2nde Réussir à résoudre des inéquations « difficiles »

Comment résoudre une inéquation d’un niveau assez avancé à l’aide d’un tableau de signes ?

Bonjour à toi et bienvenue dans cette vidéo Star-en-maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors aujourd’hui on va résoudre trois inéquations ensemble dans trois vidéos différentes. On va faire une inéquation par vidéo.
Donc là on a trois inéquations qui sont : la première : 3(x-1) strictement inférieur à x²-3. Ici tu vois une deuxième inéquation avec des quotients supérieur ou égal à 1. Et à la fin tu as un produit de facteurs inférieur ou égal à quelque chose au carré : troisième inéquation.
Alors dans ces vidéos je suppose que tu sais résoudre des inéquations simples. En effet je te dis ça parce que ces inéquations sont déjà d’un niveau avancé donc il ne faut pas commencer par quelque chose de trop difficile, il faut commencer par des choses simples au début.
Donc si tu n’as jamais résolu d’inéquations, je t’encourage vraiment à aller voir d’autres vidéos que j’ai faites sur le sujet avec des inéquations plus simples.

Donc aussi, comment on résout une équation ou une inéquation en général ? Il y a deux étapes qu’il faut toujours bien respecter.
La première étape, je vais le rappeler en noir très rapidement ici. Première étape : il faut toujours penser à cette étape : il faut trouver l’ensemble de définition des solutions possibles. Cette étape on a souvent tendance à l’oublier mais bon il ne faut pas l’oublier.
Autrement dit ça revient à quoi ? Ça revient à rechercher la ou les valeurs interdites s’il y en a. Ce n’est pas forcé qu’il y en ait. Et s’il y a des valeurs interdites, ça veut dire que les nombres que tu vas trouver à la fin, les solutions possibles, et bien il ne faudra pas que ce soit des valeurs interdites.
Donc en fait quand je parle d’ensemble de définition des solutions possibles, ça veut dire tous les nombres, qui ne sont pas encore des solutions, mais tous les nombres possibles pour les solutions, c’est-à-dire tous les nombres qui ne sont pas des valeurs interdites. C’est « l’opposé » des valeurs interdites.

Et la deuxième étape, c’est tout simplement la résolution. Tu passes à la résolution. Résolution effective de ton inéquation.
Et alors pour résoudre une inéquation, je suppose que tu en as déjà fait des simples, et bien tu sais qu’il y a deux techniques principalement. Je dirais que la première technique c’est tout simplement que tu essaies d’isoler le x tout seul d’un côté du inférieur ou du supérieur. C’est comme une équation du premier degré toute simple, tu essaies d’isoler le x tout seul d’un coté et de l’autre coté tu essaies d’obtenir un nombre tout seul où il n’y a plus de x.
Donc ça, c’est la première technique : on isole le x. Mais tu vas voir que dans ces trois inéquations, ça ne va pas être possible parce qu’il y a des carrés et des quotients. Donc ça ne va pas marcher, tu ne vas pas pouvoir isoler le x. On aurait bien voulu parce que c’est vraiment la technique de résolution la plus simple quand c’est possible.
Donc comment tu vas faire ? Et bien c’est la deuxième technique très importante lorsque tu résous une inéquation. Je pense que tu l’as déjà vue mais on la rappelle ici. C’est qu’en fait, on passe tout d’un côté du supérieur ou du inférieur (ça dépend de ton inéquation), on factorise et/ou on met au même dénominateur. Puis, une fois qu’on a passé tout d’un côté et qu’on a factorisé ou mis au même dénominateur, on se ramène à une étude de signe et donc on fait un tableau de signe.
Donc tu vas voir ça va se réaliser concrètement dans ces résolutions d’inéquations-là.

Donc là je t’ai rappelé brièvement les étapes et deux techniques. Donc ici première technique, et ici deuxième technique pour résoudre une inéquation en général. Donc c’est parti, dans cette première vidéo on va s’attaquer à la première inéquation.
Donc ça y est j’ai recopié notre première inéquation, qu’on va résoudre ici. Donc on va respecter les deux étapes que j’ai indiquées en noir. La première étape c’est recherche de l’ensemble de définition des solutions possibles. Bon autrement dit c’est la recherche des valeurs interdites c’est-à-dire l’opposé de cet ensemble de définition.
Est-ce qu’il peut y avoir des valeurs interdites dans cette inéquation ? En fait pas vraiment parce qu’il n’y a pas de division et il n’y a pas de racine carrée. C’est que quand il y a des divisions et des racines carrées, quand tu es en seconde et première. Quand tu es en terminal, s’ajoute le logarithme népérien mais là ce n’est pas le cas. C’est que quand il y a ce genre d’opérations (division ou racine carrée) qu’il y a possiblement des valeurs interdites. Mais s’il n’y en a pas, l’ensemble de définition des solutions possibles c’est R.
Il n’y a pas de valeur interdite. Donc là, pas de problème nos solutions elles pourraient être égales à n’importe quel nombre réel. Ça marche ?

Donc là on passe à la deuxième étape c’est-à-dire la résolution effective de notre inéquation. Et on va essayer peut-être la première technique. La première technique c’est toujours ce qu’il faut essayer en premier. On va essayer d’isoler le x. mais est-ce qu’on va pouvoir réussir ? En fait pas vraiment.
Ce que je te propose de faire, c’est peut-être le réflexe que tu as eu quand tu es tombé sur cette inéquation, c’est de développer ici à gauche. On obtient 3x-3 inférieur strictement à x²-3. Tu remarques qu’on a du x à gauche et du x² à droite. Donc si tu passes tous les x du même coté, si je passe le x² à gauche, et bien en fait, ils ne vont pas se regrouper parce que des x et des x² ça ne s’ajoute pas vraiment, c’est un peu des vaches et des cochons donc ça ne s’ajoute pas vraiment alors que tu es d’accord que 3 vaches + 4 vaches ça ferait 7 vaches mais 3 vaches + 2 cochons on ne sait pas trop ce que ça pourrait faire.
Donc là, ça veut dire qu’on ne peut pas isoler le x. Il ne va pas pouvoir se regrouper en un seul x. Donc en fait on va essayer la deuxième technique, on va essayer de passer tout d’un coté, de factoriser, et on va faire ensuite un tableau de signe.
Donc là peut être que tu remarques une chose, c’est que les -3 vont s’enlever à gauche et à droite de ton inférieur strict.
Alors je suppose dans la résolution de ces inéquations que tu es un minimum à l’aise avec des petits calculs et que tu sais transformer des inéquations, que tu connais les règles pour ça. Si tu ne les connais pas ou si tu as des doutes dessus, n’hésite pas à aller voir d’autres vidéos que j’ai faites et dans lesquelles j’explique plus en détail les règles pour transformer des inéquations. Il faut que tu trouves des vidéos sur des inéquations ou équations simples dans lesquelles j’explique ces règles sur les transformations pour résoudre des inéquations.

Donc je te rappelle très brièvement ces règles pour transformer une inéquation. C’est que tu as le droit d’ajouter ou soustraire un même nombre à gauche et à droite de ton inéquation et ça ne changera pas le sens. Tu as le droit aussi de multiplier à gauche et à droite par un nombre positif et ça ne changera pas l’inférieur strict. Si on voulait diviser ou multiplier par un nombre positif.
Par contre quand tu multiplies ou tu divises par un nombre négatif, tu as le droit de le faire, à gauche et à droite, mais ça changera l’inférieur strict en un supérieur strict. Par exemple si je multiplie à gauche et à droite par -2 : fois -2 ici et fois -2 là, et bien ça changerait le inférieur strict en supérieur strict. Bon on n’a pas besoin de faire fois -2 ici mais bon je te rappelle ces règles de transformation d’inéquations.
Donc ici ce qu’on va faire pour enlever le -3 à gauche et à droite, c’est +3. Donc là on fait +3 à gauche et à droite. Tu vois on ajoute un même nombre à gauche et à droite qui est 3 et ça ne changera pas le inférieur strict. Donc à gauche on a 3x-3+3 donc 3x. Le but c’était d’enlever le -3. Donc 3x inférieur à x²-3+3 donc 3x inférieur à x². Donc là on va tout passer d’un côté. Il y a deux façons de faire ici. Tu pourrais passer le 3x à droite ou le x² à gauche. C’est au choix.
Et comment faire cette opération ? Donc nous on va passer le x² à gauche. Et bien en fait il faut faire -x² à gauche et à droite de ton inférieur strict. Donc tu vois j’indique la petite opération qu’on fait : -x² et -x². Et donc on va obtenir 3x-x² inférieur à 0. Il reste 0 à droite : x²-x². Donc ça y est on a passé tout d’un côté.

Maintenant ce serait bien de factoriser. Là il n’y a pas de mise au même dénominateur parce qu’il n’y a pas de fraction. Comment on va factoriser cette expression ici à gauche ? Ici c’est assez simple. C’est pareil dans la résolution de ces inéquations je t’invite à savoir comment factoriser et comment développer, c’est petites opérations de base en maths.
Donc là, la factorisation je ne vais pas l’expliquer en détail mais je pense que tu peux la comprendre assez rapidement. On a un x qui est en commun entre les deux termes ici, entre 3x et x² parce que x² c’est x fois x. Donc ne fait on va mettre x en commun. Donc on va obtenir x(3-x) inférieur à 0. Si tu n’as pas compris cette factorisation, je t’encourage à aller voir des vidéos sur la factorisation que j’ai faites et dans lesquelles j’explique ça en détail.
Donc là on n’explique pas tout ça en détails parce qu’on est en face d’inéquations assez avancées, assez difficiles donc je ne peux pas reprendre toutes les bases dans cette vidéo. Mais j’essaie de reprendre autant que faire se peut les explications des choses simples. Donc là on est en face de quelque chose de factorisé inférieur à 0. Donc en fait on est en face d’une étude de signe. On va vouloir étudier le signe de x(3-x) et en particulier on va vouloir savoir quand est-ce que c’est strictement inférieur à 0 c’est-à-dire quand est-ce que c’est strictement négatif.
Donc ce qu’on fait, c’est qu’on dresse le tableau de signe de cette expression.

Donc c’est parti, on met notre ligne des x, c’est toujours la première ligne d’un tableau de signe. On met -l’infini et +l’infini pourquoi ici ? Parce qu’en fait notre ensemble de définitions des solutions possibles c’est R tout entier. R tout entier je rappelle bien que c’est l’intervalle ]-l’infini;+l’infini[.
Ensuite on met le premier facteur, on va mettre le signe de x. Ensuite on va mettre le signe de 3-x. Et enfin dernière ligne de notre tableau, on va mettre le signe de notre expression totale ici, x(3-x). Donc là, c’est pareil, je suppose que tu connais les rudiments d’un tableau de signe. Ce n’est pas très compliqué mais il faut quand même que tu saches les bases.
Donc là, le x, comment va-t-on déterminer son signe ? Ce sont des fonctions affines en fait, x et 3-x. Ce sont des fonctions du type ax+b. Et pour déterminer le signe d’une fonction affine, on ne va pas tout réexpliquer dans cette vidéo, mais c’est pareil, il y aurait des explications plus détaillées à donner.
Donc si tu ne sais pas comment on obtient le signe d’une fonction ax+b, et bien je t’encourage à trouver d’autres vidéos sur star-en-maths.tv qui expliquent ça vraiment en détails. Je pense que tu peux vraiment comprendre comment ça marche mais il faut que tu ailles voir une autre vidéo qui détaille bien comment obtenir le signe d’une fonction affine, donc du type ax+b.

Donc x, c’est la fonction affine la plus simple du monde puisque son coefficient directeur, c’est le a en noir, donc c’est 1, c’est ce qu’il y a devant le x. Et il n’y a pas de b. Le fait que son coefficient directeur soit 1, et bien ça veut dire que la fonction affine x est croissante et donc que son signe c’est moins et plus. Quand est-ce que ça change de signe ? Et bien pour ce faire il faut résoudre la petite équation que tu peux faire toujours ici, en face de ligne : x=0. En fait il n’y a rien à résoudre, ça te donne la valeur charnière 0.
Donc ça te dit que x change de signe quand x vaut 0. Ce qui parait assez bête, c’est normal que x change de signe quand x vaut 0. Avant 0 x est négatif et après 0 x est négatif. Et là je mets le 0 bien sûr qui sera reporté tout en bas.
Maintenant on s’intéresse au signe de 3-x qui est la fonction affine, si on la réordonne un petit peu, -x+3, c’est pareil. Tu vois je la réordonne de cette façon pour avoir la forme ax+b. D’abord le x et ensuite la constante. Donc là, le coefficient directeur c’est -1. C’est ce qu’il y a devant le x. Donc la fonction affine est décroissante. Et ça, ça te permet de savoir que forcément son signe c’est plus et ensuite moins.
Parce qu’en fait si je réexplique un peu les choses, la fonction 3-x ça donnera une droite, sa courbe, qui est décroissante, qui pour toi sera comme ça, dans un repère orthonormé. Donc d’abord plus et ensuite moins, à droite. Ça marche ?

Donc ce sera un plus et après un moins. Mais par contre ce serait bien de savoir quand est-ce que ça change de signe. Et pour savoir ça, tu fais toujours la même chose, tu résous cette petite équation : 3-x=0. Comment résoudre ça ? Là c’est une équation toute simple du premier degré. Tu passes le -x à droite, qui devient +x, ce qui donne 3=x donc x=3.
Tu places bien le 3 dans ton tableau. Ça va être forcément ici à droite du 0 et donc tu mets la barre verticalement. Tu mets ton 0 là et tu peux reporter le + un peu partout ici. Et tu peux aussi reporter le + ici. Et tu reportes le 0 là. Tu complètes petit à petit ton tableau de signe.
Et on va obtenir maintenant le signe de notre expression finale. C’est donc moins, 0 ici quand x vaut 0, plus, ça vaut 0 quand x=3 et c’est négatif quand x est supérieur ou égal à 3. Donc moins là.
Et toi tu cherchais à savoir quand est-ce que ton expression était négative strictement. Donc tu regardes quand est-ce que c’est moins à la fin. Et bien c’est ici, pour ces x là et pour ces x là. Tu vois ça correspond à ce moins-là et ce moins-là. Donc les solutions ça va être une réunion de deux intervalles. Je vais la noter juste en bas : S= ]-l’infini ;0[ U ]3 ; +l’infini[
Le zéro n’est pas inclus parce que tu ne veux pas que x(3-x) soit égal à 0. Tu veux que ce soit strictement inférieur à 0. Alors que tu vois que quand x vaut 0, c’est égal à 0. Donc nous on exclut le 0. Il faut aussi exclure le 3 parce que tu vois bien que x(3-x) est égal à 0 quand x vaut 3 donc il ne faut pas inclure le 3.

S= ]-l’infini ;0[ U ]3 ; +l’infini[, voilà toutes les solutions. donc si je prends par exemple -10, c’est une solution de ton inéquation de départ. Si je prends 7, c’est une solution.
Si je prends 3 par contre, ce n’est pas une solution. La preuve, si je remplace x par 3, faisons-le, tu verras bien que ça ne marchera pas. Ça fait 3(3-1), donc ça fait 6 ici à gauche. Et à droite, si je remplace x par 3 ça fait 3² donc 9-3 et ça fait 6. Donc tu obtiens 6 à gauche et 6 à droite. Le problème c’est que 6 n’est pas strictement inférieur à 6. Donc x=3 n’est pas une solution de ton inéquation.
C’était juste un petit exemple pour bien clarifier les choses. Et donc voilà comment on a résolu notre première inéquation.

Réussir à résoudre des inéquations difficiles
Vidéo 2/3
Résolution de la deuxième équation

Dans cette vidéo nous allons résoudre la deuxième inéquation de cet exercice, celle que j’ai recopiés ici : (3x+1)/(2-x)-4/(4-2x) supérieur ou égal à 1.
Dans cette vidéo je suppose que tu as déjà résolu des inéquations simples donc il faut un minimum être à l’aise avec les règles pour transformer des inéquations et aussi être un minimum à l’aise sur les calculs de base comme des petites factorisations, les moins, les plus, les mises au même dénominateur etc.
Donc si tu n’as jamais résolu des équations par toi-même, je t’encourage à aller voir des vidéos dans lesquelles je fais des inéquations plus simples. Voilà, je voulais vraiment faire ce petit avertissement parce que là, je considère que ce sont des inéquations d’un niveau assez avancé.
Donc là, on va respecter les deux étapes que j’ai mises ici en noir pour résoudre une inéquation.

C’est-à-dire que dans un premier temps on va chercher l’ensemble de définition des solutions possibles : première étape. Pour trouver cet ensemble des solutions possibles il s’agit en fait de résoudre le problème inverse, c’est-à-dire de trouver les valeurs interdites s’il y en a.
Des valeurs interdites, il y en a, dès lors que tu as un quotient, c’est-à-dire une division, ou une racine carrée. Donc là, il n’y a pas de racine carrée mais par contre il y a des quotients. Comment trouver les valeurs interdites ?
Et bien tu sais qu’en maths, il ne faut pas que le dénominateur, c’est-à-dire ce qu’il y a en dessous du trait de fraction, soit égal à zéro. Il ne faut pas diviser par 0 en fait en maths. Ce n’est pas possible, ça n’existe pas.

Donc en fait il ne faut absolument pas que tu aies 2-x qui soit égal à 0.
Donc tu vois, première étape, je vais le marquer en noir, et bien pour trouver les VI (valeurs interdites) tu dois résoudre dénominateur égal à 0. Comme ça, ça va te donner les valeurs interdites, les valeurs que ne doit pas prendre x.
Donc 2-x=0. C’est une équation toute simple à résoudre du premier degré. Il suffit juste de passer le -x ici à droite et tu obtiens x=2. C’est la première valeur interdite.
Mais il y a un deuxième quotient, il y a un deuxième dénominateur dans notre inéquation. Il ne faut pas que 4-2x soit égal à 0. Donc je résous 4-2x=0. Ça va te donner une deuxième valeur interdite mais en fait tu vas voir que c’est la même puisque si tu essaies de résoudre cette petite équation et bien tu passes le -2x à droite. Tu obtiens 4=2x. Pour te débarrasser du 2 devant le x tu divises à gauche et à droite par 2 et donc tu obtiens x=2. Tu obtiens la même valeur interdite.
Donc ça veut dire quoi ? Et bien ça veut dire que ton ensemble de définition des solutions possibles, c’est tout sauf 2, tout simplement. Donc je le note ici, Ed (comme ensemble de définition des solutions possibles), attention ce ne sont pas les solutions, c’est juste l’endroit où les solutions ont le droit d’être. C’est l’ensemble de définition des solutions possibles. Donc Ed c’est tout simplement ]-l’infini;2[U]2;+l’infini[. ça se note aussi R, l’ensemble des réel, auquel on enlève 2. ON le note avec un moins penché (pour les ensembles) R\{2}. On met le 2 entre accolades. C’est la même chose, ce sont deux ensembles égaux.

Voilà pour la première étape. Maintenant on passe à la deuxième étape qui est la résolution effective de notre inéquation. Alors là, je te disais qu’il y a deux techniques. La première technique, bien souvent, quand on essaie de résoudre une inéquation, c’est d’essayer d’isoler le x. En fait tu vas voir que tu ne vas pas réussir pour cette inéquation parce que tu as du x en haut, du x en bas, et une deuxième fraction ici avec du x en bas. Ça ne va pas du tout être simple de regrouper les x et d’isoler le x.
Donc ce qu’on va faire, c’est qu’on va appliquer la deuxième technique ici, on va tout passer d’un coté, on va tout mettre au même dénominateur et après, on verra ce qui se passera. En fait on fera un tableau de signe, une étude de signe.
Donc là, il faut vraiment que tu sois à l’aise avec les petites règles pour transformer les inéquations. On va passer le 1 ici à gauche. ET il faut aussi que tu sois à l’aise avec les mises au même dénominateur, c’est ce qu’on va faire ici, on va tout mettre au même dénominateur. Ça va être une grosse mise au même dénominateur.

Donc c’est parti, on passe le 1 à gauche. On va recopier : (3x+1)/(2-x)-4/(4-2x)-1 supérieur ou égal à 0. Tu vois qu’on a un supérieur ou égal à 0. C’est ça le but de tout passer d’un coté, c’est d’avoir un 0 de l’autre côté. Et quand tu as un 0 de l’autre coté, ça veut dire que tu cherches à savoir quand est-ce que toute cette expression ici est positive. C’est pour ça que ça permet de se ramener à une étude de signe de cette expression.
Donc là, on cherchera après quand est-ce que cette expression est positive mais d’abord il faudrait tout mettre au même dénominateur. Ça nous aidera parce que chercher le signe de cette expression, tu vois c’est une somme de trois termes : premier terme ici, deuxième terme là et le troisième terme c’est -1, et bien chercher le signe d’une somme, ce n’est vraiment pas facile. C’est pour ça qu’on essaie de factoriser et/ou de mettre au même dénominateur.
Donc là vu qu’on a des fractions on va mettre au même dénominateur. Donc quel dénominateur on va choisir ? C’est là que ce n’est pas forcément évident. En fait, quel est le point commun entre ce dénominateur-ci 2-x et ce dénominateur-là : 4-2x ? Et bien en fait, il faut que tu vois que 4-2x c’est 2 fois ce dénominateur-là. 2*(2-x), c’est 4-2x justement.
Donc en fait, ce qu’on va faire, c’est multiplier par 2 en haut et en bas la première fraction. Comme ça on obtiendra en bas le dénominateur 4-2x. La deuxième fraction ici, on ne la touche pas parce qu’en fait notre dénominateur commun ça va justement être 4-2x. Et le 1, troisième terme ici, comment mettre au même dénominateur le 1? Et bien c’est tout simplement (4-2x)/(4-2x). Tu vois le nombre 1 c’est n’importe quel nombre sur ce même nombre. 1 c’est 5/5, 1 c’est 2x/2x, 1 c’est aussi (4-2x)/(4-2x). Ça marche ?

Donc là, c’est parti, je vais tracer un grand trait de fraction, on va obtenir : on multiplie par 2 juste ce dénominateur-là, et on fait le développement tout de suite pour aller un petit peu plus vite. Ça fait : (6x+2-4-2(2-2x))/(4-2x), tout ça supérieur ou égal à 0.
Donc maintenant ce qu’il nous reste à faire, c’est nettoyer un peu le dessus. Donc on va repartir là. On va aller un petit vite parce que je manque de place. Je pense que tu peux comprendre. 6x, on va l’ajouter avec le -2x mais devant le -2x il y a un moins parce que tu vois que devant les parenthèses il y a un moins. Donc ce -2x va devenir +2x quand tu vas enlever les parenthèses. Donc combien il va nous rester ? Et bien on va obtenir 8x.
ET au niveau des constantes… Donc il n’y a plus de x. Donc tu peux même les barrer. C’est une petite astuce que je t’encourage à réaliser quand tu fais un calcul, c’est que tout simplement, quand tu as traité des termes dans un calcul, tu peux les barrer au crayon à papier. Ne les barre pas avec le même stylo que tu utilises, barre-les plutôt au crayon à papier. Donc là, je vais le faire en noir. Tu t’es occupé de 6x et de -2x.
Donc là, il reste les constantes. On a 2-4-4 parce que tu vois que devant le 4 qui est dans les parenthèses il y a le moins qui est juste devant les parenthèses. Donc on obtient 2-8 et 2-8 ça fait -6.
Donc là ça y est on s’est occupé de tous les termes du numérateur et en bas on a 4-2x : (8x-6)/(4-2x) et tout ça c’est supérieur ou égal à 0. Et tu as vu que c’est beaucoup plus simple que tout ça.

Donc on va dresser le signe de cette expression. Ça va être assez simple. On va faire la première ligne, la ligne des x. là tu mets ton ensemble de définition des solutions possibles, ce qui est en rouge juste au-dessus. Donc -l’infini jusqu’à +l’infini, mais tu te souviens, il faut enlever le 2. Donc on fait apparaitre le 2 qui sera une valeur interdite de notre expression ici.
Donc après on fait apparaitre le numérateur donc 8x-6. Ensuite le dénominateur qui est 4-2x. Et enfin notre expression totale qui est (8x-6)/(4-2x). Tu vois il y a un petit peu de boulot dans tout ça, il y a pas mal de petites étapes qu’on réalise. C’est ça les mathématiques. Dès que tu commences à résoudre des choses plus complexes et bien il te faut avoir pas mal de petites connaissances finalement : résoudre des équations, transformer des inéquations, connaitre les techniques pour transformer des inéquations, mettre au même dénominateur, faire des tableaux ce signe etc.
ET là, pour faire notre tableau de signe on a besoin de savoir étudier le signe d’une fonction affine puisque là, 8x-6 et 4-2x ce sont des fonctions affines. Pour étudier le signe d’une fonction affine, si tu ne sais pas le faire, on ne va pas l’expliquer en détail ici, on va aller assez vite, je t’encourage à aller voir d’autres vidéos que j’ai faites spécialement sur le sujet : connaitre le signe d’une fonction affine. Je t’encourage à aller les voir.
Donc là, 8x-6, le coefficient directeur c’est 8. C’est ça dont on a besoin pour connaitre le signe parce que ça nous permet de savoir si elle est croissante ou décroissante. Là, vu que 8 c’est positif notre fonction est croissante. Donc forcément son signe, c’est moins et plus. Par contre ce serait bien de savoir quand est-ce qu’elle s’annule. Donc on résout 8x-6=0. Je vais le faire juste en-dessous. Ça donne 8x=6 et donc x=6/8=3/4. On va mettre 3/4 ici, à gauche du 2, parce que c’est plus petit. Là on met notre 0. Et vu que la fonction est croissante, on avait dit que c’était – et +.
Ensuite 4-2x, c’est pareil. On va s’intéresser au coefficient directeur qui est -2, toujours ce qui est devant le x. Donc ta fonction elle est décroissante, donc c’est comme ça pour toi si tu traçais la droite dans un repère orthonormé. Donc c’est plus à gauche et moins à droite, quand elle passe sous l’axe des abscisses, cette droite. Tu résous quand est-ce que ça passe sous l’axe des abscisses, quand est-ce que ça, ça s’annule 4-2x=0. Mais on l’avait déjà résolu quand on cherchait l’ensemble de définition des solutions possibles. Ça donne x=2.
Donc là on trace notre barre verticale et on met 0. ON avait dit que c’était + et -, donc +, +, -. Là on peut reporter notre + de la première ligne ici. On met notre 0 correspondant au 0 de notre numérateur ici. Par contre attention, c’est là la petite erreur que tu pourrais faire : le 0 de 4-2x il ne faut pas le mettre ici parce que 2 c’est justement la valeur interdite de ton expression. Quand 4-2x vaut 0, ça ne peut pas exister. Ça marche ?

Donc là on obtient notre -, + et notre -. Et nous on cherchait quand est-ce que tout ça était supérieur ou égal à 0. Donc là on obtient nos solutions, tu vois, c’est ici, c’est de 3/4 jusqu’à 2.
Alors est-ce qu’il faut inclure le 2 ? Non. ET est-ce qu’il faut inclure le 3/4 ? Oui parce qu’on cherchait quand est-ce que c’est supérieur ou égal à 0. Et là, (8x-6)/(4-2x)=0 pour x=3/4. Donc on prend le 3/4.
Donc en fait, la solution de notre inéquation, c’est tout simplement l’intervalle [3/4 ; 2[. Et le 2 il faut l’exclure parce que c’est tout simplement la valeur interdite de notre inéquation.
Voilà comment on a résolu notre inéquation. Tu vois qu’il a fallu faire une mise au même dénominateur assez technique. J’espère que tu l’as bien comprise, à ce niveau-là. Et sinon, il a fallu suivre les deux étapes générales pour résoudre une équation ou inéquation : 1) chercher les valeurs interdites et 2) résoudre. ET là on a résolu à l’aide d’un tableau de signe.

J’espère que tu as bien compris comment résoudre cette inéquation. Et la technique est toujours un petit peu la même pour les 3 qu’on a dans cet exercice et maintenant on va s’attaquer à la troisième.

Réussir à résoudre des inéquations « difficiles »
vidéo 3/3
Résolution de la 3ème inéquation

Dans cette vidéo nous allons nous attaquer à la troisième inéquation de cet exercice que j’ai recopiée ici : (x-5)(1-2x) inférieur ou égal à (x-5)².
Dans ces vidéos je suppose que tu es à l’aise avec la résolution d’inéquations simples, c’est-à-dire que tu as déjà résolu des inéquations simples, et je suppose aussi que tu es à l’aise avec les petits calculs.
Je te dis ça parce qu’en fait je considère que ces trois inéquations qu’on est en train de résoudre sont d’un niveau assez avancé si tu es en seconde. Tu peux même aussi t’entrainer à les résoudre si tu es en première ou terminale. Ça vaut vraiment le coup.
Donc voilà, je voulais vraiment t’avertir là-dessus. Je te dis ça aussi parce que je vais assez vite sur les petits calculs et sur les explications de certaines choses qui nécessitent normalement des explications plus approfondies. Donc je te le dirai quand il y a des choses à savoir que je n’explique pas forcément dans cette vidéo, je t’inviterai à aller voir d’autres vidéos.

Donc là, ce que nous allons faire, et bien c’est toujours suivre les deux étapes en noir qui sont proposées ici pour résoudre une inéquation. Deux étapes en général en fait.
La première étape c’est tout simplement l’ensemble de définition des solutions possibles. Et bien en fait ici il n’y a rien à faire puisqu’il n’y a pas de quotient, il n’y a pas de dénominateur si tu veux et il n’y a pas de racine carrée. Donc il n’y a pas de valeur interdite en fait. Donc ça veut dire tout simplement que l’ensemble de définition des solutions possibles, c’est R. Donc là, c’est une étape qui va très vite : là, c’est R. Les solutions possibles peuvent être n’importe quel nombre réel. C’est ça que ça veut dire.
Donc on passe tout de suite à la deuxième étape. 2: la résolution d’une inéquation, donc la résolution effective. Donc on regarde quelle technique on peut employer. Et là on se demande si on peut isoler le x. Bon comme je te disais que c’est une inéquation qui n’est pas forcément évidente, qui est d’un niveau assez avancé et bien on ne va pas pouvoir isoler le x tout seul d’un côté du inférieur ou égal. Ça ne va pas être aussi simple que ça.
Souvent on utilise cette première tactique de résolution quand l’équation est simple mais là, ça ne va pas être le cas puisque l’inéquation n’est pas simple.

Donc ce qu’on va essayer de faire, c’est d’employer la deuxième tactique proposée, c’est-à-dire passer tout d’un côté et de factoriser etc. puis ensuite faire une étude de signe.
Alors là peut-être que tu aurais eu comme premier réflexe de développer. On peut essayer de développer pour mieux factoriser à la fin. Ça peut arriver qu’il faille agir de cette façon. Le problème c’est qu’on ne va pas vraiment aboutir si on fait comme ça. On peut essayer, on va le faire ensemble. C’est peut-être le réflexe que tu as eu. On va développer et on va voir qu’on est bloqué.
Je t’encourage vraiment à essayer des choses quand tu es en face d’une équation ou inéquation. C’est tout à fait normal de ne pas trouver le bon chemin tout de suite. Parfois tu vas employer des chemins qui sont sans issue. C’est tout à fait normal. Tu vas te retrouver bloqué à des moments. Dans ces moments-là il ne faut pas hésiter à revenir en arrière. Tu lèves la tête un instant, tu recules, tu re regardes ton inéquation de départ et tu repars à zéro en employant une nouvelle technique.
Donc là, c’est ce que je vais te montrer, c’est qu’on va être bloqués si on développe.

Donc si on développe ça va donner quoi ? Donc tu développes ici. Tu sais développer une expression comme celle-ci, ça va donner :
« Calcul mathématique »
Donc après on essaie de tout mettre d’un côté et voir ce qui se passe. On va essayer de regrouper les x², les x et les constantes. Admettons qu’on passe tout ici à gauche. Donc je vais passer tout ça ici à gauche. Donc on va avoir quoi ?
« Calcul mathématique »
Je vais un petit peu vite dans les calculs mais c’est normal ici, c’est pour te montrer que c’est une voie sans issue. C’est une petite astuce : tu peux toujours barrer au crayon à papier les termes dont tu t’es occupé. Donc là, les x on s’en est occupé, les x² aussi. Donc là, ça clarifie bien puisqu’il nous reste plus que le 5 et le 25 à droite. Donc on passe le 25 à gauche, ça va faire -25, donc tu as : 21x-3x²-30 inférieur ou égal à 0.

Donc là tu tombes sur ce qu’on appelle une inéquation du second degré. EN fait, ça aussi c’est une inéquation du second degré mais c’est plus simple à résoudre. C’est faisable quand tu es en seconde. Mais là, sous cette forme, ce n’est pas simple du tout en fait. C’est la forme développée de ton polynôme du second degré et on peut résoudre ça quand on est en première S. Donc si tu es en première S, il n’y a pas de souci, tu vas pouvoir résoudre ça à l’aide d’un tableau de signe en étudiant delta de ce polynôme du second degré.
Si tu es en seconde, delta etc. ça ne te dit rien du tout ce qui est tout à fait normal. Donc là, ce que je suis en train de te dire c’est qu’on ne va pas résoudre cette inéquation comme ça en développant si tu es en seconde, je répète bien. En fait, ce que je t’encourage à faire, c’est à revenir au début et à regarder ton inéquation. Il ne faut pas hésiter à bien regarder les choses.
Est-ce que tu ne vois pas quelque chose en commun entre la gauche et la droite ici ? Et bien moi, je vois quelque chose en commun, c’est le (x-5) qu’on retrouve à gauche et aussi à droite ici sous le carré. En fait si tu passes tout ceci, le carré, à gauche, et bien tu vas obtenir -(x-5)². Et tu obtiendras inférieur ou égal à 0. Et là, on va pouvoir factoriser par notre élément commun c’est-à-dire (x-5). Et c’est ça que je te propose de faire.
Donc là, on était tombés sur une voie sans issue donc on abandonne et on repart comme je te propose.

Donc on obtient : (x-5)(1-2x)-(x-5)² inférieur ou égal à 0. Et là on a bel et bien notre élément commun qui est (x-5)qui appartient aux deux termes. Le premier terme c’est tout ça : (x-5)(1-2x). Et le deuxième terme c’est ce carré, donc il est là notre (x-5).Donc on va pouvoir factoriser par (x-5). Donc c’est pareil, si tu n’es pas à l’aise avec la factorisation, je t’encourage à aller voir d’autres vidéos que j’ai faites sur le sujet de la factorisation. Je détaille vraiment bien ça dans plusieurs autres vidéos d’ailleurs.
Mais là je vais aller un petit peu vite sur la factorisation et je n’explique pas tout en détail. C’est normal c’est que je n’aurais pas le temps sinon de résoudre avec toi ces inéquations. Donc là je veux vraiment résoudre de a à z cette troisième inéquation ici, donc on va assez vite sur certains points. Mais si tu ne te sens pas à l’aise, n’hésite vraiment pas à mettre en pause cette vidéo et à aller voir d’autres vidéos que j’ai faites sur la factorisation. C’est vraiment important que tu maitrises cette opération en maths.
Donc là, on factorise par (x-5). C’est parti. (x-5) est notre élément commun entre nos termes. Nos deux termes c’est quoi ? C’est ça, parce que là, c’est une soustraction. Tu te souviens que les éléments dans une soustraction, ça s’appelle des termes, ou dans une addition. Ça c’est le premier terme et deuxième terme ici. ET dans nos deux termes on a un élément commun et c’est par cet élément qu’on factorise. Donc (x-5)(… Et qu’est-ce qu’on va mettre dans la parenthèse ? Et bien on va mettre ce qui nous reste. Le 1-2x, que tu peux remettre entre parenthèses si tu veux, pour t’assurer des choses, pour t’assurer de ne pas faire d’erreur, même si ce n’est pas vraiment nécessaire ici.
Et après tu mets ton moins. C’est ce moins-là. Tu le remets, tu le reportes et tu mets ce qui reste ici. Tu vois, par combien il faut multiplier (x-5) pour retomber sur (x-5)² ? Et bien par (x-5) puisque (x-5)², c’est (x-5)(x-5). Donc là, tu mets bien les parenthèses aussi. Tu mets bien les parenthèses ici et tu refermes les grandes parenthèses : (x-5)((1-2x)-(x-5)) inférieur ou égal à 0.
Et là on est bien. Il suffit juste de nettoyer ce qu’on a dans les grandes parenthèses. Ce que j’appelle les grandes parenthèses, c’est celles-ci. Donc on nettoie. Je vais passer ici à droite, je vais tracer un petit trait. On reprend ça, on le réécrit là. (x-5)(1-2x-x+5) parce que -(-5) ça fait +5. Donc en fait on fait les calculs tout de suite on va avoir : (x-5)(-3x+6).

Donc ça y est on a une expression factorisée qui est simple. On a juste deux parenthèses et tout ça, ça doit être inférieur ou égal à 0. Donc il ne nous reste plus qu’à faire le tableau de signe parce qu’en fait on cherche à savoir quand est-ce que cette expression est négative, c’est-à-dire inférieure ou égale à 0.
Donc là, c’est parti on dresse notre tableau de signe. Première ligne : c’est x : de -l’infini jusqu’à +l’infini. Il n’y a pas de valeur interdite. La première ligne c’est toujours l’ensemble de définition des solutions possibles. Donc ici, c’est R dans notre cas, dans cette troisième inéquation. Ensuite, là, tu mets le signe du premier facteur (x-5). Le signe du second facteur : (-3x+6). Et enfin tu mets ton expression totale. Je ne vais pas la réécrire je vais l’appeler tout simplement E comme « expression ». Donc E(x). Tout ça on va l’appeler E(x) parce que c’est une fonction de x. C’est tout à fait normal.
Voilà, donc à partir de ce moment-là, on va déterminer le signe de x-5 et de -3x+6 mais on va aller assez vite. Donc je t’encourage, si tu ne connais pas vraiment comment obtenir le signe d’une fonction affine de ce type-là (ax+b, parce que ce sont des fonctions affines), à aller voir les vidéos que j’ai faites sur le sujet. Tu peux les trouver en tapant par exemple « signe fonction affine », je pense que tu tomberas dessus. Ce sont des vidéos dans lesquelles j’explique vraiment en détail comment obtenir le signe d’une fonction affine parce que c’est vraiment important pour faire des tableaux de signe. Et c’est important jusqu’en terminale S donc il faut vraiment que tu saches faire ça.
Là on va assez vite. Là on étudie x-5. C’est très simple. Son coefficient directeur c’est 1 donc c’est une fonction croissante. Sa droite va monter dans le repère orthonormé. Donc c’est moins d’abord et c’est plus ensuite parce que la droite passera au-dessus de l’axe des abscisses. Quand est-ce que ça s’annule x-5 ? Et bien c’est quand x vaut 5. Pour ça tu peux résoudre l’équation x-5=0. Ce qui te fournit x=5 que tu places dans la première ligne de ton tableau. Tu mets la barre verticale, tu mets le 0 et c’est bon on a le signe de notre x-5.
Tu peux reporter le 0 en bas parce que quand x-5 vaut 0, toute ton expression E(x) vaut 0 aussi puisque c’est 0 fois quelque chose. Peu importe ce que ça vaut ici mais 0 fois quelque chose ça vaut 0. C’est pour ça qu’on a un 0 ici.

Ensuite, -3x+6 : on étudie son signe. C’est une fonction affine. Tu regardes son coefficient directeur, c’est -3. Donc c’est une fonction affine qui est décroissante, donc qui serait comme ça pour toi, si tu traçais la droite dans un repère orthonormé. Donc c’est forcément + à gauche et – à droite quand elle va passer sous l’axe des abscisses.
Donc +, et – mais il faudrait savoir quand est-ce que ça s’annule. Donc tu résous -3x+6=0. Je le fais juste là. J’utilise la petite place que j’ai, ça va aller très vite, ça va donner : -3x=-6 donc 3x=6 donc x=2. Là, c’est pareil je vais un peu vite mais je pense que tu peux résoudre ce genre d’équations très facilement. Il faut que tu le fasses posément si tu n’as pas bien compris. Tu résous -3x+6=0. Tu passes le 6 à droite, tu enlèves les moins et tu divises par 3.
Donc là, ça fait x=2 que tu vas placer forcément ici, à gauche de 5 parce que c’est plus petit que 5. Dans la première ligne, tu places toujours les nombres dans l’ordre croissant du plus petit au plus grand.
Donc là, tu places ta ligne verticale. Tu mets ton 0 là et tu mets aussi ton 0 là. Pourquoi ? Et bien parce que quand -3x+6=0, et bien E(x) vaut aussi 0 parce que ça fait (x-5)*0 donc ça fait 0 aussi. On met le plus et les moins parce que tu te souviens, elle est décroissante donc c’est plus d’abord et moins ensuite. Et là on complète notre tableau de signe, ça fait : moins, plus et moins.

Ça y est, on s’approche de la fin de la résolution de cette inéquation. Donc on cherchait à savoir quand est-ce que notre expression E(x) est négative, inférieure ou égale à 0. Donc là, on se rend compte que c’est quand x se balade entre -l’infini jusqu’à 2 et aussi quand x se balade de 5 jusqu’à +l’infini. Ça correspond à ces moins, quand E(x) est négative.
Donc on écrit nos solutions. Je l’écris ici. Ça va correspondre en fait à une réunion de 2 intervalles : S=]-l’infini ; 2] U [5 ; +l’infini[. Pourquoi on inclut le 2 et le 5 ? Parce que E(x) a le droit d’être égal à 0 : c’est inférieur ou ÉGAL à 0. Pour x=2 et x=5 E(x)=0 donc tu as le droit d’inclure le 2 et le 5.
Voilà comment on a résolu notre inéquation. Si ça avait été par exemple strictement supérieur à 0 et bien là, les solutions, tu aurais pris le + ici, et ça aurait été ]2;5[ 2 et 5 exclus parce que strictement supérieur à 0.
En résumé, comment on a résolu notre inéquation ? Et bien en fait, on s’est rendu compte que quand on développait on tombait sur un cul de sac tout simplement parce qu’on ne pouvait pas aller plus loin (si tu es en seconde ; si tu es en première S tu peux résoudre ce type d’inéquation du second degré sur laquelle on était tombés ici en développant). Ensuite, on est revenus à notre inéquation initiale et on s’est posé la question : est-ce qu’on peut factoriser en passant tout d’un côté ? Et bien oui parce qu’on a remarqué qu’on avait un x-5 à gauche et à droite. Donc en passant tout du même côté on pouvait factoriser par x-5.
Et en obtenant une expression factorisée ici à gauche, et bien on a pu dresser le tableau de signe très facilement de notre expression ici à gauche parce que, je te rappelle que c’est beaucoup plus simple d’obtenir le signe de quelque chose qui est factorisé que d’obtenir le signe de quelque chose qui n’est pas factorisé.
Donc là, c’est ce qu’on a obtenu ici. Tu vois on avait quelque chose de factorisé et ensuite on a obtenu le tableau de signe très facilement en sachant étudier le signe d’une fonction affine. Donc si tu sais étudier le signe d’une fonction affine, ça va vraiment t’aider pour dresser des tableaux de signe. Et à la fin, dans notre dernière ligne de notre tableau, on a regardé quand est-ce que c’était « moins » et ça nous a permis d’obtenir nos solutions que j’ai notées ici en rouge.

J’espère que tu as bien compris comment résoudre ces inéquations un peu difficiles : des inéquations difficiles pour le niveau seconde. Et je pense qu’il faut aussi que tu saches les faire si tu es en première ou terminale.
Donc c’est vraiment bien si tu t’es entrainé à les faire si tu es en première ou terminale.