2nde Signe d’une racine carrée
Comment étudier le signe d’une expression avec une racine carrée?
Bonjour à toi et bienvenue sur Star en Maths TV. Ici Romain, et aujourd’hui nous avons un exercice qui va aller très très vite, normalement, parce qu’il suffit d’étudier le signe de l’expression :
« Expression mathématique »
suivant les valeurs de x.
En effet, quand tu regardes cette expression, elle prend des valeurs différentes suivant x. Par exemple si x = 1, on a qu’à prendre un exemple :
« Calcul mathématique »
Donc tu obtiens une valeur qui vaut 2. Et ça, on te demande bien d’en étudier le signe. Donc, le signe ici, le signe de 2 c’est positif. Donc ça, c’est supérieur à zéro. Donc maintenant si x prend une autre valeur, imaginons -1 :
« Calcul mathématique »
Donc la racine carrée de 4 ça donne toujours 2, et ça c’est toujours positif. Ok? Donc là tu vois on a pris deux exemples, et on a découvert que le résultat de l’expression était positif. Bon, alors à ton avis, maintenant que tu as pris quand même quelques valeurs d’exemples, est-ce que ça va nous aider pour trouver le signe de l’expression selon n’importe quelle valeur de x? Et en fait, prendre un exemple ne suffit pas en mathématiques.
Prendre un exemple peut justement te donner une idée, c’est vrai, mais ça ne fait pas office de démonstration. Tu es d’accord? Donc là, c’est vrai, on a trouvé que l’expression était positive pour deux cas, mais qui te dit que pour x = 1503, par exemple, qui te dit que cette expression sera toujours positive? Donc là, tu ne peux pas conclure et dire que mon expression est positive. En fait, ce qu’il faut dire, ce qu’il faut sortir comme argument, il faut regarder ton expression d’un petit peu plus près et tu remarques que c’est tout simplement une racine carrée de quelque chose. Et est-ce qu’un racine carrée de n’importe quel nombre n’est pas toujours positive?
Sachant que, en mathématiques il faut le rappeler, tu ne peux prendre la racine carrée que d’un nombre positif. Donc ici, ton x doit être supérieur à zéro. Et ça, ce n’est pas ça qu’on recherche. Alors voilà ici tu peux le vérifier très rapidement dans cette expression, ce qu’il y a en dessous de la racine carrée est toujours positif.
Et pourquoi c’est positif ce qu’il y a en dessous de la racine carrée? Parce que déjà x au carré est un carré. Et un carré tu sais que c’est toujours supérieur ou égal à zéro. Mais si tu prends un carré et que tu ajoutes 3, et bien c’est toujours supérieur ou égal à zéro aussi. Donc tout ça c’est bien supérieur ou égal à zéro.
Ça, ça ne répond pas à notre exercice, c’est juste pour dire que tu peux calculer la racine carrée de ça, c’est-à-dire que c’est calculable, donc que ça existe pour n’importe quelle valeur de x (x= -10000, x = -7, x =15…).
Maintenant, pour calculer le signe, ou plutôt connaître le signe de cette expression, il faut juste savoir qu’une racine carrée est toujours positive. Donc, c’est tout ce qu’il y a à savoir en fait dans cet exercice. Une racine carrée est toujours positive. C’est-à-dire que ici ce que j’avais commencé à écrire, la racine carrée d’un nombre – qui peut être calculée bien sûr, si ce nombre est positif – et bien tout ceci est toujours supérieur ou égal à zéro.
Voilà. Donc voilà comment on répond à cet exercice, vu que ton expression est la racine carrée de quelque chose alors le signe est positif ou nul.
Donc voilà le seul argument qu’il fallait utiliser dans cet exercice – rappelles-toi, je le répète – une racine carrée est toujours positive.
Est-ce qu’il existe d’autres résultats du même genre? Et bien oui tu en connais sûrement un, on l’a d’ailleurs mentionné dans cet exercice, tu sais qu’un carré, c’est toujours positif. Donc si tu prends n’importe quel nombre au carré, c’est forcément positif ou nul aussi.
Donc voilà déjà deux petites règles qu’il faut que tu connaisses pour étudier le signe d’expression. Une racine carrée est toujours positive – une racine carrée calculable, c’est-à-dire avec quelque chose de positif sous la racine carrée, parce que la racine carrée de -5, tu ne peux pas la calculer, donc ça c’est juste quelque chose qu’il faut dire – si ta racine carrée existe, elle est forcément positive. Deuxième règle, un carré est aussi positif. Voilà donc pour cet exercice très court et qui te fait un petit rappel sur le signe d’une racine carrée qui est toujours positif ou nul.
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