2nde Résoudre une inéquation simple par le calcul

Comment résoudre une inéquation simple par le calcul?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo. J’espère que tu vas bien.

Nous avons une fonction qui est g(x) et qui est égale à -2x+4 dans cet exercice. Et il va falloir résoudre par le calcul g(x) strictement supérieur à 5.
Il s’agit donc d’une inéquation. Une inéquation c’est quand tu as deux membres et quand tu as un signe supérieur ou inférieur entre les deux membres. Ce n’est pas une équation. Une équation c’est quand il y a un égal.
Et en fait, il va falloir résoudre cette inéquation. Donc ça, c’est un exercice de niveau seconde qu’on peut voir en début de seconde.
Et quand on dit « résoudre une inéquation ». Résoudre ceci par le calcul, qu’est-ce que ça veut dire? Et bien en fait, il s’agit de trouver les x qui marchent tels que g(x) supérieur à 5. Le but c’est vraiment de trouver les inconnues x.
C’est toujours ça le but quand tu veux résoudre une équation ou une inéquation. Je dis bien par le calcul dans cet exercice parce que tu peux avoir parfois des exercices où tu dois résoudre ce type d’inéquation graphiquement. Alors généralement dans l’exercice tu auras la courbe de g qui te sera donnée dans un repère orthonormé. Et là, tu pourrais résoudre graphiquement ce type d’inéquation.

Ici, ce n’est pas le cas, on va le faire par le calcul parce qu’en fait, tu as l’expression, la définition de la fonction g(x).
Donc en fait, ce qu’il suffit de faire quand tu veux résoudre ce type d’inéquation, c’est déjà de la recopier, première ligne, tu la recopies juste en dessous de l’exercice : g(x) supérieur à 5.
On n’oublie pas que nous, on veut trouver les x. Donc en fait on va essayer d’isoler les x, c’est-à-dire de l’avoir tout seul d’un côté ou de l’autre du supérieur strict. On veut avoir x supérieur strictement à quelque chose ou x de l’autre côté, c’est-à-dire inférieur strictement à quelque chose.
On a g(x). g(x) tu peux le remplacer par ce qu’il vaut. C’est la première étape indispensable à mettre en œuvre dans cet exercice. Donc tu remplaces le g(x) par -2x+4. Donc -2x+4 supérieur strictement à 5.

Donc voilà, là tu es en face de ton inéquation, c’est beaucoup plus clair et là maintenant il s’agit d’essayer d’isoler le x comme je te le disais, de l’avoir tout seul d’un côté. Alors comment on va faire ?
ET bien là, on utilise un petit peu les mêmes règles que pour une équation, c’est-à-dire qu’on va « passer » des éléments de l’autre côté.
Donc là on va passer, non pas le -2 (on ne peut pas vraiment le passer maintenant) mais le 4. Comment fait-on pour « passer » un nombre de l’autre côté dans une inéquation ? Et bien en fait les règles sont presque les mêmes que pour une équation mais il y a quelques petites différences.
En fait pour passer le 4 de l’autre côté, et bien en fait, on fait -4 à gauche et à droite. Donc -4 ici à gauche et -4 ici à droite. Le fait de soustraire 4 à gauche et à droite de ton inéquation, ça ne change pas ton inéquation. Ça ne change pas le fait qu’il y ait un « strictement supérieur » ici.
Donc c’est ça qui va te permettre de passer le 4 de l’autre côté parce que regarde à gauche, tu as +4-4, et bien les 4 s’en vont parce que +4-4 ça fait 0. Donc il te reste juste -2x.
Je te présente bien la façon de passer un nombre de l’autre côté d’une inéquation parce que j’aimerais que tu raisonnes avec ces petites opérations qu’on fait des deux côtés en fait. On fait toujours la même opération des deux côtés pour passer un nombre de l’autre côté. C’est ça qu’on fait en fait quand on « passe » un nombre de l’autre côté.

Donc on obtient -2x supérieur strictement à 5-4. 5-4, on fait tout de suite le calcul, ça nous fait 1.
Et maintenant on veut enlever le -2 qui est en facteur du x parce que c’est -2 fois x. Là il y a un fois entre le -2 et le x. Comment va-t-on faire? Et bien c’est pareil on va essayer de le passer de l’autre côté. Comment passer un -2 en facteur de l’autre côté ?
Et bien en fait, il ne faut pas faire « moins », il faut diviser à gauche et à droite par -2. On a le droit de le faire dans une inéquation mais attention. Il faut le faire des deux côtés, la même opération. Attention quand tu multiplies ou tu divises par un nombre négatif, tu te souviens peut-être de cette règle, et bien il faut changer le sens de l’inégalité. C’est très important. Donc ici le supérieur strict devient inférieur strict.
Ça c’est quand tu multiplies ou divises par un nombre négatif. On divise par -2 donc on change le sens de l’inégalité. C’est très important ça. Et tu n’as pas besoin de changer le signe de l’inégalité quand tu ajoutes ou que tu retranches un même nombre des deux côtés, comme nous avions fait dans la ligne précédente. Tu vois on avait soustrait -4 à gauche et à droite, là il n’y avait pas besoin de changer le sens de l’inégalité. On avait gardé le « supérieur strict ».

Donc là, on obtient : tu vois le fait de diviser le -2 à gauche, ça enlève bien le -2, c’était le but de l’opération parce que les -2 s’en vont en haut et en bas. Ils s’annulent. Donc je peux les barrer et donc il nous reste plus que x. C’était le but de la manœuvre, n’avoir que x tout seul d’un côté.
Et donc on obtient x strictement inférieur à 1 sur -2, c’est aussi égal à -1/2. On met le moins au niveau du trait de fraction. C’est la fraction -1/2 qui correspond au nombre décimal -0,5 tout simplement.
Et là, ça y est, on obtient les solutions de notre inéquation. Les solutions généralement on ne les garde pas tout à fait comme ça, on les note plus proprement. Donc S est égal … Et là ça va te donner un intervalle puisque x inférieur strictement à -1/2, ça donne tous les nombres de moins l’infini jusqu’à -1/2. Et le -1/2 il est exclu, il ne faut pas le mettre dans ton intervalle.
Donc S=]-l’infini;-1/2[. -1/2 il est exclu de ton intervalle. Tu vois, tu ne le mets pas, tu mets un crochet qui « s’en va » du -1/2. Ça marche ?

Donc voilà, je pense que tu as compris le principe pour résoudre une telle inéquation. Le but c’est de remplacer, dans un premier temps, le g(x) par la définition de la fonction et ensuite, tu essaies d’isoler le x en passant les nombres de l’autre côté.
Comment passer des nombres de l’autre côté ? Et bien il faut faire des opérations des deux côtés de ton inéquation. Pour passer le 4, on avait fait -4 des deux côtés. Pour passer le -2 de l’autre côté on avait fait : divisé par -2 des deux côtés.
Et attention quand tu fais ces opérations des deux côtés, il y a des petites règles pour les inéquations. Si tu ajoutes ou tu soustrais un nombre des deux côtés ça ne change pas le sens de l’inégalité, de l’inéquation.
Quand tu multiplies ou tu divises par un nombre négatif, des deux côtés, et bien là, ça change le signe de l’inégalité. Par contre quand tu multiplies ou divises par un nombre positif des deux côtés, si par exemple là on avait multiplié par 4 (ça n’avait pas d’utilité ici), ça n’aurait pas changé le supérieur strict.
Voilà donc les petites règles pour transformer une inégalité. Ici, le but de transformer notre inéquation, c’était d’isoler le x, tout seul d’un côté.