2nde Système d’équations à deux inconnues, combinaison

2nde Système d’équations à deux inconnues, combinaison

Comment résoudre un système d’équation à l’aide d’une combinaison de lignes ?

Bonjour et bienvenue sur starenmathstv, dans l’exercice d’aujourd’hui niveau seconde on va résoudre le système d’équations linéaires suivant à l’aide d’une combinaison de lignes. Alors normalement si tu as un peu d’expérience tu connais plusieurs méthodes pour résoudre un système d’équations linéaires alors ici c’est un système de 2 équations la 1ère équation aussi la 1ère ligne et la 2ème équation qu’on va appeler aussi 2ème ligne et dans ces 2 équations il y a aussi 2 inconnues qui sont tout simplement les inconnues x et y. alors je te rappelle que résoudre un système d’équations ça veut vraiment dire la même chose que résoudre une équation c’est-à-dire trouver les inconnues, c’est-à-dire chercher à savoir combien elle valent. A la fin on veut vraiment x= quelque chose et y =quelque chose, c’est ça qu’on veut à la fin.

Normalement si tu as un petit peu d’expérience tu sais qu’il y a 3 méthodes en fait pour résoudre un système s’équations linéaires alors il y a 2 méthodes par le calcul autrement dit 2 méthodes analytiques qui sont les méthodes par substitution de variables ou d’inconnues plutôt, par combinaison de lignes c’est vraiment celle qu’on va utiliser aujourd’hui et tu as une 3eme méthode qui est la méthode graphique. Ce n’est pas ce qu’on va voir aujourd’hui, aujourd’hui on va vraiment voir une méthode par le calcul et plus précisément la combinaison des lignes. Alors à quoi ça sert la combinaison de lignes ? Et bien ça va te permettre de te rapporter à une équation à une seule inconnue et une équation à une seule inconnue c’est très facile à résoudre, tu les résous depuis bien longtemps déjà c’est une équation du type, je dis n‘importe quoi :

< Formule mathématique >

Quand tu as une équation de ce type-là, il t’est très facile normalement de la résoudre, il t’est très facile de trouver le x et ici on va la faire très rapidement :

< Formule mathématique >

Bref, tout ceci ça n’a rien à voir avec notre système d’équations mais je te disais juste que les combinaisons de lignes ou la combinaison en fait de 2 équations à 2 inconnues te permets si elle est intelligemment faites de te ramener à une équation à 1 inconnue et ça tu sais résoudre. C’est beaucoup plus facile à résoudre que d’emblée comme ça, tout de suite trouver les solutions d’un système comme celui-ci, tu vois, donc c’est ce qu’on va appliquer.

Donc je viens de te donner l’objectif d’une combinaison de lignes, c’est-à-dire l’objectif qui est le suivant, obtenir une équation à une seule inconnue que tu sais bien résoudre. Maintenant qu’est ce que c’est qu’une combinaison de lignes ? Quelle est sa nature ? Et bien une combinaison de lignes et bien tu as 2 lignes, on va les numéroter :

< Formule mathématique >

Tu sais que tu as des égals, car chaque ligne est une équation, « equa » veut dire égalité c’est un préfixe qui veut dire égalité, que tu retrouves dans équilatéral par exemple pour un triangle, on a une égalité des longueurs des cotés. Chaque ligne correspond à une équation et donc en combinant les 2 lignes c’est-à-dire en ajoutant membre à membre les 2 lignes en les ayant multipliées chacune par un bon coefficient multiplicatif constant et bien tu vas pouvoir enlever l’unes des inconnues c’est-à-dire soit x soit y donc mathématiquement une combinaison de lignes ça va s’écrire de la façon suivante :

< Formule mathématique >

Quand tu ajoutes membre à membre tu obtiens une 3eme équation et cette 3eme équation c’est un terme est égal à un autre terme et normalement si tu as bien fait ta combinaison ça t’auras permis d’enlever une des inconnues soit le x, soit le y comme tu l’auras décidé. Donc maintenant essayons d’appliquer cette théorie sur la combinaison de lignes. Je viens de te dire ce qu’est une combinaison de lignes et maintenant on va voir comment l’appliquer à notre système.

Il va falloir enlever un inconnue alors il faut faire le choix d’une des inconnues peut importe en fait, tu peux choisir d’enlever l’inconnue x dans la 3eme équation que tu vas obtenir, à la combinaison. Soit tu peux enlever aussi l’inconnue y, donc la on va par exemple choisir d’enlever l’inconnue x. alors comment on va faire ? Et bien ce qu’on va faire c’est multiplier cette 1ère ligne par 1, c’est-à-dire qu’en fait on ne va pas la changer. Multiplier une première équation par le nombre 1 ça revient à multiplier le membre de gauche par 1 et le nombre de droite par 1. Il faut bien multiplier attention. Quand tu multiplies une ligne, qu’est ce que ça veut dire ? Ça veut dire multiplier chaque membre de l’équation, les 2 à gauche et à droite attention. La je multiplie par 1 c’est à en dire qu’en fait je ne la change pas, on va garder x/2+y/3=1. Maintenant dans la 1ère ligne tu as vu que on a x/2 et c’est le x qu’on veut enlever, ce sont les termes en x qu’on aimerait enlever puisque on aimerait enlever l’inconnue x on ne veut plus l’avoir dans la 2ème équation que l’on veut obtenir. Comment on va faire ? Ici tu as x/4. Comment on va enlever x/4 quand tu vas ajouter membre à membre, tu as un 1ère membre ici, à gauche, tu as un 2ème membre à gauche ici donc tu vas les ajouter tu vas obtenir un nouveau membre à gauche. Tu vas mettre égal et tu vas ajouter ces membres à droite ici et tu vas obtenir le membre à droite de la 3eme équation. Le membre à gauche, c’est-à-dire l’ajout de ces 2 là égal, l’ajout de ces 2 là. Comment faire pour quand tu vas ajouter x/2+y/3 à tout ceci multiplié par un bon coefficient. Comment faire pour enlever les x ? Ce qu’on va faire c’est multiplier par -2.

< Formule mathématique >

Regarde maintenant ce qui se passe au niveau des x. Tu vois la fraction-là on l’a pas simplifié parce que 4 c’est aussi 2 fois 2. Donc on va pouvoir barrer le 4, barré le 2 ici, et il va nous rester 2 ici. Tu vois qu’on a –x/2 et la 1ère ligne c’est x/2 est ce que tu vois que quand on va ajouter les 2 lignes membre à membre et bien x/2+y/3, -x/2+2y/6 qui est égal aussi à y/3 et bien les y vont s’enlever. Et bien voilà, c’est ça la magie de la combinaison de lignes, donc on va le faire. On va opérer la combinaison de ligne tout de suite, on va plus mettre une accolade on va directement écrire la ligne issue de la combinaison c’est-à-dire la 3eme équation issue de la combinaison. Donc c’est une opération d’addition membre à membre :

< Formule mathématique >

Voilà la 1ère inconnue. On a trouvé combien elle vaut. Bien sûr on n’a pas terminé la résolution du système puisqu’il nous faut aussi trouver x. résoudre le système c’est trouver toutes les inconnues, on a trouvé y il nous faut aussi trouver x pour ce faire tu reviens à l’une des 2 équations et tu choisis celle qui te parait le plus simple. Tu prends l’une des 2 équations et tu remplaces y par ce que tu as trouvé c’est-à-dire -9/2. Nous on va prendre la 1ère parce que c’est y/3 et y/3 c’est peut être plus simple que y/6 je pense. Donc nous on va prendre la 1ère et trouver x :

< Formule mathématique >

On a trouvé la solution de notre système x=5 et y=-9/2 c’est-à-dire -4,5. Voilà comment on a utilisé une combinaison de lignes pour résoudre ce système d’équations, de 2 équations donc à 2 inconnues. La combinaison de lignes que l’on a choisi, c’est-à-dire, laisser la 1ère ligne comme elle est et multiplier la 2ème équation par -2 et bien tu aurais pu faire tout autrement. Il y a plusieurs façons de faire à chaque fois pour résoudre un système, que ce soit par substitution, par combinaison, il y a pleins de façons de faire. Tu choisis celle qui te parait la plus simple. Par exemple, si on avait voulu, plutôt que d’enlever les x, enlever les y. Tu vois ici on a y/3 et ici on a –y/6 mais si on avait juste multiplié par, non pas par -2 la 2ème mais par 2, on aurait eu 2 fois tout ça égal 4 (2×-2) et 2 ×-y/6 ça fait -2y/3 et quand on aurait ajouté ce membre-là à ce membre-là on aurait y/3-y/3 les y ce seraient envolés. C’est notre façon de faire, c’est notre combinaison de lignes possible, c’est-à-dire laisser la première ligne fois 1 et multiplier la 2ème ligne par 2 à gauche et à droite. Donc voilà comment ça fonctionne une combinaison de lignes, dans ce système pour le résoudre auparavant on n’a pas à vérifier qu’il existait une solution mais tu peux le faire alors peut être que tu as appris une solution en cours qui est, qui consiste en fait à calculer le déterminant d’un système d’équation linéaires et le déterminant ici vaut 1/2 ×-6 ça fait donc -1/12-1/3×1/4 c’est-à-dire -1/12 encore une fois donc ça fait -2/12 à savoir -1/6, c’est différent de 0 ça veut dire qu’il y a une solution unique donc on aurait pu faire cette vérification au préalable, avant de commencer à vouloir résoudre ce système. Voilà comment on utilise une combinaison, donc premièrement à quoi ça sert ? En fait ça sert à se ramener à une équation à une inconnue, tu vois l’équation à une inconnue à laquelle on s’est ramené c’est celle-ci et comment on fait ? Et bien tu multiplies chaque ligne par un coefficient réel qui est souvent simple dans le système que tu vas rencontrer. Tu multiplies chaque ligne à gauche et à droite par un nombre réel ici 1 et -2 et ensuite tu ajoutes membre à membre voilà comment faire pour faire une combinaison de lignes