2nde Signe d’une fonction affine

Comment dresser le tableau de signe d’une fonction affine ?

Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Alors l’exercice d’aujourd’hui te propose de dresser le tableau de signe de l’expression suivante qui est 3/4-5x.
Alors tu vois que j’ai mis le x d’une couleur différente de 3/4 et -5. Alors j’ai fait cela tout simplement parce que quand on te demande d’étudier le signe de quelque chose, c’est que ce quelque chose varie. C’est que le signe de ce quelque chose varie. Et ceci, c’est bien une fonction de x, ça varie en fonction de x justement.

Donc si tu prends une valeur de x, par exemple x=1, et bien f(x), f(1) va pouvoir être calculé et te donner un nombre et ce nombre il aura un signe. C’est exactement ça qu’on va étudier. Selon les valeurs de x on va étudier non pas le nombre que va nous donner 3/4-5x mais le signe de ce nombre là.
Par exemple on va prendre x=1, comme je le disais à l’instant, et si on note cette expression f(x)… Si tu veux tu peux considérer ça comme une fonction, c’est tout à fait vrai, c’est une fonction de x. ça va te donner un nombre en fonction de x. On va calculer f(x) tout de suite. f(x) dans ce cas, vu que x=1, est égal à f(1) et tu peux donc remplacer x par 1 dans cette expression et ça va nous donner 3/4-5*1. J’ai remplacé x par 1 et entre le 5 et le x il y a un fois.
ET donc ça, on peut le calculer, on peut aller un petit peu plus loin. Ça va nous donner 3/4-5 parce que 5*1 c’est 5. On a juste enlevé le *1 parce que quelque chose fois 1 tu peux toujours enlever le fois 1. Ça ne sert pas à grand chose. Donc là je te propose quand même de retrancher ces deux nombres. On va mettre 5 sur le même dénominateur que 3/4, donc sur 4. On va multiplier haut et bas 5 par 4. Donc en fait on fait 5*4, le tout sur 4. Ça ne change rien à 5 puisque tu multiplies haut et bas par le même nombre qui est 4.
Et maintenant, ce que tu vas pouvoir faire, vu que tu obtiens deux fractions qui ont le même dénominateur 4, tu vas pouvoir les retrancher. Donc tu vas obtenir 3/4-20/4. Tu peux aussi dire que c’est égal à (3-20)/4. C’est le but de la manœuvre, c’est de pouvoir mettre tout sur le même dénominateur 4. Et 3-20 ça nous fait -17/4. Le moins je te rappelle tu peux le mettre au niveau du numérateur donc ça fait (-17)/4. Tu peux le mettre aussi au milieu comme j’ai fait ici donc au niveau du trait de fraction ou tu peux le mettre aussi au dénominateur mais généralement on ne garde pas le moins devant le 4, on le met au milieu ou devant le numérateur.
Donc voilà ce que te donne pour x=1 f(1). Voilà donc le nombre qu’elle te donne cette expression quand tu remplaces x par 1. Et ce nombre, tu regardes son signe : 17/4 c’est positif et là tu as un moins devant, ça veut dire que tu obtiens un nombre négatif. Donc en prenant l’exemple de x=1 tu obtiens un nombre négatif.

Maintenant, si je prends un deuxième exemple, x=0. Combien vaut f(0) ? Il suffit de prendre cette expression et de remplacer x par 0. Donc c’est ce qu’on va faire tout de suite et on va obtenir : 3/5-5*0. Tu vois bien que ça, ça s’annule car 5*0 c’est nul et donc il va nous rester 3/4.
Donc voilà le nombre que te donne f(0) et ce nombre est-ce qu’il est positif ou négatif ? Et bien il est positif parce que 3/4 c’est 0,75 et 0,75 c’est bien sûr un nombre positif.
Voilà, alors tu vois que notre expression, apparemment, selon les valeurs de x, elle va pouvoir changer de signe parce que des fois elle est négative et des fois elle est positive. Ça dépend du x.
Maintenant ce que je te propose, c’est de considérer cette fonction comme étant une fonction affine. Et tu sais probablement ce qu’est une fonction affine. Une fonction affine c’est du type (je vais faire un petit rappel du cours en noir ici) f(x)=ax+b où le coefficient a c’est le coefficient directeur. C’est un nombre qui est connu dans l’équation, tu le connais. ET b c’est ce qu’on appelle l’ordonnée à l’origine.
Maintenant pourquoi notre fonction f(x)=3/4-5x est une fonction de ce type-là ? Parce qu’au lieu de garder 3/4-5x tu peux tout simplement l’écrire -5x+3/4. Et donc quel est le a et quel est le b dans cette expression ? Le a c’est -5, en fait c’est ce qu’il y a devant le x. ET le b c’est ce qu’il y a après. Ça pourrait être aussi un nombre négatif. Là c’est un nombre positif, c’est 3/4.

Et cette fonction, tu sais ce que tu peux en faire, tu peux la tracer dans un repère orthonormé et c’est ce que je te propose de faire tout de suite. Ça va te permettre de comprendre comment est cette fonction géométriquement et surtout, ça va te permettre de comprendre comment son signe fonctionne.
Voilà ce que je te propose de faire très rapidement, c’est de tracer cette fonction f(x)=-5x + 3/4. Tu sais à quoi ressemble une telle fonction parce qu’on appelle ça une fonction affine. Dans un repère orthonormé, cette fonction est représentée par une droite. Pour tracer une droite il te suffit d’en connaitre juste deux points. Tu sais qu’un point dans un repère orthonormé est caractérisé par deux coordonnées. La coordonnée suivant l’axe x et la coordonnée suivant l’axe y.
Là, on a déjà des points parce qu’on a déjà pour x=1 le f(x) correspondant ; et le f(x) c’est le y. Ici j’aurais pu dire y=ax+b. y c’est exactement la même chose que f(x). Il y a une égalité entre les 2. Donc si je prends un x, si je me place sur l’axe des abscisses, à 1 par exemple, et bien tu peux obtenir le f(1) correspondant, c’est à dire le y, l’ordonnée correspondante et donc tu vas pouvoir monter ou descendre selon ce que ça vaut. Et quand on avait calculé f(1) on avait trouvé -17/4. Donc à partir de x=1, il va falloir descendre parce que -17/4 est égal à -4,25 en nombre décimal. Donc il faut descendre de 4,25. Voilà, donc on est à ce niveau là.
Et donc là tu obtiens un premier point qui est de coordonnées x=1 et y=-4,25. Donc là tu obtiens un premier point de ta droite sachant que je te dis que géométriquement parlant, cette fonction quand tu la traces te donne une droite c’est-à-dire que la courbe représentative de cette fonction c’est une droite.

Donc maintenant il nous faut un deuxième point. On va se placer pour x=0. Pourquoi je me place pour x=0 ? Parce qu’on avait déjà fait le calcul. On avait déjà calculé f(0). f(0) ça va être l’ordonnée de ce point, c’est-à-dire le y et ça vaut 3/4. ET 3/4 c’est 0,75, ça va être ici. Voilà donc un deuxième point de ta droite.
Ce deuxième point a pour coordonnées 0 comme x et 0,75 comme ordonnée (3/4). Et à partir de ces deux points tu peux tout à fait tracer la droite, c’est ce que je vais faire tout de suite.
Voilà donc je viens de tracer la droite qui passe par les deux points que nous avions construit et cette droite elle est d’équation y=-5x+3/4.

Alors qu’est-ce qu’on remarque sur cette droite ? Sachant que, je te rappelle, le but de l’exercice c’est de trouver le signe de l’expression -5x+3/4 ou 3/4-5x, c’est exactement la même chose.
Alors qu’est-ce qu’on remarque sur cette droite ? Elle est tout simplement décroissante. Et d’ailleurs assez fortement; elle descend très bien quand tu vas dans le sens de lecture c’est-à-dire de la gauche vers la droite. Dans le sens de cet axe x. tu vois elle descend.
On peut prendre un autre exemple si tu veux. Nous avions déjà remarqué que quand x vaut 1, -5x+3/4, autrement dit -5*1+3/4, autrement dit aussi f(1) est négatif parce que ça vaut -4,25. Quand x=0, ça vaut 0,75 donc c’est positif.
Et quand x par exemple vaut -1, qu’est-ce qu’on remarque ? Et bien on obtient le point de la droite qui est ici. Et à ton avis quelles sont ses coordonnées à ce point ? Et bien déjà -1 en x et en y il suffit de remplacer x par -1 dans toute cette expression et tu vas obtenir le y correspondant. Donc si tu veux on fait rapidement le calcul ici pour x=-1. C’est un nouvel exemple, un troisième exemple. On calcule f(-1).
Donc f(-1) ça vaut… Il suffit de remplacer x par -1 : 3/4-5*(-1). ET -5*(-1) c’est tout simplement +5. Le 5 on le met au même dénominateur que 3/4 donc sur 4. Ça va nous faire 20/4 parce que 5 c’est aussi 20/4 et donc on va obtenir 23/4. Donc ici on a un point qui est de coordonnées -1 en x et 23/4 en y. Alors peut-être que c’est un nombre qui ne te parle pas beaucoup mais 23/4 c’est en fait 5,75 en nombre décimal. Alors vu que j’ai tracé ma courbe un peu rapidement, normalement ce point bleu devrait être un peu plus haut sachant que l’ordonnée de ce point c’est 23/4 donc 5,75.

Donc là on voit tout simplement, c’est surtout ça qui nous intéresse que 23/4, qu’on obtient en remplaçant x par -1 là-dedans, c’est un nombre positif. 23/4 c’est positif. Qu’est-ce qu’on remarque ? On remarque que pour les x qui se situent ici, le y correspondant va être positif, tout simplement parce que la droite bleue clair est au-dessus de l’axe horizontal des x, l’axe des abscisses.
Donc pour tous les x que je vais hachurer en vert, jusqu’à ce point là, et jusqu’à -l’infini, tu vois bien que 3/4-5x de ces x verts ça va être positif parce que la droite est au-dessus de l’axe des abscisses et donc l’ordonnée de tous ces points, appartenant à cette partie de la droite, est positive. Tu vois par exemple 23/4 ça l’est, 0,75 aussi, jusqu’à ce point que je vais mettre en orange, jusqu’à ce point-là où la droite bleue claire coupe l’axe des abscisses. Et à ce moment-là, 3/4-5x, c’est-à-dire le y, il vaut 0.
Ce point orange, c’est un point de coordonnées x qu’on va trouver et surtout d’ordonnée 0 parce qu’il est sur l’axe des abscisses. Tu sais que tous les points sur l’axe des abscisses ont pour ordonnée, pour y : 0.
Donc maintenant l’abscisse de ce point, combien vaut-elle ? Et bien il s’agit de résoudre l’équation très rapidement : 3/4-5x=0, autrement dit y=0, c’est exactement la même équation. Et comment on résout ce genre d’équation ? ET bien il suffit d’isoler x, d’obtenir à la fin x égal quelque chose. Je vais passer le -5x de l’autre côté et on va obtenir 3/4=5x. On divise ensuite à gauche et à droite par 5 pour l’enlever de devant le x ici. Diviser par 5 c’est comme multiplier par 1/5. Plutôt que diviser 3/4 par 5, ce qui ferait une fraction à étages, on va multiplier par 1/5
ET donc les 5 ici se simplifie, et on va obtenir x=3/20. C’est le x correspondant à notre intersection ici orange. Donc ici on a 3/20. Et ce point-là est crucial parce qu’à partir de x=3/20, pour les x que je vais faire figurer en rose, pour les x supérieurs à 3/20, alors le y correspondant, c’est-à-dire le -5x+3/4 est négatif parce que la droite bleue est en-dessous de l’axe horizontal des abscisses.

C’est tout ceci qui va nous permettre de tracer le tableau de signe de 3/4-5x. Tu vois c’est en étudiant la fonction affine y=3/4-5x qu’on peut étudier aussi son signe. Donc le tableau de signe ça va être tout simplement la chose suivante :
Première ligne tu mets x. x varie de -l’infini à +l’infini. Tu as un nombre particulier pour x. Quand x vaut 3/20, ça va être particulier parce que notre expression 3/4-5x=0. C’est-à-dire que la droite bleu clair coupe l’axe des abscisses quand x vaut 3/20. Donc voilà ce que tu va pouvoir faire figurer dans ton tableau de signe. Donc x, c’est toujours la première ligne tu vois. C’est un signe qui dépend de cette première ligne, qui dépend de l’évolution de x.
Donc pour 3/20 on a dit que c’était nul. Donc cette deuxième ligne ici c’est le signe de f(x) qui est 3/4-5x, le signe de y si tu veux, qui est l’ordonnée de tous ces points. Le signe de 3/4-5x.
Et nous avions dit donc que pour les x verts, c’est-à-dire les x appartenant à l’intervalle ]-l’infini;3/20[, le f(x) ou le y, c’est la même chose, sont positifs. Donc là, tu peux mettre un +. C’est représenté géométriquement par le fait que la droite bleue est au-dessus de l’axe des abscisses. À ce niveau-là c’est le changement de signe et tu obtiens un moins ensuite, pour les x roses.

Voilà donc le tableau de signe final qui répond à ta question. Et comment nous avons étudié le signe de cette expression ? Et bien tout simplement en étudiant la fonction y=3/4-5x, f(x)=3/4-5x et en la traçant dans un repère orthonormé.
Tu vois ici qu’elle est décroissante. Si elle décroissante ça veut forcément dire qu’elle est « plus » avant et « moins » ensuite, tu vois, le côté un petit peu intuitif. Et c’est bien ce qu’on vérifie ici. Et elle change de signe quand x=3/20. Et comment tu as trouvé ce 3/20 ? Justement en résolvant 3/4-5x=0. 0 c’est justement le moment où ça change de signe.
Voilà, donc j’espère que tu as compris cet exercice. C’est vraiment un exercice de base qui te permet d’étudier le signe d’une fonction affine.