2nde Résoudre graphiquement une inéquation double en utilisant la courbe de la fonction inverse

2nde
Résoudre graphiquement une inéquation double en utilisant la courbe de la fonction inverse

On va te demander de les résoudre graphiquement. Tu sais que ça tu pourrais les résoudre par le calcul. Par le calcul il faudrait considérer juste la première : 11/3 inférieur ou égal à 1/x.
Comment tu ferais si je te demandais de la résoudre par le calcul ? Est-ce que tu aurais une idée ?
– Euh, je passe tout d’un côté.
– Oui c’est exactement ça, c’est bien. Tu passes tout d’un côté et ensuite qu’est-ce que tu ferais ? Qu’est-ce que tu appliquerais comme principe ? Si tu passes le 1/x de l’autre côté, à gauche, qu’est-ce que tu ferais avec les deux fractions, avec le moins entre les 2?
– On met sur le même dénominateur.
– Oui voilà, c’est bien, c’est exactement ça. ET après tu sais tu ferais un tableau de signe etc.

– ça pourrait marcher mais là, on te demande de résoudre ça graphiquement. Est-ce que tu as vu la courbe de la fonction 1/x. Je vais te dessiner une petite courbe et tu vas me dire si tu l’as déjà vue. Tu vois je dessine un axe, le deuxième…
– Ah oui, et puis ça fait une moitié de… une courbe et une autre courbe en dessous.
– Oui c’est ça, il y a deux bouts de courbe, exactement. Ce bout là, et voilà. Et ça, c’est vraiment la courbe de la fonction 1/x. Elle est constituée de deux bouts si tu veux. Et tu peux remarquer quelques points remarquables :
Pour x=0, c’est une valeur interdite x=0 puisque 1/0 ça n’existe pas. Donc 0 c’est une valeur interdite, c’est même LA valeur interdite pour 1/x, c’est la seule. Qu’est-ce que tu dirais de f(1)? Combien ça vaut ?
– 1/1, donc 1.
– Et maintenant comment tu dessinerais ça sur notre graphique ? Et bien en fait tu fais apparaitre le x qui vaut 1, ici, tu montes et tu vas avoir le 1, le f(1), qui vaut 1.

Donc voilà comment marche la courbe. Maintenant on te demande de savoir quand est-ce que le 1/x… L’idée ça va être de trouver quoi ? Ça va être de trouver les x en fait. Quand on te dit résoudre une équation ou inéquation, le but c’est de trouver les x.
Si tu veux, 11/3 inférieur ou égal à 1/x inférieur à 4, et bien tu regardes ça… Le 1/x, c’est f(x). Du coup, qu’est-ce que tu ferais pour résoudre ça, est-ce que tu as une idée ? Plus précisément, où est-ce que tu mettrais le 11/3 et le 4 sur le graphique ? Là, le 1/x c’est comparé à 11/3 tu vois. Sur le dessin je te disais que le 11/3 c’était un y, donc tu vas le placer sur l’axe des y.
11/3, c’est à peu près… un peu plus de 3, un peu moins de 4. Donc, 2 ici, 3, je vais le placer là. Là, ça y est, on a 11/3. Et le 4, c’est pareil tu le places, il va être juste au dessus. Et maintenant où sont les x qui correspondent à 11/3 et 4 ? Tu vois, il suffit juste de reporter. Tu fais une ligne horizontale, forcément sur le bout de droite parce que tu ne peux pas aller sur le bout de gauche.
Donc pour le 4 par exemple, tu vas là, tu descends, tu vas arriver à 1/4. Pourquoi ? Combien ça fait en fait, f(1/4) ? On avait calculé f(1) tout à l’heure, et f(1/4), ça vaut combien pour toi ?
– 1 sur 1/4
– C’est ça et 1 sur 1/4, c’est combien ?
– 4
– Oui parce qu’en fait, diviser par une fraction c’est la même chose que multiplier par l’inverse de cette fraction. Donc c’est 1 fois 4/1, donc 4. Tu vois, c’est pour ça que j’ai mis 1/4.

Et pour le 11/3 et bien tu places aussi son antécédent en fait. Tu vois, tu vas sur la courbe noire, tu descends et tu vas arriver à peu près là. Alors combien est ce nombre à ton avis ? Tu vois on est passé de 4 à 1/4, de 1 à 1, alors de 11/3 on va passer à combien sur l’axe des x ?
– 3/11
– Ouais, c’est bien, exactement : 3/11. ET là, ben ça y est tu as les x en fait. Tu vois, le y il est compris entre 11/3 et 4. Le y, il est ici, sur ce petit segment. Et où est-ce qu’ils sont les x qui correspondent à ça ? Et bien ils sont là en fait. C’est tout petit sur mon dessin mais je pense que tu vois. Entre quoi et quoi alors ? Entre quels nombres ?
– 1/4 et 3/11.
– Voilà, c’est ça. Maintenant il faut juste résoudre le problème de inférieur strict ou inférieur ou égal. Souviens-toi, 1/X dans l’inéquation qu’on devait résoudre, c’est inférieur strictement à 4. Donc à ton avis, par rapport au 1/4, le x il doit être quoi ? Est-ce qu’il peut le toucher ?
– Non
– Non. Et par rapport au 3/11 est-ce qu’il a le droit de le toucher ? Est-ce qu’il a le droit d’être égal à 3/11 ?
– Ouais.
– Voilà, donc là on met un inférieur ou égal pour ajuster comme il faut.

Donc là, ça y est tu as tes solutions. Là, à la fin. Donc ça c’est bon mais tu peux aussi mettre S=…
– 1/4
– Voilà. Alors je le mets dedans ou pas ?
– Non.
– Non je ne le mets pas. S=]1/4;3/11] et on le prend. Bon est-ce que ça va ? Tu vois ça se fait. Il faut juste placer les nombres en fait sur l’axe des y. Tu vois, les deux nombres que j’ai entouré en rose, ces deux-là, il faut les placer sur l’axe des y et après tu regardes ce que ça devient en x.

Donc là on va essayer de faire pareil pour le deuxième sachant qu’on a -200 et -100. Donc là il faut refaire un nouveau dessin. En fait il faut connaitre la courbe de la fonction inverse : c’est deux bouts noirs, un qui descend comme ça et un qui descend comme ça. Et là tu as l’axe des y, l’axe des x et l’origine.
Et donc là, tu dois résoudre -200 inférieur à 1/x inférieur à -100. Donc je la note.
– On met -200 sur l’axe des y.
– Voilà. Alors on ne va pas aller trop bas, on va imaginer que l’unité elle est toute petite. Je vais le mettre là. Et le -100 tu le mettrais en bas ou au dessus ?
– Au-dessus.
– Oui voila, au milieu même. Parce qu’entre 0 et -200, on est au milieu, c’est -100. Ensuite, on fait la petite opération de report sur l’axe des x. on se reporte, on se ramène sur l’axe des x. Je vais faire ça en vert foncé par exemple. Qu’est-ce que ça va donner ? Apparemment c’est un nombre qui est négatif ou positif ?
– négatif.
– Oui voilà. En fait c’est son inverse aussi.
– C’est 1/200, euh non, -1/200
– Oui c’est ça parce que le problème de 1/200 c’est que c’est positif tu vois. Par contre -1/200 ça va marcher. Et si tu prends en fait, 1 sur ça et bien ça va revenir à -200. Donc c’est bon on va retrouver ça en y. ça c’est le f(-1/200)

Alors tu fais pareil pour -100, alors qu’est-ce que ça va te donner comme nombre ? Tu reportes…
– -1/100.
– ET voilà, c’est fini. Alors lequel est le plus petit apparemment ?
– -1/200
– Ah non. Le plus petit c’est celui qui est le plus à gauche.
– Ah oui, donc c’est -1/100

– Oui. Donc au niveau des x, tu mets S=… ça va être quoi les solutions ? En fait, je ne l’ai pas bien dit mais 1/x, il doit être compris entre les deux nombres donc il doit être là. Il doit être vraiment sur toute cette partie hachurée le 1/x.Et donc le x il doit être sur le petit intervalle vert.
– Euh -1/100
– Voilà. Est-ce qu’on le prend où on le prend pas ?
– On ne le prend pas.
– Pourquoi ? Est-ce que tu pourrais m’expliquer un petit peu.
– Parce que ce n’est pas inférieur ou égal. C’est juste inférieur.
– Voilà. Et ça correspond à celui-ci. C’est inférieur strictement à -100. Ok, très bien : S=]-1/100;-1/200[. ça y est, c’est bon.