2nde Résoudre une équation un peu spéciale

Résoudre (x-3)² + 4 = 0

Bon, alors qu’est-ce que tu aimerais faire quand tu tombes là-dessus.

J’ai encore développé avec une identité remarquable.

Oui c’est une bonne tactique, on n’a qu’à faire ce test. On n’a qu’à tester. Donc on développe, identité remarquable, alors c’est laquelle au fait ?

La même que tout à l’heure.

Exactement, c’est la même que tout à l’heure. Donc on va tomber sur (je le rappelle très rapidement) : (a-b)² =a² – 2ab + b²

Voilà, donc, nous on va vraiment utiliser cette identité-là, ça va devenir quoi tout ça ?

Je vous encourage, même toi tu as bien compris Valentin :

Je vous encourage quand même à noter quel est votre a et quel est votre b à chaque fois pour bien clarifier les choses, pour que ce soit très clair.

Là je mets a, et bien c’est x le a, et le b, c’est 3 (a=x et b=0). Tout simplement, donc il suffit d’appliquer ça là, en remplaçant a par x et b par 3. Donc c’est parti, je t’écoute, oui ?

X²-2x x 3 +3²+4 =0

On n’oublie jamais d’écrire le « =0 » à la fin, on a une ÉQUATION. Ensuite, on va nettoyer un petit peu. Qu’est-ce qui va nous rester ?

x²-6x+9+4, alors 9+4 = 13, voilà. Et le tour est égal à zéro. Et bien, encore une fois, on tombe sur ce qu’on appelle « équation du second degré », ce que vous allez voir un petit peu en fin de seconde, mais surtout, en première S, mais peut-être que vous avez vu comment résoudre ça déjà, mais je ne suis pas sûr. C’est plutôt en première S qu’on voit ça. Même si en seconde, vous avez tous les outils pour résoudre ça, mais c’est un petit peu difficile quand même. Il faut utiliser une identité remarquable de façon un peu astucieuse, et ce n’est pas forcément facile.

Donc, là, équation du second degré. Donc, ça, vous verrez ça plutôt l’année prochaine. Ça, ce ne sera pas un mur en première S, mais en seconde c’est un mur. En première S ce ne sera plus un mur, tu sauras résoudre. Donc, là ce qu’on va faire, c’est peut-être un petit peu autre chose.

Alors Test 2 : qu’est-ce que tu aimerais faire du coup ?

On ne peut pas factoriser zéro.

On ne peut pas factoriser zéro oui. Et bien zéro c’est toujours zéro fois zéro. On pourrait toujours dire ça mais bon, ce n’est pas toujours, enfin, ce n’est pas vraiment très intéressant d’écrire ça. Là ce n’est pas la factorisation vraiment parce que ça ne va pas être facile de factoriser tout ce nombre ici à gauche. Tu vois ? Bon, il n’y a pas vraiment de possibilité à factoriser ça. Alors, si tu avais eu un « moins » ici, mais ce n’est pas le cas, si tu avais eu un « moins » est-ce que tu aurais pu factoriser à ton avis ? Est-ce que tu aurais eu l’idée d’utiliser une des trois identités remarquables. Je t’aide un petit peu, pour factoriser, si tu avais eu un « moins » ? ça te dit quelque chose ?

L’identité remarquable, je vais te la rappeler, donc je vais effacer celle-ci en noir là. Tu te souviens la différence de deux carrés ?

Tu as a²-b² et ça ça vaut quelque chose : a²-b² = (a+b) (a-b)

C’est bien et tu as vu que quand tu as une différence de deux carrés au début et bien tu peux factoriser cette différence de deux carrés.

Tu as le premier facteur, et ici c’est le deuxième. Uu coup, si tu avais eu un moins, mais ce n’est pas le cas ici, mais par contre, qu’est-ce qui est ton a en noir et ton b en noir, et non pas ta baignoire.

C’est (x-3)²

Pas tout à fait, ça c’est ton a².

Juste x-3

Tout à fait. Et du coup, le 4, comment est-ce que tu le transformes en quelque chose au carré ?

C’est 2 x2 donc 2²

Oui, c’est bien, c’est très bien. Donc tu vois que là tu aurais pu si tu avais eu un « moins », tu aurais pu factoriser cette chose. Donc là, tu aurais eu 2² et tu aurais dit que c’est égal et bien, premier facteur a, c’est x-3 <Calcul mathématique>, première parenthèse, et deuxième parenthèse, x-3 toujours moins 2. Tu vois ? Tu aurais simplifié un petit peu et tu aurais eu un produit de facteur qui est égal à zéro et donc tu conclurais comme on a conclu juste avant, l’un des facteurs est nul, ou l’autre égal à zéro. Tu vois ? Bon, le tout c’est qu’ici on n’a pas un « moins », on a un « plus ».

Donc à ton avis réfléchis un peu, tu regardes ce premier nombre ici (x-3)², c’est un carré, et tu ajoutes 4 et il faut que ça vale zéro tout ça. Est-ce que ce n’est pas un peu bizarre ? Tu as un nombre ici (x-3)² , quelle particularité a ce nombre-là ? Un truc au carré. Qu’est-ce que tu connais sur les carrés ?

Oui c’est vrai c’est sa définition. Et qu’est-ce que tu peux dire aussi sur son signe par exemple ? Il est positif.

Un carré est toujours positif

Voilà, positif ou nul d’ailleurs, donc c’est supérieur ou égal à zéro. Maintenant tu prends ce nombre-là (x-3)² et tu ajoutes 4. À ton avis est-ce que ça peut être égal à zéro ?

On va l’écrire comme ça.

Tu as (x-3)² et je vais passer en fait le 4 de l’autre côté, ça va devenir quoi ?

-4 tout simplement (x-3)² = -4

Du coup ici, qu’est-ce qu’on a ? On a un carré qui est ?

Qui donne un nombre négatif.

Et oui. Un carré ne peut pas être égal à -4, tu me suis ?

Donc c’est, comment on dit ?

C’est ensemble vide

Ah, ensemble.

Tu voulais dire autre chose ?

Je crois qu’on avait mis un mot, non résolvable, je crois ou quelque chose comme ça.

Oui c’est ça.

En fait ça veut dire que l’équation n’a pas de solution. Tout simplement, il n’y a pas de x. Parce que je rappelle tu as un carré, normalement un carré, c’est ça que je voulais écrire, on a dit : soit un carré est positif ou nul.

C’est-à-dire en gros (x-3)² qui est un carré, est supérieur ou égal à zéro. On est d’accord. Donc, <Calcul mathématique>, c’est supérieur ou égal à quoi ? Tu vois c’est une petite inéquation ici, qu’est-ce qu’on peut faire pour passer de la première à la deuxième ? Qu’est-ce qu’on a ajouté ici +4, tu te souviens de comment on manipule un peu les inéquations ? On a un supérieur ou égal, et donc là, on aimerait ajouter 4 à gauche, qu’est-ce qu’on peut faire à la première ? Ici, l’inéquation. Tu ne te souviens plus trop comment on manipule ça ?

Non.

En fait, il s’agit juste d’ajouter 4 à gauche et droite comme une équation tu as le droit de le faire en fait.

Un petit rappel, j’ai l’impression que tu n’es pas tout à fait à l’aise là-dessus, c’est très important, sur les équations, Valentin, regarde, sans même parler d’inéquation donc on oublie ça un instant.

Imagine tu as une équation x-3 qui est égale à zéro. Quand tu dis toi, passer le -3 de l’autre côté, c’est ça que tu dis un petit peu, et bien il ne faut pas tout à faire dire ça, il faut juste te dire que tu ajoutes partout 3. Je fais + 3 à gauche, + 3 à droite.

Et ça tu as le droit de le faire sans changer sans changer le « = » en fait. Tu as le droit de le faire, sans changer le fait qu’il y ait une inéquation. Tu comprends ? C’est ça la réelle opération qu’on fait pour passer le 3 de l’autre côté.

Qu’est-ce qui se passe du coup à gauche ici ?

Et bien ça fait x tout seul.

Voilà, le -3 il s’annule, et donc à droite il reste ?

3

Voilà et c’est pour ça qu’on dit que le -3 se transforme en + 3. Et tu comprends l’origine exacte ? C’est parce qu’on ajoute 3 à gauche et à droite. Tu vois ? Et ça on a le droit de le faire dans les équations. Tu peux retrancher aussi, on aurait pu retrancher 10 par exemple, donc -10 à gauche et à droite, mais bon ce n’est pas vraiment ce qu’on voulait faire ici. Mais tu peux le faire aussi ce petit genre d’opérations dans les inéquations.

Tu vois ? Donc, cette première inéquation ici, tu peux ajouter, je vais le faire en vert, 4, partout, donc à gauche et à droite. Tu comprends ?

Maintenant oui.

Sans changer le sens de l’inégalité.

Est-ce que tu te souviens quand est-ce qu’on change le sens de l’inégalité ?

C’est un truc avec un truc négatif.

Oui, c’est un truc avec un truc négatif, mais c’est quand on multiplie par un nombre négatif très précisément. Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif. Donc si j’avais multiplié par exemple par -2, toute cette inégalité à gauche et à droite, et bien alors là il aurait fallu changer le supérieur ou égal à zéro en inférieur ou égal. Bon, ce n’est pas vraiment ce qu’on veut faire ici, on veut juste ajouter, et même si tu veux retrancher un nombre, il n’y a pas de changement de sens. Retrancher ça veut dire faire -3 par exemple partout. C’est comme si tu ajoutais -3, c’est la même chose en fait, une somme et une soustraction. Tu vois ? C’est juste quand tu multiplies par un nombre négatif qu’il faut se poser la question. Enfin, il faut changer le signe. Donc là on va avoir tout simplement ici, <Calcul mathématique>. Et ça c’est quoi comme signe ?

Positif.
Et c’est même strictement supérieur à zéro. Tu vois, donc toi tu as <Calcul mathématique>. C’est ce qu’on vient de prouver, donc ça ne peut pas être égal à zéro. Tu vois ?

Un nombre strictement positif ça ne peut pas être égal à zéro.

Tout simplement. Voilà, voilà. C’est une façon de démontrer un peu plus exacte, un peu plus rigoureuse, notre résultat. Même si, quand tu as écrit ça, ici là, ça marche, il n’y a pas de soucis, un carré qui est négatif, tout de suite, un carré négatif c’est impossible. C’est ça que tu écrirais. Mois j’aurais mis : Impossible, pas de solution.

D’accord.

Voilà. Et j’aurais justifié, j’aurais dit « Car un carré est toujours positif ou nul ». Et j’aurais mis « donc pour conclure, S, tu le notes comme ça, l’ensemble des solutions, S est égal à l’ensemble vide, donc un zéro barré, c’est l’ensemble vide.

D’accord ? C’est tout simplement ce que j’aurais noté.

Bon et bien ça va si tu as compris ça Valentin. Donc là c’était une équation un peu piège, bon parfois, on peut vous la poser en gros, il faut voir ici. Tu vois, il faut avoir un peu l’idée des quantités. Ici tu as un carré, tu lui ajoutes 4, bon et bien ça ne peut pas être égal à zéro. C’est un truc positif, tu lui ajoutes 4 et il faudrait que ce soit égal à zéro, et bien non ! Ce n’est pas possible. Et donc là, voilà comment on résout cette équation.