2nde Résoudre une inéquation avec des fractions

Bon, alors première question que je t’ai posé tout à l’heure pour les équations, donc tu te souviens c’était « trouver le x ».

Qu’est-ce qu’on doit faire quand on veut résoudre une inéquation ?

Et bien là on veut que tout ce qui est à gauche soit strictement inférieur à 1.

Oui, mais le but final qu’on cherche à obtenir ? Quand on veut résoudre une équation ? C’est le même en fait.

On veut trouver x inférieur à quoi.

Oui, c’est ça, c’est pas mal. Moi je trouve que c’est une bonne façon de dire la même chose, mais en fait, ce qu’on veut trouver, c’est les x qui marchent, les x qui sont solutions. Donc, on ne va pas avoir x égal, quoique des fois on a des « égal » à la fin de certaines inéquations, mais parfois tu aurais x supérieur ou égal, ou x inférieur strictement, ou parfois même tu peux avoir les deux. x inférieur à quelque chose, x<2 par exemple, ou x≥ 4, ça c’est possible comme solution. D’accord ? Donc, en fait, tout ça c’est juste pour dire qu’il faut trouver les x qui marchent, c’est-à-dire, qui vérifient l’inéquation. C’est comme ça qu’on va résumer un peu notre but, d’accord ? Donc toujours un petit peu la même idée, ce serait d’isoler le x. Ce serait pas mal du tout. Donc on va essayer de faire ça. On va essayer d’isoler le x. On cherche à le faire pour une inéquation.

On cherche à isoler le x, ça veut dire le mettre tout seul, d’un côté ou l’autre. Donc là, comment tu ferais ?

Donc j’imagine que ce sont un peu les fractions qui t’embêtent.

Oui.

Et qu’est-ce que tu as eu comme idée de faire ?

J’ai essayé déjà de les mettre sur le même dénominateur.

Bon et bien c’est bien ça comme idée. Alors comment on va faire ?

<Calcul mathématique>

Oui c’est ça.

Il n’y a pas de truc en commun dans les mêmes tables.

Oui ça va, ça marche bon. Ça me va comme justification. Du coup, qu’est-ce que ça va devenir la première fraction ?

<Calcul mathématique>

Alors par contre, c’est la que tu te trompes Valentin. Si tu veux mettre une fraction…

On multiplie en haut et en bas.

Oui, c’est en haut et en bas. Pourquoi en haut et en bas ? Parce que <Calcul mathématiques>. J’ai le droit, ça ne change pas la fraction, enfin ça la change, mais ça ne change pas le nombre. <Calcul mathématique>. La preuve si on veut passer de là, à l’autre côté et bien, il suffit de simplifier par deux tu vois ? Bref, ça c’est la même fraction que j’ai écrite. C’est pour ça que j’ai mis un « égal » entre les deux, du coup ça vaut <Calcul mathématique>. Ok, et donc maintenant la deuxième.

Qu’est-ce qu’elle va devenir cette petite fraction ?

Je les avais séparé, j’avais fait <Calcul mathématique>

Donc on a le droit tout à fait de faire ça. Je vous le rappelle que la propriété qu’il utilise Valentin c’est très bien, si on a <Calcul mathématique>, donc comment vous illustrez ça, donc par exemple, je n’ai pas forcément de bonnes images en tête, mais disons que là, on a le droit de faire ça. Ça va devenir tout simplement <Calcul mathématique> Et toi tu veux faire quoi sur chacune de ces fractions ?

On les multiplie chacune par 5.

Voilà.

C’est bien ça, tout simplement pour avoir un dénominateur égal à 10. Donc fois 5 ici, fois partout en fait. Sachant que tu aurais pu très bien le faire ici, comment ? Et bien tout simplement en multipliant par 5. 5 fois, par contre il faut mettre des parenthèses en haut. Mais ça marche, c’est la même chose. Voilà, et donc qu’est-ce qu’on va obtenir ?

<Calcul mathématique>

Maintenant souviens-toi, on avait un « + » entre tout ça, donc on va les ajouter, tous ces nombres. Et tout ça on sait que ça doit être strictement inférieur à 1, la somme. Donc je vais l’écrire en dessous, qu’est-ce qu’on va obtenir. On n’a qu’à commencer à ajouter les choses qui se ressemblent.

Ça ferait <Calcul mathématiques> strictement inférieur à 1.

Voilà, parfait. Bon et bien c’est plutôt pas mal. Maintenant là, souviens-toi, nous ce qu’on veut, on n’oublie pas notre but, on n’oublie jamais notre but quand on est en train de résoudre une équation, ou quand on est en train de faire une question de maths.

On a toujours un but qu’on veut atteindre, c’est répondre à la question

Donc ici, résoudre l’inéquation. Il ne faut jamais l’oublier en cours de route. Donc d’une part, il faut vous le dire depuis le début, quel est mon but, quelle est ma direction, mais essayer de vous le rappeler au milieu de calcul, parce que souvent, on a tendance à l’oublier, on est concentré sur le calcul, il ne faut pas oublier ce qu’on veut faire. Nous on veut isoler le x. Le x, il est juste là. Donc qu’est-ce qu’on pourrait commencer par faire, pour commencer à isoler justement le x. Qu’est-ce qui nous embête un peu là ?

<Calcul mathématiques> et toi tu commencerais par enlever lequel ? <Calcul mathématiques>. Comment t’expliquer ça, on va dire que c’est le « diviser » ici qui est la grande opération qu’on fait avant tout. Tu vois ? le +15 il est juste fait en haut. Au numérateur, par contre la fraction ici c’est tout ça, c’est une fraction. Donc l’opération principale c’est ça. D’accord ?

Bon et bien on va s’en débarrasser du +10. Je t’encourage à faire ça, je t’encourage vraiment à commencer par le « diviser par 10 » et de l’enlever, plutôt que le 15. Sinon tu vas faire une erreur, imagine que tu veuilles faire -15 à gauche et à droite, et bien qu’est-ce qui va se passer réellement ? Regarde, on le fait vite fait.

Tu veux faire -15, c’est ça que tu aurais fait ? Quelque chose comme ça ?

Oui.

Et bien imagine tu fais ça. Là tu ne peux pas le mettre là-haut ton -15. Tu es obligé de le mettre au niveau du trait de fraction. Tu vois, et donc du coup ça n’enlèverait pas le 15 ici. Tu vois ? Donc bon, ce n’est pas ça qu’il faut faire. D’abord, enlever le « sur 10 ».

Donc effectivement comme tu m’as dit, on va multiplier partout par un nombre, lequel ?

Par 10.

Et donc du coup on se pose la question, est-ce que 10 c’est négatif ou positif ?

C’est positif.

Voilà.

Donc, on ne change pas le sens de l’inégalité. Il ne faut pas l’oublier ça.

Si ça avait été négatif, notre nombre, bon alors là ce n’est pas le cas, mais, si on avait voulu multiplier par -10 on aurait pu le faire. Il aurait fallu changer le inférieur strict en supérieur strict. D’accord ? Donc là je mets une virgule, donc là toi tu passeras à la ligne. Notre équation devient quoi ? Tu vois j’ai bien mis les parenthèses pour signifier que c’est toute la fraction qu’il faut multiplier par 10, quand tu mets bien le « fois dix » au niveau du trait de fraction rouge, tu n’as pas forcément besoin de mettre les parenthèses.

D’accord.

Ok, donc qu’est-ce qu’on obtient ici à gauche ? C’était le but de la manœuvre. <Calcul mathématique>. Oui, mais, pourquoi tu as multiplié par dix à gauche, enfin partout. Voilà et bien écoute, on ne va pas multiplier, on ne va pas s’embêter à redévelopper <Calcul mathématiques> Et bien qu’est-ce qui se passe en fait, tout simplement.

On simplifie et on barre les deux 10.

Voilà. Donc tu vois, tu n’as pas besoin de développer quoi que ce soit.

Le but de la manœuvre c’était d’enlever le 10 donc, la petite opération qu’on fait et qui nous permet directement d’obtenir ça, d’enlever le 10 et bien c’est de multiplier par 10.

Il nous reste juste le nombre A.

Donc ça fait <Calcul mathématiques>
Voilà. C’est bien. Tu comprends Valentin un peu ?

Oui. Strictement inférieur à dix. Oui c’est bien. Du coup, qu’est-ce qu’on va vouloir faire maintenant ?

Le +15 on le passe de l’autre côté.

Alors tu te souviens, passer de l’autre côté, ça c’est quand on se le dit à soi-même, mais tu te souviens de l’opération exacte qu’on fait. C’est quoi le nom de l’opération ?

<Calcul mathématique>

Voilà, c’est très bien. Je vous encourage toujours à vous dire ça. On soustrait des deux côtés 15. Dison que c’est l’opération rigoureuse en fait, qu’on fait et qui est à la base de, quand on dit en français « bon et bien je passe le 15 de l’autre côté », c’est vraiment qu’on fait -15 à gauche et à droite. Donc il va nous rester quoi à gauche ?

-3x

Voilà, j’enlève le 15 et -15, c’était le but de la manœuvre.

Et à droite <Calcul mathématiques>.

Voilà c’est super. On écrit -5, même gagner un peu de place, <-5. Qu’est-ce qui va nous rester maintenant, qu’est-ce qui va vouloir faire ? On y est presque.

<Calcul mathématique>

Tu m’as dit qu’il aille de l’autre côté celui-là. Comment on va le faire passer de l’autre côté ?

On le divise.

On divise par combien ?

Par -3.

Je fais ça et alors là, attention. <Calcul mathématiques>. Pourquoi ?

Parce qu’on divise par un nombre négatif

Voilà. Ça marche.

Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, je vous rappelle qu’une opération de division, c’est pareil qu’une opération de multiplication. Diviser par 5, ça veut dire multiplier par 1/5. D’accord, tu te souviens de ça ?

Si tu divises ici par -3 c’est comme si on multipliait par -1/3. Tu vois ça revient à une multiplication une division.

Donc du coup, notre -1/3 il n’y a pas de soucis, il est toujours autant négatif. Donc il faut changer clairement le sens de l’inégalité et c’est ce qu’on vient de faire. Ok, donc à gauche, qu’est-ce qui va nous rester ?

X

Voilà, super. Il ne nous reste plus que notre inconnue. Et à droite ?

5/3

Voilà. Les « moins » s’en vont haut et bas. Donc du coup, qu’est-ce qu’on a trouvé ? On a trouvé x strictement supérieur à 5/3. Et là maintenant, à quel intervalle ça correspond tout simplement.

Alors c’est plus grand donc ça fait <Calcul mathématiques>

Et ça c’est notre solution S, et c’est ça que tu écrirais à la fin et que tu encadrerais.

Ah d’accord.
Ça va Valentin ?

Oui.