au carré moins 16x plus 13, le transformer et arriver à ceci.
En fait, c’est ce qu’on appelle une mise sous forme canonique, le passage de là à là. Mais en fait je trouve que c’est le passage le moins facile. Mais on pourrait faire aussi comme ça.
Et si tu veux faire comme ça, n’hésite pas à aller voir les autres vidéos que j’ai faites sur la mise sous forme canonique d’un polynôme du second degré.
C’est ça qu’il s’agit de faire pour passer du mauve au bleu, pour montrer l’égalité dans ce sens là.

Mais nous on va faire l’inverse, on part de (x-3) au carré plus 4 et là, on met égal.
Bien sûr tu ne peux pas mettre égal f(x) puisque c’est le but, bien sûr, tu ne peux pas dire que c’est égal à x carré moins 6x plus 13 directement puisque c’est le but, on veut arriver à ça.
Donc là, comment passer de ça à la forme mauve là. Donc en fait, ce que je t’encourage à faire, c’est enlever les parenthèses.
Et comment fait-on pour enlever les parenthèses, et bien tu développes. Comment développer cette chose-là.
C’est simple, développer en math, ça veut dire faire les calculs pour enlever les parenthèses, et bien tu utilises l’identité remarquable (a-b) le tout au carré.
Tu te souviens ça, ça vaut a carré -2ab+b carré. Donc quel est le a en rouge ici, et bien c’est x et quel est le b en rouge, c’est 3.
Donc il suffit juste de remplacer. Il faut bien connaître tes identités remarquables, elles servent très souvent dans les calculs en math.

C’est parti, on obtient :
« Calcul mathématique »
Voilà pour notre développement, maintenant il suffit juste de nettoyer un petit peu nos calculs pour arriver, tu vas voir, à f(x).
On obtient :
« Calcul mathématique »
A la fin tu peux écrire que c’est égal à f(x) puisque c’était le but de la question, comme ça tu clarifies bien les choses.
Tu es bien parti de tes données de départ et tu es arrivé à ce qu’il fallait, au f(x) et tu as bien démontré l’égalité entre ceci et f(x).
Tu vois que c’est bien f(x) x au carré moins 6x plus 13. Donc tu as bien démontré ce point d’interrogation ici en rouge. Tu as bien démontré l’égalité bleu clair.

Voilà donc pour cette démonstration toute simple, qui est vraiment très fréquente dans les exercices de math de seconde.
On a bien tout expliqué au niveau des calculs donc je pense que tu pourras refaire par toi-même ce genre de question à l’avenir.

2nde
Étude d’une fonction carrée
vidéo 2/3

Dans cette deuxième vidéo, nous allons traiter la deuxième question de notre exercice, la question b, donc je vais l’indiquer.
La question b qui est une question pas facile je trouve, qu’on aborde en seconde, parce que ça c’est vraiment un exercice type seconde, en lycée.
Donc là, il faut montrer que f est croissante sur [3;plus l’infini[, sachant qu’on vient de démontrer quelque chose dans notre exercice.
On vient de démontrer dans la question a que f(x) est égal aussi à (x-3) le tout au carré plus 4.
Tu sais, je vais te dire une chose, dans un exo de maths, c’est très important, dès que tu viens de démontrer quelque chose dans une question précédente, il faut absolument encadrer le résultat, encadrer ce que tu viens de démontrer, parce que ça va surement te servir.
Ce n’est pas sûr à 100% mais c’est très probable que ça te serve dans les questions qui suivent.
Donc là, pour faire la question b, ce que je suis en train de te dire, c’est que l’on va probablement utiliser le résultat de la question a. IL faut toujours que tu penses à ça, c’est très important en devoir surveillé. C’est ce qui peut te faire gagner des points très facilement.

Donc là, comment va-t-on montrer que f est croissante sur cet intervalle sans utiliser de dérivée ? Donc si tu es en première et que tu regardes cette vidéo, c’est bien mais il ne faut pas utiliser la dérivée ici.
Tu peux le faire en utilisant la dérivée mais ce sera beaucoup plus facile. Donc là, on va le faire sans dériver. Donc si tu es en seconde, ce qu’on va utiliser c’est la définition de la croissance d’une fonction.
Donc, définition que tu as vue je pense en cours, et qui est la suivante :
C’est que f est croissante, tu vois je fais vraiment un rappel de cours ici en noir, sur un intervalle [a;b], et bien qu’est-ce que ça veut dire ?
Au niveau graphique je pense que tu sais ce que ça veut dire. Une fonction croissante c’est tout simplement une fonction dont la courbe monte quand tu lis les choses de la gauche vers la droite dans le graphique. C’est donc une fonction dont la courbe monte.
Mais au niveau du calcul, qu’est-ce que ça veut dire ? Et bien ça veut dire que pour x1 et x2, deux nombres en fait, je les note x1 et x2, souvent toi dans ton cours c’est noté a et b, ça dépend comment tu as noté l’intervalle, mais c’est juste une question de notation.
Dis-toi juste que x1 et x2 sont deux nombres. Donc pour x1 et x2 appartenant à [a;b], tels que x1 est inférieur à x2, et bien, qu’est-ce que ça veut dire une fonction croissante ?
Et bien ça veut dire que f(x1) est inférieur ou égal à f(x2). Voilà et ça, c’est une définition je trouve, qui n’est pas facile à comprendre quand on est en seconde.

Je répète un petit peu ce que ça veut dire, quand tu prends 2 nombres, dans l’intervalle de définition ou dans l’intervalle dans lequel on étudie la fonction, deux nombre x1 et x2 qui sont dans [a;b], et bien leurs images, qui sont comme suit, c’est-à-dire que tu as f(x1) inférieur à f(x2).
Bon là maintenant je vais faire l’explication graphique. C’est-à-dire que si tu as une fonction qui est croissante -là je fais un petit repère orthonormé très rapide, donc y et x, l’origine- donc tu as une fonction qui monte.
Je fais une fonction qui monte, je la fais en rouge, voilà une fonction qui monte. On va faire l’intervalle [a;b], donc a ici, et ici b. voilà ton intervalle [a;b].
Et maintenant on va prendre deux nombres, il faut que ce soit valable cette inégalité pour n’importe quels nombres dans [a;b]. Donc on va prendre deux nombres au hasard dans [a;b].
On va prendre x1 par exemple là et x2 on va le prendre là. Maintenant que peux-tu dire de f(x1) et f(x2) ? Il faut vraiment savoir ce que c’est en mathématiques ces deux nombres, f(x1) et f(x2).
f(x1) et f(x2) ce ne sont pas des fonctions. Ce n’est pas la fonction f. La fonction f c’est la fonction f, on la note f mais f(x1) et f(x2), ce sont deux nombres. Il faut bien distinguer en mathématiques un nombre et une fonction, ce sont deux objets différents.
Donc là, f(x1) c’est un nombre, c’est l’image de x1 par f, et f(x2), c’est aussi un nombre, et c’est l’image de x2 par f.

Donc comment les trouver sur le graphique ? Comment les placer ?
Et bien en fait, il suffit de monter sur la courbe de f. D’ailleurs je n’ai pas indiqué que c’est la courbe de f, mais ça, c’est la courbe de f que j’ai dessinée en rouge.
Et donc, comment placer f(x1) et f(x2)? Je vais le faire en vert par exemple.
Et bien, tu pars de x1 pour placer f(x1) et tu descends vers la courbe, verticalement. Et tu arrives à un point de la courbe. Et le y de ce point, c’est-à-dire la deuxième coordonnée de ce point, c’est f(x1).
Donc tu vois bien que f(x1) et f(x2), ce sont des nombres qui sont sur l’axe des y, ce sont des y en fait.
Donc voilà pour f(x1) et maintenant pour f(x2) et bien je monte, j’arrive sur la courbe. Et maintenant, je reporte ce point vert horizontalement sur l’axe des y et j’arrive à f(x2).

Et qu’est-ce que tu constates sur les nombres de f(x1) et f(x2) ?
Tu vois bien que f(x2) est au dessus de f(x1) sur l’axe des y. Donc ça veut dire que f(x2) est un nombre plus grand que f(x1).
Voilà tu vois bien que f(x2) est plus grand que f(x1), sachant qu’on est parti de deux nombres, x1 et x2 tels que x2 est plus grand que x1. Ça marche ? Et f(x2), je vais le noter comme ça, est plus grand que f(x1).
Voilà ce que ça veut dire une fonction croissante, ça se comprend bien graphiquement.
Si la courbe elle monte et tu places deux nombres x1 et x2 tels que x1 est plus petit que x2, et bien forcément, leurs images, l’ordre est conservé, quand tu passes ici à f, tu vois bien que f(x1) est inférieur ou égal à f(x2).
Et si la courbe descendait, c’est la définition de f décroissante, et bien toujours en partant de x1 inférieur à x2, tu aurais l’inverse, tu aurais f(x2) qui aurait été en dessous de f(x1).
Je pense que tu comprends ça graphiquement. C’est assez facile à comprendre.

Donc nous, c’est ce qu’on va faire dans cet exercice, dans cette deuxième question;
On va prendre x1 et x2, deux nombres dans [3;plus l’infini[ tels que x1 est inférieur à x2 et ensuite on va démontrer que f(x1) est inférieur à f(x2).
Donc c’est parti, on va utiliser cette définition du cours que j’ai rappelée en noir.

Donc, soit x1, x2 appartenant à [3;plus l’infini[ tels que x1 est inférieur à x2.
Tu ne peux pas les choisir ces deux nombres là. Il faut les prendre de façon générale. C’est pour ça que tu les gardes écrits x1 et x2.
Tu ne peux pas dire que c’est par exemple 4 et 6 ou 4 et 10000. Tu ne peux pas les choisir, tu es obligé de les garder en général, de les prendre comme ceci.
Et maintenant, le but, c’est de démontrer que f(x1) est inférieur ou égal à f(x2).
C’est un passage qui n’est pas facile je trouve, mais bon j’essaie de te l’expliquer au mieux dans cette vidéo, cette démonstration que tu auras l’occasion de refaire dans plusieurs exercices en seconde donc essaie de comprendre, essaie de t’accrocher ici.

Donc là, le but est de démontrer que f(x1) est inférieur ou égal à f(x2).
Si on arrive à démontrer ça, on aura bel et bien démontré que f est croissante sur notre intervalle. C’est ça le but.
Donc là, comment démontrer que f(x1) est inférieur à f(x2) ?
Il y a une technique en math, pour démontrer qu’un nombre est plus petit qu’un autre, qui consiste à prendre le premier nombre, à lui soustraire le deuxième nombre, et à montrer que la différence est négative.
C’est-à-dire en gros, que si tu veux démontrer que A est inférieur ou égal à B, je mets un point d’interrogation, et bien tu calcules A-B et tu montres à la fin, quand tu as le résultat de ça, que c’est un nombre qui est négatif;
Parce que tu vois, si tu arrives à démontrer ça, c’est la même chose que ce qu’il y a au dessus parce que si tu passes le -B de l’autre coté, ça fait +B donc A inférieur ou égal à B.

Donc en fait, démontrer ceci, c’est la même chose, c’est ça que je suis en train de te dire, que de démontrer cela, que de démontrer que la différence est négative.
Et nous, c’est ce qu’on va faire.

2nde
Étude d’une fonction carrée
vidéo 3/3

Après t’avoir expliqué le principe de la démonstration dans la vidéo précédente, alors je t’encourage à aller le voir si tu ne l’as pas vu, et bien nous allons démontrer ceci, en noir.
C’est-à-dire qu’on va partir de x1 inférieur à x2, tu vois je l’ai noté ici, et on va démontrer que f(x1) est inférieur ou égal à f(x2).
Pour démontrer ceci je t’ai expliqué qu’on va faire la différence, f(x1)-f(x2). Tu vas voir plus concrètement ce que c’est puisque f(x1) et f(x2), c’est peut-être un petit peu abstrait pour l’instant pour toi.
Mais tu vas voir que dans notre exercice, vu qu’on connait f(x), et bien ça va devenir très concret.
Donc on va partir de f(x1)-f(x2) et on va démontrer que cette différence, en la calculant un petit peu est tout simplement négative.
Et comme ça, à la fin on aura bien démontré que f(x1) est inférieur ou égal à f(x2).

Donc on fait la différence, et on fait égal.
Et là, maintenant, on se pose la question, qu’est-ce que c’est que f(x1) ? Sachant que x1, tu le gardes comme ça. Ce n’est pas un nombre que tu peux choisir dans l’intervalle [3; plus l’infini[.
Donc tu le gardes comme tel, tu gardes x1. Pareil pour x2.
Donc f(x1), c’est tout simple, tu lis ce que c’est que f(x). Donc f(x), c’est aussi (x-3) le tout au carré plus 4.
Je te disais que c’est très important en mathématiques d’utiliser les résultats des questions précédentes. Si tu as fait une question a, certainement que dans la question b il va falloir utiliser le résultat de la question a.

Donc là, c’est ce qu’on va faire. On va prendre ce f(x) là, en bleu clair, et on va remplacer x par x1, puisque f(x1) c’est tout simplement (x-3) le tout au carré plus 4 en remplaçant x par x1 tout simplement.
Donc ça, je l’écris ici, donc ça va donner :
« Calcul mathématique »
Tout ça, c’est f(x1). Maintenant tu mets ton moins, et tu mets f(x2). f(x2) ça va être la même chose mais tu remplaces x par x2 tout simplement. Ça va donc te donner :
« Calcul mathématique »
Tu vois, j’ai bien fait de mettre des parenthèses parce que vu qu’il y a un moins devant, sans les parenthèses ça aurait été faux.

Donc là, je rappelle bien que tout ceci, c’est f(x1) et tout cela, dans les parenthèses, c’est f(x2).
Donc on a bien fait la différence f(x1)-f(x2).
Et maintenant, c’est parti, on va essayer d’enlever les grandes parenthèses ici pour voir ce que ça donne. Bref de développer avec le moins devant.
Donc on va trouver :
« Calcul mathématique »

On ne va développer parce que si tu le développes tu vas retomber sur cette forme en fait donc ça ne sert à rien d’avoir écrit les choses sous la forme bleu clair puisque tu vas retomber sur cette forme si tu développes ça.
Donc ça ne sert à rien, on va garder les choses comme ça sachant que le but, je te rappelle toujours le but, ce qu’on souhaite faire ici c’est démontrer qu’à la fin c’est négatif.
N’oublie jamais le but, n’oublie jamais ce que tu es en train de faire en math, la cible en fait, ce que tu cherches à faire.
Donc là, tu mets moins et on développe :
« Calcul mathématique »

Donc on a la différence de deux carrés et là, ça peut peut-être te faire penser à quelque chose : à l’une des trois identités remarquables qu’il faut connaitre : c’est a carré moins b carré.
Tu vois c’est une différence de deux carrés, je le disais à l’instant. Donc tu te souviens à quoi c’est égal cette identité remarquable ? C’est :
« Calcul mathématique »
Et donc là, c’est ce qu’on va utiliser. Le a en noir c’est x1-3 et le b en noir c’est x2-3.
Donc on va juste réécrire ceci en remplaçant a et b par ce qu’ils valent.

Donc c’est parti :
« Calcul mathématique »
On nettoie maintenant dans les parenthèses :
« Calcul mathématique »
Là, ça y est on arrive à quelque chose d’intéressant sachant qu’on souhaite faire quoi ? On souhaite juste démontrer que tout ça c’est négatif.

Donc est-ce que c’est négatif ? Ce n’est pas évident de le savoir comme ça au premier abord.
Il faut utiliser un petit peu chaque facteur. C’est plus facile d’étudier le signe de quelque chose de factorisé.
Tu vois, quand tu as un produit de deux facteurs -le facteur numéro 1 c’est x1-x2 et le facteur numéro 2 c’est x1+x2-6- si tu obtiens le signe de chaque facteur, tu obtiendras le signe du produit.

Donc là, x1-x2 : il ne faut pas oublier une chose sur x1 et x2, c’est qu’ils sont tels que x1 est inférieur à x2.
Il ne faut pas oublier ceci, c’était une condition de départ en fait.
Donc x1 est inférieur à x2 donc forcément x1-x2, tu vois si je passe le x2 de l’autre coté, que devient x1-x2 ? Et bien ça devient inférieur à 0.
C’est la même chose en fait. Tu es d’accord que 3 est inférieur à 5, donc 3-5 est inférieur à 0, d’ailleurs ça vaut -2. -2 est bien inférieur à 0.
Donc c’est ça que ça veut dire. Donc là, x1-x2, vu qu’on avait pris x1 inférieur à x2, forcément ça c’est strictement négatif.
Voilà donc déjà on a le signe du premier facteur.

Maintenant il nous reste à avoir le signe du deuxième facteur. Le deuxième facteur c’est x1+x2-6.
Il ne faut pas oublier une chose aussi, sur x1 et x2, tu as vu dans la définition, c’est qu’ils doivent appartenir à l’intervalle [a;b], c’est-à-dire à l’intervalle sur lequel tu étudies ta fonction.
Nous on étudie la fonction sur quel intervalle ? Et bien regarde la question, on doit montrer que f est croissante sur [3; plus l’infini[.
Donc x1 et x2 appartiennent à cet intervalle orange ici.
Donc, qu’est-ce que ça veut dire qu’un nombre appartient à [3;plus l’infini[ ? Et bien ça veut dire qu’il est plus grand que 3, tout simplement.

Donc là, x1, je vais l’écrire juste en dessous, je vais l’écrire en vert foncé, x1 c’est supérieur ou égal à 3 et x2 aussi, x2 est supérieur ou égal à 3.
Donc qu’est-ce que tu peux dire de la somme x1+x2?
Et bien, si deux nombres sont supérieurs à 3, et bien leur somme, je pense que tu seras d’accord, sera supérieure à 3+3.
En fait tu peux ajouter membre à membre ces deux inégalités. EN fait tu vas obtenir, tu vois si je fais la somme, plus ici, plus là, on obtient x1+x2 supérieur ou égal à 6.

Donc que peut-on dire de x1+x2-6 ? Et bien si un nombre est plus grand que 6, ce nombre moins 6, et bien il sera plus grand que 0, tout simplement.
Si je prends par exemple 8. 8 c’est plus grand que 6, et bien 8-6 ce sera plus grand que 0, puisque ça vaut 2, donc c’est logique tout ça.
Donc là, on arrive à une conclusion intéressante, c’est que x1 + x2 -6, vu que x1+x2 est plus grand que 6, c’est plus grand que 0.
Donc tout ça, c’est supérieur ou égal à 0. Tout ceci, ce deuxième facteur.

Donc là, on arrive au résultat suivant, c’est que tout ceci, un produit d’un nombre négatif strictement par un nombre positif, c’est tout simplement inférieur ou égal à 0.
Je pense que tu seras d’accord avec moi, c’est-à-dire que moins par plus, ça donne moins.
Donc en fait, ce qu’on vient de démontrer c’est que tout ça, tout ce que je vais encadrer en rouge, f(x1)-f(x2), on a galéré un petit peu mais on a réussi :
On a démontré que c’est inférieur ou égal à 0. Et qu’est-ce que ça veut dire que c’est inférieur ou égal à 0 ? Et bien ça veut dire aussi que f(x1) est plus petit que f(x2).
Tu vois donc on vient de démontrer ceci, en partant x1 inférieur à x2 et x1 et x2 sont dans l’intervalle [3; plus l’infini[.

Donc je répète un petit peu : on est parti de x1 inférieur à x2 dans [3;plus l’infini[ et à la fin de notre démonstration, nous venons de démontrer que f(x1) est inférieur ou égal à f(x2).
Et ça, tout ceci, ça veut dire que f est croissante non pas sur [a;b] mais sur notre intervalle exemple, notre intervalle particulier [3; plus l’infini[.
Ça y est, on a fini notre démonstration.
Donc en utilisant cette définition de la croissance sur un intervalle, on vient de démontrer que notre fonction polynôme du second degré ici, parce que je l’ai pas dit mais c’est un polynôme du second degré (qu’on appelle aussi trinôme ou fonction carrée), et bien on vient de démontrer qu’elle est croissante sur [3;plus l’infini[.
Donc en faisant toute cette démonstration.

Tu pourrais aussi démontrer, tu pourrais poursuivre un petit peu l’exercice, tu pourrais démontrer et je t’encourage à le faire, c’est la même façon de faire, que la fonction f est décroissante sur l’intervalle ]moins l’infini;3].
Tu pourrais vraiment démontrer ça. Il faut toujours que tu prennes x1 et x2 tels que x1 plus petit que x2 mais au lieu de les prendre appartenant à [3;plus l’infini[, tu les fais appartenir à ]moins l’infini;3].
Et là, f(x1)-f(x2), il ne faut plus démontrer que c’est négatif mais il faut démontrer que c’est positif.
Comme ça en fait, tu vas utiliser la définition de la décroissance d’une fonction.
La seule chose qui change dans la définition de la décroissance d’une fonction, c’est que f(x1) ici sera supérieur ou égal à f(x2).
C’est-à-dire qu’il faut démontrer que f(x1) est supérieur à f(x2), c’est-à-dire que f(x1)-f(x2) est supérieur ou égal à 0.

Voilà, j’espère que je ne t’embrouille pas trop avec toutes ces explications.
C’est quelque chose que je trouve difficile mais pourtant qui est abordé en seconde.
Donc essaie de comprendre, essaie vraiment de t’accrocher, si tu suis vraiment pas à pas les explications et la démonstration qu’on vient de faire, tu pourras à mon avis la reproduire dans les exercices que tu verras en classe.

Donc je pense qu’on a tout dit sur cette question b, et tu pourrais à la fin dresser un tableau de variation de f, si tu poursuis comme je te disais en démontrant que f est décroissante sur ]moins l’infini;3].
Et bien tu mettras une flèche qui descend tu vois, au début. Je peux le faire en tout petit là, le tableau de variation. On va le faire en rose par exemple.
Donc x, moins l’infini, 3, plus l’infini. La deuxième ligne ce sera les variations de f.
Ce n’est pas demandé dans l’exercice, mais si tu cherches à le faire, et bien f est décroissante ici, et elle est croissante là.
Et là tu peux mettre l’image de 3 par f, tu calcules f(3). C’est très simple à calculer, tu remplaces x par 3 là-dedans, ça va te donner :
« Calcul mathématique »
Donc ça fait 4. Voilà comment compléter un petit peu ton tableau de variation si tu cherches à le dresser.

Voilà donc pour cet exercice assez avancé, niveau seconde.