2nde Réduire au même dénominateur dans une équation

Comment résoudre une équation à une seule inconnue, avec plusieurs quotients et x – ton inconnue – tout le temps au dénominateur de ces quotients.

Bonjour à toi, et bienvenue sur Star en Maths TV. Ici Romain, alors dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons résoudre l’équation suivante à une seule inconnue, x :

<Équation mathématique>

Tu sais que résoudre une équation à une seule inconnue, x, c’est essayer d’obtenir à la fin x = quelque chose, donc essayer d’obtenir les valeurs numériques de ton inconnue. C’est-à-dire trouver ton inconnue, quelque part.

Ici déjà, première chose, vu que tu remarques que ton inconnue est au dénominateur, il faut trouver – déterminer – les valeurs interdites de x pour cette expression. C’est-à-dire que, en effet pour certaines valeurs de x, et bien tu ne peux pas calculer certains de ces quotients. Regarde ce premier quotient ici, à gauche, si x = 0, et bien que ce passe-t-il? Il ne se passe rien, en fait, parce qu’en mathématiques tu ne peux pas diviser par zéro. Donc c’est ça trouver les valeurs interdites, c’est trouver les valeurs que ne peut jamais prendre x parce que si elle les prend, et bien ton expression n’est pas calculable.

Donc première chose, déjà on va exclure les valeurs interdites de ton équation. Ensuite, on va résoudre cette équation. Alors, les valeurs interdites, comment va-t-on les trouver? Et bien, il ne suffit que de rechercher les valeurs pour lesquelles tes dénominateurs sont nuls. Alors, regarde.

On l’avait dit déjà, x doit être différent de zéro. Alors zéro, c’est déjà une première valeur interdite. X ne peut jamais être égal à cette valeur, c’est interdit. Ensuite, ici, pour ces deux quotients-là, il va falloir aussi examiner les valeurs interdites possibles. Alors, quand est-ce que x+1 peut être égal à zéro? Et bien quand x = -1, tout simplement. Donc ça, c’est une deuxième valeur interdite. X doit être différent de la valeur de -1, parce que si x vaut -1, ici ça ira dans ce quotient – 2 sur -1, c’est calculable, ça vaut -2. Mais ici ça n’ira plus. Donc tout ça ne sera pas calculable, et c’est donc une valeur à exclure. Et enfin, dans ce troisième quotient, et bien tu remarques que quand est-ce que x (x+1) = 0, et bien quand au moins un des facteurs est nul. Tu sais, c’est une bonne vieille règle de collège que tu connais sûrement depuis le collège, un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul. Donc voilà, on a déterminé si tu veux les deux valeurs interdites, ce sont les deux seules de notre équation, en examinant chacun des dénominateurs de tes quotients – de tes trois quotients présents dans cette équation. Et donc tu essaies de regarder pour quelle valeur de x chacun de ces dénominateurs égalent zéro et les valeurs de x trouvées – ici on a trouvé 0 et -1 – sont effectivement tes valeurs interdites.

Donc, les valeurs interdites, c’est important de les trouver, de les exclure ensuite. C’est-à-dire que quand on va résoudre l’équation, si on trouve des solutions pour x qui sont soit zéro ou -1, et bien ça n’ira pas du tout parce que x ne peut jamais être égal à 0 et -1. Voilà.

Donc première précaution quand tu abordes une équation avec des quotients, regarde et cherche les valeurs interdites.

Ensuite, deuxième étape bien sûr, on va répondre à la question effectivement. Donc, c’est la résolution de cette équation. Alors comment va-t-on résoudre une telle équation avec des quotients partout, et surtout ton inconnue, x, à chaque fois au dénominateur de ces quotients? Et bien en fait ce qu’il faut faire ici, c’est de tout réduire au même dénominateur.

Donc, tu vois, on va essayer de mettre 2/x sur un même dénominateur que 3/x+1 et de la même façon, que sur 1/x(x+1). C’est-à-dire qu’il faut que ces trois fractions, ces trois quotients, aient le même dénominateur. Alors à ton avis, comment on va pouvoir faire? Ici, tu remarques que le dénominateur est x(x+1). Ici, tu remarques que c’est x+1. Donc, tu remarques que ce terme-là est commun. Ensuite, tu remarques que pour ce quotient-là, tu as x comme dénominateur, et on le retrouve ici. Donc, tu remarques que toujours pour ce même gros dénominateur, et bien il a quelque chose de commun avec celui-ci, qui est x. Donc, pourquoi ne pas multiplier ce quotient, 2/x, haut et bas, par x+1? Comme ça, au dénominateur tu feras apparaître le terme en rose qu’il manque à celui-ci. Tu vois? Tu auras l’orange plus le rose, donc ce sera la même chose qu’ici. D’accord? Et bien sûr il faut multiplier haut et bas cette fraction par x+1 : de cette façon, la fraction obtenue sera égale. Tu vois? Une fraction par exemple du type :

<Équation Mathématique>

Donc c’est ce qu’on va faire. Et ensuite pour ce quotient ici, ce qu’on va faire pour obtenir le même dénominateur que celui-ci, c’est de multiplier par le membre orange, donc x, haut et bas, toujours. Donc, c’est parti.

Je renote rapidement cette équation :

<Équation mathématique>

Ensuite, vu que tu vas transformer cette équation un petit peu, tu vas mettre un signe d’équivalence. C’est-à-dire que tu vas obtenir une équation qui est équivalente, qui n’est pas exactement la même, mais qui te donner les mêmes solutions au final, pour x. Donc, comment fais-tu? Tu multiplies comme on avait dit :

Et tu vois le dénominateur ici est le même que celui-ci, donc c’est super. On a déjà deux quotients qui ont le même dénominateur. Ensuite, à droite :

Voilà. Alors à quoi ça nous a servi de mettre tout cela au même dénominateur? Et bien en fait maintenant tu peux ajouter facilement tes fractions. Tu vois? Ici tu vas pouvoir dire que c’est 3x + 1, le tout sur x(x+1), et donc tu vas voir ce que ça nous donne.

Donc j’écris un signe d’équivalence ici pour recommencer. Alors pourquoi ne pas développer au numérateur?

Voilà. Alors tu me diras que ce n’est pas gagné encore, on n’a pas obtenu x=. Mais on y arrive, parce qu’on avance petit à petit dans notre résolution. En fait ce qu’on va faire, c’est de tout passer du même côté, puisque là tu as une fraction sur un même dénominateur qui est x(x+1), et là aussi. Donc pourquoi ne pas, finalement, soustraire ces deux fractions? Donc passer, si tu veux, cette fraction-là – que je vais entourer tout de suite – de l’autre côté, pour obtenir ici à droite 1=0. C’est possible en fait, il ne suffit que de faire à gauche et à droite de cette équation, moins tout ça. Tu vois? Comme ça, ça l’enlève de la droite et on obtient moins tout ça ici. Ok? Donc c’est ce qu’on fait tout de suite.

C’est toujours plus facile d’ailleurs, c’est une petite astuce au passage, de résoudre une équation quelque chose égal zéro. Donc voilà, c’est une petite astuce et tu vas voir que ça va s’appliquer ici, parce qu’on va obtenir à gauche – et bien vu que les fractions ont le même dénominateur, tu peux mettre 2x+2 moins tout ce numérateur :

Et là, ça va être simple. Parce que là tu vas pouvoir distribuer ton moins. Moins devant une expression avec des parenthèses, comme ça, et bien ça va nous donner -3x et -1. Tu vois? Parce que moins, c’est comme si tu multipliais par -1, en fait. Donc là, on va obtenir comme équation :

Voilà. Donc qu’est-ce que ça va nous donner au numérateur? Et bien on va regrouper les x ensembles, et les constantes ensembles, et tu vas obtenir :

Bon alors, maintenant tu as quelque chose sur quelque chose d’autre qui vaut zéro. À ton avis, est-ce que c’est le numérateur ou le dénominateur qui est nul? Et bien c’est forcément le numérateur, parce qu’on a dit que le dénominateur ne pouvait jamais être nul en mathématiques. Tu ne peux pas diviser par zéro.

Donc forcément, si je multiplie cette équation à gauche et à droite par tout le dénominateur, qui n’est pas nul de toute façon puisque x n’est jamais égal à zéro, et x+1 n’est jamais égal à zéro non plus, puisqu’on avait dit qu’on excluait ces valeurs-là, pour les quelles x(x+1)=0.

Et en fait à quoi ça sert de faire cela? Et bien ça te permet ici à gauche d’enlever – justement de simplifier – par x(x+1). Voilà. Et tu le retrouves ici mais à la fin, tu gardes ton zéro. C’est ça que ça veut dire. Et tu n’obtiens plus que le numérateur = 0.

Et ça, c’est une équation vraiment simple à résoudre, parce que combien vaut x ici? Et bien il suffit de passer, si tu veux, le x de l’autre côté. Mais là, je pense que tu as compris :

Voilà ta solution finale, c’est x=1. Et ça, ça résout ton équation totale, initiale, ici avec ces trois quotients un peu compliqués. Et tu vois on peut remplacer rapidement x par 1 :

Donc, pour x =1, tu obtiens bien cette égalité. Donc c’est vraiment une solution de ton équation. Voilà donc j’espère que tu as compris la méthode pour comment résoudre cette équation.

Premièrement, les valeurs interdites – il faut que les trouve et que tu vérifies bien à la fin que ta solution soit différente de ces valeurs interdites. Ici, je ne l’ai pas dit, mais c’est le cas. 1 est différent de zéro, et 1 est différent de -1. Premièrement donc, les valeurs interdites. Et deuxièmement, pour résoudre une telle équation, là il fallait mettre le tout sur le même dénominateur. Et à la fin, ce même dénominateur tu pouvais t’en débarrasser. Ce que tu peux ajouter, quand tout est au même dénominateur, tu peux ajouter toutes tes fractions. Et donc ajouter quelque part les numérateurs obtenus.

Voilà, j’espère que tu as compris la méthode.