2nde Simplifier un vecteur
Comment simplifier un vecteur formé à partir des vecteurs unitaires d’un repère orthonormé (O ; i; j )?
Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv, dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons simplifier le vecteur 2(-3i+ j)-4i– j où les vecteurs i et j sont 2 vecteurs unitaires du repère orthonormé (O ; i; j )
Quand on défini un repère orthonormé, déjà ortho que je te le dise tout de suite ça veut dire orthogonal c’est-à-dire perpendiculaire donc un repère orthonormé c’est-à-dire un repère avec 2 axes qui sont perpendiculaire, l’axe x et l’axe y. Donc quand tu l’écris comme ceci : (O ; i; j ) et bien O c’est l’origine de ton repère c’est-à-dire le point d’intersection des 2 axes, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées et i et j, et bien i c’est le vecteur unitaire qui va dans le sens de ton axe des abscisses et dont la norme vaut 1 c’est en fait l’unité selon l’axe des abscisses mais c’est un vecteur et j c’est la même chose suivant l’axe des ordonnées, sa norme aussi vaut 1.
Donc là j’ai importé un repère orthonormé directement sur le tableau. Alors tu vois les 2 axes, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. En fait que sont les vecteurs i et j:
<Schéma maths>
Donc voilà ce que sont les 2 vecteurs i et j. Maintenant cherchons à simplifier notre vecteur on va le noter disons U.
<Formule maths>
Ce vecteur U on va pouvoir le simplifier par le calcul, tout simplement il va s’agir de développer ici, d’ajouter ensembles les vecteurs qui sont suivants le vecteur i et ensuite d’ajouter les vecteurs qui sont suivant le vecteur j:
<Formule maths>
Qu’est ce que c’est que ce vecteur U ? Comment le dessiner ? En fait tu peux tout à fait le dessiner sur ton repère orthonormé sachant que tu connais i et j donc tu vas pouvoir dessiner ton vecteur U.
Ton vecteur U est formé du sous-vecteur -10 i et -10 i c’est aussi un vecteur. Ça c’est un vecteur que l’on va dessiner en rose.
<Schéma maths>
Le vecteur U est aussi composé d’un autre sous vecteur que je vais représenter en vert qui est le vecteur j.
<Schéma maths>
Voilà comment on simplifie un vecteur qui est composé des vecteurs unitaires i et j. tu as vu que ce n’est pas forcement très compliqué il s’agit juste de regrouper tous les sous vecteurs qui s’expriment en fonction du i et de les ajouter ensembles, on a trouvé -10i, de regrouper tous les sous vecteurs qui s’expriment en fonction du petit vecteur j et de les ajouter. Et là on a trouvé j.
A la fin tu obtiens -10 i + j et tu ne peux pas simplifier au-delà et on peut le représenter sur un repère orthonormé c’est notre petit vecteur bleu ici, U.
Sinon une autre façon de faire très rapide, plutôt graphique, et bien c’est de remarquer que le vecteur U, il est formé en fait de 3 sous vecteurs :
<Schéma maths>
Voilà une autre façon de t’en sortir pour simplifier le vecteur U. une fois que tu l’as dessiné il est très facile de voir ses coordonnées :
<Schéma maths>
Voilà une autre façon, plutôt graphique celle là de simplifier le vecteur U. Au passage je t’ai parlé de coordonnées de vecteurs. En fait vu que i et j sont les vecteurs unitaires de ton repère orthonormé quand tu exprime un vecteur en fonction de ces petits vecteurs i et j tu vas en fait trouver les coordonnées de U. ici là coordonnée selon l’axe des x c’est -10 et la coordonnée selon l’axe des y, des ordonnées c’est 1.
