2nde Résoudre une équation en essayant de développer puis de factoriser

Résoudre l’équation suivante : (x-1) (3+2x) = (x-1)²

Je vais demander un petit peu à tous de réfléchir sur cette équation et d’essayer tout simplement de la résoudre.

Toi, Valentin, qu’est-ce que tu ferais pour ça. C’est une équation que tu as déjà résolue ou que vous avez faite en cours ?

J’ai essayé, mais je suis bloqué.

Ok, d’accord. Alors, comme ça un petit peu à l’oral, qu’est-ce que tu connais comme technique pour résoudre une équation ? Est-ce que tu as des petites techniques, qu’est-ce que tu aimerais faire déjà pour résoudre cette équation. Qu’est-ce que c’est que le but en fait ?

C’est de mettre x de côté et ce à quoi il est égal de l’autre.

Oui, c’est très bien ça.

Nous, ce qu’on veut vraiment c’est d’essayer d’isoler le x, c’est vraiment le mettre tout seul d’un côté du « égal »

Donc je rappelle à tout le monde qu’une équation, ça veut dire qu’on a un « égal », vous vous souvenez de ce préfixe « équa » qui veut dire qu’il y a une égalité quelque part. Donc ne dites pas par exemple ax+b c’est une équation. On ne peut pas dire ça, il manque un « égal ». D’accord, donc ça c’était juste un petit rappel.

Donc effectivement ça c’est le but qu’on se propose d’atteindre. Trouver x égal à quelque chose.

Comment tu pourrais faire toi, qu’est-ce que tu aurais comme idée ?

J’avais commencé par développer x-1 et 3+2x.

Et bien c’est vraiment une chose qu’on peut tester. On n’a qu’à tester ça. Souvent en maths on fait des tests, donc test 1. Et donc ici, le test que propose Valentin c’est seulement de développer et on verra ce qui se passe. Peut-être que ça va simplifier des trucs. Donc on essaie et qu’est-ce que ça va nous donner alors du coup ? Donc tranquillement, 3x+2x². Donc ça c’est bien, c’est important -3, -2 x. C’est bien, pas d’erreur de développement donc j’espère vraiment que ça va pour tout le monde ça, c’est très très important. Donc ok, et ensuite qu’est-ce qu’on va écrire ?

On peut remettre le =(x-1)²

Pourquoi tu ne développerais pas le membre de droite ici ? x-1, le tout au carré.

Oui je peux.

Ça ferait <Calcul mathématique>.

Oui c’est très bien. Et bien là c’est parfait. Je veux dire, il n’y a pas d’erreur sur le développement classique, donc le développement de deux parenthèses comme ça, et le développement aussi d’une identité remarquable. On ne l’a pas dit, mais là Valentin a utilisé une identité remarquable. Donc c’est tout simplement, tout te souviens de laquelle c’est ? Alors je t’écoute, vas -y dis moi ?

a²-2ab+b²

Oui, alors tout ça vaut quoi du coup ?

Egal à (a-b)²

Voilà, alors ça c’est une identité remarquable à connaître. Ok, alors maintenant qu’est-ce qui va se passer ?

On pourrait faire 3x-2x, enfin simplifier en fait.

Oui, tout à fait. On va nettoyer un petit peu. C’est clair, donc 3x-2x déjà.

Ça fait x.

Ça et ça, ça fait clairement x, ça c’est bien. Donc à gauche qu’est-ce qui va nous rester ? je te propose de ranger un peu dans l’ordre des puissances décroissantes. C’est un grand mot, mais…

<Calcul mathématique> Voilà, c’est ça. <Calcul mathématique> et donc de l’autre côté, <Calcul mathématique > Est-ce qu’on ne pourrait pas regrouper les choses qui se ressemblent ensemble ?

On va mettre les x d’un côté et les autres chiffres de l’autre.

Oui, c’est clair, on n’a qu’à faire ça. Donc comment on va faire pour les mettre tous ensemble les x ?

Et bien quand on change de l’autre côté du égal ça change le signe

Tout à fait oui. Donc du coup, on va obtenir ce que tu veux, choisis le sens que tu veux.

On n’a qu’à mettre les x à gauche et les autres à droite.

Allez, c’est parti, on n’a qu’à faire ça. Les x à gauche déjà on garde ceux-là. 2x²+x et ensuite ?

-x²

Parfait

+2 x

Super.

Egal à 3+1

Très bien, moi j’aurais mis mon 1 déjà qui est là, et puis le +3 derrière, mais c’est la même chose. Ok et donc maintenant qu’est-ce qui va nous rester à gauche par exemple ?

On simplifie

Oui, tout à fait.

Donc <Calcul mathématique>

Ok et là tu arrives à quelque chose, déjà ça a l’air plus simple que le début. On est d’accord. Le problème c’est que tu ne sais pas trop comment isoler ton x comme tu voulais le faire au début. C’est ça un petit peu, j’imagine ton problème maintenant. Alors là on est typiquement devant ce que je voulais voir avec vous après, c’est-à-dire une équation du second degré, faisant intervenir un polynôme du second degré. Pour l’instant je sais que ça ne te dit pas grand-chose. Ne t’inquiète pas, tu verras ça dans quelque temps normalement. Donc peut-être que certains d’entre vous savent résoudre ça parce qu’ils ont vu l’outil pour résoudre ça en cours. Il y a un outil pour résoudre ça, mais bon quand on a un très bon niveau en seconde, généralement c’est un peu dur quand même, on arrive quand même à résoudre ça en utilisant une identité remarquable. Mais bon… Moi je propose que là on dise qu’on a bloqué. Là c’est « blocage ». Ok, parce qu’on ne sait pas trop comment on va isoler le x.

Du coup, alors là on a fait un test, le test 1 et on s’est dit, on a déroulé le test, on a fait les choses, et donc là on arrive à quelque chose qu’on ne sait pas faire à la fin. Et souvent en maths ça peut arriver. On emploie une voie, on marche sur une route, on a choisi une direction, et en fait ce n’est pas la bonne. Du coup et bien il faut peut-être revenir en arrière et choisir un autre chemin. Donc il faudrait avoir l’idée quand tu regardes ton équation au début, d’utiliser un autre chemin justement. Et là, qu’est-ce que tu as utilisé toi en fait, comme possibilité, comme chemin ?

Tu as utilisé le chemin du développement, et est-ce que tu ne connaîtrais pas un autre chemin qu’on va utiliser ? Tu as le développement et tu as quoi d’autre ?

La factorisation

Oui, exactement. Alors la factorisation, est-ce que tu saurais me dire un petit peu.

Quand il y a un facteur en commun

Oui, ça consiste à mettre un élément en commun en facteur d’autre chose, et on trouve d’autres choses. En gros ça consiste, surtout la factorisation, là c’était le « test développement », on n’a qu’à l’appeler comme ça. Donc des fois le développement ça marche, des fois ça ne marche pas et des fois le test 2 qu’on va faire ça marche, des fois ça ne marche pas. Il faut essayer l’un ou l’autre. Et le deuxième ce que je te propose de faire tout simplement, une factorisation. La factorisation, ce que j’avais commencé à dire, et bien on va transformer un nombre ou une expression, tout ça c’est un nombre aussi, ce qu’on a à gauche, et à droite aussi on a un nombre. On veut transformer quelque chose en un produit

La factorisation c’est transformer quelque chose en un produit.

Donc quelque chose « fois » quelque chose. Bon alors, comment on va pouvoir faire pour tout simplement faire ça, pour essayer de trouver un élément commun.

(x-1) dans les deux.

Et oui, exactement. Alors est-ce que tu ne pourrais pas par exemple essayer de passer cette chose-là à gauche, de l’autre côté. Est-ce que tu pourrais me dire comment tu pourrais faire ça ? Tu vois, ici on a un nombre ici à droite, c’est (x-1)² , le tout au carré. Est-ce qu’on ne pourrait pas passer cette chose à gauche ?

Ça changerait de signe

Oui, tout simplement.

Tu sais que tu as le droit de changer le sens, ou plutôt l’endroit où tu veux mettre un nombre dans une équation, si tu veux le passer de l’autre côté.

Il faut juste mettre un ‘moins’ (si c’est un ‘plus’ ou un ‘moins’ devant), parfois il faut faire un ‘diviser’ ou un ‘fois’. Là on veut passer le (x-1)², tu peux te dire que c’est un grand nombre, tu vois tout ça tu peux te dire que c’est un grand X tout ça. Et le X si tu veux le passer de l’autre côté et bien tu dois faire –X. Tu vois ?

D’accord.

Ok Valentin donc, je t’écoute. Comment tu vas faire ici ?

<Calcul mathématique>

Voilà donc on le met au début si tu veux, tout à fait. C’est parti.

<Calcul mathématique>

Qu’est-ce que c’est en fait (x-1)² ?

Sans parler du moins devant. C’est quoi un carré ?

Et bien c’est (x-1) fois (x-1)

Exactement. Je vais l’écrire <Calcul mathématique> et qu’est-ce que je mets à droite maintenant ?

Egal à zéro

Voilà, c’est très bien. Tu m’as dit que (x-1) c’était l’élément en commun. Je vais l’entourer en vert dans les deux termes. On a deux termes parce qu’on a une somme ici, tu vois ? On a une somme de deux nombres, et les deux nombres ici ce sont des termes. Terme 1 et terme 2. Ça va, ça te parle ? Ok et dans un produit on ne parle de pas de termes, on parle de facteurs. Donc là le (x-1) en commun, là il est là. Donc notre équation va devenir quoi finalement ?

x-1 …

C’est parti, je note <Calcul mathématique>, alors justement facteur de quelque chose « fois »

<Calcul mathématique>

Et tout ceci ça vaut zéro toujours. Pas de soucis. Bon et bien là c’est super parce que tu tiens un produit de facteurs, alors là les deux nombres qu’on obtient, c’est-à-dire x-1 premier nombre, et l’autre nombre qu’on va simplifier, ce sont deux facteurs parce qu’on a un produits entre les deux, et bien produit de facteur nulle, peut-être que ça te dit quelque chose ? Alors ici on simplifie un petit peu le deuxième facteur. Qu’est-ce qu’il va devenir ?

<Calcul mathématique>

C’est clair, et sinon les x ?

<Calcul mathématique>

Voilà, donc il va nous rester x+4. J’efface tout simplement pour gagner un peu de place, <Calcul mathématique>. Voilà.

Donc maintenant tu as un produit de facteurs qui est égal à zéro, qu’est-ce que ça signifie ? Comment tu peux résoudre cette équation ?

Tu vois, tu as deux nombres, tu les multiplies ensemble. En gros le premier nombre et le deuxième nombre, tu les multiplies ensemble, et la multiplication c’est zéro. Qu’est-ce que ça veut dire sur chacun des nombres ? Tu te souviens de ça ? La vieille règle de collège que sûrement vous avez déjà vu.

Non, je ne m’en souviens plus.

Tu ne t’en souviens plus trop ?

En fait, imagine, réfléchis un petit peu. Tu as un nombre fois l’autre et leur produit vaut zéro, qu’est-ce que ça veut dire ?

Ça veut dire qu’il y en a un qui est égal à zéro.

Exactement. L’un ou l’autre d’ailleurs, ou encore les deux en même temps. Et bien en fait, ce que tu vas dire, c’est tout simplement, ici tu vas conclure comme ça, c’est-à-dire là, tu vas pouvoir mettre un signe équivalent, mais sinon tu passes à la ligne sur ta copie et tu te dis : « Soit le premier nombre est égal à zéro, soit le deuxième ». Donc qu’est-ce que ça veut dire ici ?

Que soit x-1 =0

Exact

Ou alors que x+4 = 0

Si tu as compris ça, et bien là on a quasiment fini. C’est la clé de l’exercice en fait, c’est d’avoir factorisé. Quand tu as factorisé, et bien tu vas réussir.

Donc là, à partir de maintenant, comment tu vas pouvoir finir ta résolution d’équation ? C’est facilement maintenant parce que tu vois, ça devient juste deux petites équations toutes simples. Soit x-1 =0 , soit x+4 =0 . Tu vois, donc la première équation ici elle te donne quoi ?

X=1

Voilà, est-ce que ça va Valentin, est-ce que tu arrives à comprendre ?

Oui.

Ok, x=1 ou la deuxième ?

Ou x= -4

Voilà et là c’est tes solutions.

D’accord.

Tu as vu ? En gros, ta méthode de développer n’est pas du tout mauvaise, elle est bonne, sauf que parfois en maths, on fait des trucs. Il y a plusieurs pistes possibles, il n’y a pas toujours une façon de résoudre. Des fois on pense à une façon, et on tombe sur un mur, on n’arrive pas vraiment à avancer. Et dans ce cas-là, tu reviens au tout début, après avoir suffisamment cherché, tu vois, tu te dis « bon, je bloque, je ne vois vraiment pas comment faire pour isoler mon x » et donc tu reviens au tout début et tu essaies de voir si tu ne peux pas trouver une autre façon.

Voilà.

Donc là, l’autre façon tu vois, tu as développé, et bien tu peux quand même penser à la factorisation puisque que c’est une opération un peu inverse quelque part. D’accord ? Donc si tu as développé et que ça ne marche pas et bien tu factorises. Et bien là, ça se voyait assez bien parce que tu as du (x-1) de part et d’autre. Donc tu vois bien l’élément commun, il suffit par contre de passer tout d’un côté du égal, donc là on l’a fait à gauche, et puis de mettre en facteur le (x-1).

Après tu verras qu’en fin de 2^nde peut-être ou en 1^ère S, cette équation sur laquelle tu es tombé en développant, en fait ce n’est pas un mur. Tu pourras résoudre ça, mais tu as vu qu’ici tu avais peut-être une autre voie qui est plus visible, moi je trouve que c’est assez visible, c’est la factorisation. Parce que tu as deux (x-1), tu vois c’est visuel, tu le vois des deux côtés. Ici et puis là. Je dessine un œil pour ceux qui n’auraient pas compris. Voilà tout simplement.

Bon et bien super, alors là on a réussi à résoudre une équation de ce genre-là, ça revient assez souvent, donc voilà une petite technique qu’on a vu qui consiste tout simplement à factoriser et à tomber sur un produit nul. Un produit de deux choses nulles donc souviens-toi bien de ce que ça veut dire.

Tu vois on a réfléchi ensemble c’est assez logique. En plus tu as deux nombres dont le produit est égal à zéro. Et bien ça veut dire que l’un des nombres égal à zéro, ou l’autre égal zéro.

C’est ce qu’on a écrit ici. Tout simplement.

Alors Florent me demande : « il faut trouver les deux solutions »

Ah oui !

Quand on veut résoudre une équation, il faut trouver tous les x possibles.

D’accord ? Donc là il fallait trouver vraiment le x qui vaut 1 et le x qui vaut -4.