2nde Système d’équations à deux inconnues, substitution
Comment résoudre un système d’équation à 2 inconnues à l’aide d’une substitution ?
Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv, aujourd’hui nous allons résoudre l’exercice suivant, donc on doit résoudre le système d’équation à 2 inconnues suivant par une méthode de substitution, 1ère équation : 9x+y=5 et 2ème équation 9y+x=-5.
Un système d’équation je te rappelle que c’est 2 équations ou 2 ou 3 ou plus en fait ici on a un système qui comporte 2 équations, donc au moins 2 et chacune des équations comporte plusieurs inconnues, 1 ou plusieurs inconnues. Quand tu as 2 inconnues et 2 équations, généralement tu peux trouver les 2 inconnues puisque je te rappelle que résoudre une équation comme résoudre un système d’équations c’est en fait trouver les inconnues, c’est ça l’objectif. Donc une fois que tu as trouvé les inconnues tu as terminé l’exercice. Tu as résolu ton système d’équations. Ici nous avons 2 équations et 2 inconnues, les inconnues sont bien sûr x et y. Tu connais surement plusieurs méthodes pour résoudre un système d’équation. Il y a une méthode par substitution c’est celle qu’on va utiliser aujourd’hui, une méthode par combinaison de lignes je te l’as montrait dans une autre vidéo donc ces 2 méthodes là ce sont des méthodes par le calcul et sinon tu peux utiliser aussi une méthode graphique. Aujourd’hui nous allons résoudre ce système par substitution donc qu’est ce que ça veut dire la substitution, c’est un autre mot en français pour dire remplacement, remplacer. Donc ce que je vais faire dans cette exercice c’est que je vais te noter les étapes ici en noir à droite pour résoudre un système d’équations à l’aide d’une substitution. Donc la première étape déjà c’est de choisir une inconnue à exprimer en fonction des autres :
<Formule mathématique>
Concrètement cette 1ère étape ça veut dire que tu choisis une inconnue dans une équation et tu exprimes cette inconnue en fonction des autres. Exprimer en fonction des autres ça veut dire si je choisi la première équation et en particulier la 1ère inconnue y et bien je l’exprime en fonction de x c’est-à-dire l’autre inconnue :
<Formule mathématique>
Avoir fait cette opération c’est avoir exprimé y en fonction de l’autre inconnue qui est x donc ça c’est la 1ère étape pour faire une substitution, pour résoudre plutôt un système d’équations à l’aide d’une substitution donc une fois que tu as exprimé l’une des inconnues. On aurait tout aussi bien pu exprimer x en fonction de y mais là on a choisi y parce que y est déjà tout seul, il n’y a pas de coefficient en face de y. Donc on a choisi l’inconnue y, 1ère étape tu peux choisir une autre inconnue, on aurait pu choisir x. Une fois que tu as exprimé l’unes des inconnues donc ici y en fonction de l’autre et bien tu vas remplacer dans la 2ème ligne dans l’autre équation, dans les autres équations si tu as un système de plus de 2 équations. Tu vas remplacer l’inconnue des autre lignes par ce que tu viens d’exprimer ça veut dire que le y on va le remplacer par 5-9x puisque il y a égalité.
La 2ème étape c’était d’exprimer l’inconnue choisie, et enfin la 3eme étape c’est de remplacer ce que tu as obtenu comme expression dans les autres équations. La 3eme étape va permettre d’obtenir une 2ème équation, quand je dis dans les autres équations c’est dans un système de plus de 2 équations. Ici c’est juste dans l’autre équation, dans la 2ème équation. On va remplacer le y par 5-9x dans les 2 eme équations, c’est ça la 3eme étape.
<Formule mathématique>
Si tu regardes bien on obtient une équation à une seule inconnue et c’était ça l’objectif d’une substitution. D’ailleurs c’est le même objectif quand tu résous un système d’équations à l’aide d’une combinaison de lignes. A chaque fois que tu veux résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues il faut te ramener à une équation à une seule inconnue parce qu’une équation à une seule inconnue c’est facile à résoudre. Une équation du type ax+b=c tu peux trouver le x en fonction des réels a, b et c. C’est très facile c’est ce que tu fais déjà depuis de nombreuses années. Ici c’est ce qu’on va faire :
<Formule mathématique>
Là on y est presque, on a presque isolé x, il faut qu’on avance encore un petit peu parce que là il y a 80 devant le x donc si je divise ici à gauche et à droite par 80 regarde ce qui se passe :
<Formule mathématique>
Les 80 s’annulent et il nous reste x.
Ça y est on obtient la 1ère inconnue x=5/8 donc c’est un nombre entre 0 et 1, on ne va pas l’exprimer sous forme décimale. Ce n’est pas utile il vaut mieux le garder sous forme de fraction.
<Formule mathématique>
Résoudre le système c’est trouver les 2 inconnues parce qu’il y a aussi l’inconnue y et donc vu qu’on a trouvé l’inconnue x et bien en utilisant cette équation ou l’une des 2 en fait, celle que tu veux, tu vas pouvoir trouver y parce que on connait x. Ici si tu prends cette équation qui est en fait une forme transformée de cette 1ère équation on obtient y=5-9x et x c’est 5/8 donc tu peux remplacer dans cette équation x par 5/8 donc regarde :
<Formule mathématique>
L’opération qui est prioritaire dans tout ceci c’est le « fois ». Il est prioritaire sur le plus ou le moins. Donc 9×5/8 ça fait 45/8 donc on obtient 5-45/8. Pour ajouter ces 2 nombres ou les retrancher ici plutôt il faut mettre 5 sur le même dénominateur que la fraction et le dénominateur c’est 8 donc mettre 5 sur 8 il suffit de multiplier 5 par 8 :
<Formule mathématique>
Voilà tu as résolu ton système de 2 équations à 2 inconnues. Tu vois qu’on obtient une solution qui est le couple formé par les 2 nombres x=5/8 et de l’autre côté le y=-5/8. On met souvent le couple sous cet ordre là. D’abord le x et ensuite le y.
Je résume, 1ère chose à faire tu choisis une inconnue à exprimer en fonction des autres. Ici on aurait pu tout aussi bien toujours procéder par substitution mais plutôt que d’exprimer y on aurait pu exprimer x. ça aurait été une autre possibilité. Tu exprimes x en fonction des autres inconnues ça veut dire tu obtiens x= ou plutôt ici ce qu’on a fait tu obtiens y= donc tu fais vraiment cette opération d’expression d’une inconnue en fonction des autres et troisièmement, tu substitues ce que tu as trouvé dans une autre équation. Il faut vraiment que ce soit une autre équation tu ne vas pas bien sûr utiliser cette expression dans la 1ère équation puisque tu vas retomber sur tes pattes, ça ne sert à rien.il faut bien sûr l’utiliser dans une autre équation, le autre ici est très important.
Une fois la 3eme étape effectué, ce que tu vas obtenir c’est une équation comme ici à une seule inconnue et ça tu sais résoudre depuis longtemps, c’est facile à résoudre. Résoudre une équation à une seule inconnue, comme d’habitude c’est isoler l’inconnue c’est-à-dire d’obtenir l’inconnue toute seule égale quelque chose et c’est ce qu’on a fait ici si tu regardes, on avait une équation à une seule inconnue on avait que tu x dedans et on a obtenu à la fin x=. Donc est ce que tu as compris comment on résous un système d’équations par substitution ? Cette méthode elle aussi tout à fait utilisable pour des systèmes à 3 équations à 4 équations ou à plus. Donc remémore toi cette façon de faire déjà tu choisis une inconnue à exprimer, tu l’exprimes en fonction des autres inconnues et tu remplaces ceci, cette expression trouvée pour cette inconnue là dans les autres équations et tu vas voir que ça va simplifier ton système. Si ton système ne comporte que 2 équations tu vas obtenir une équation à une seule inconnue facile à résoudre, ça va être direct vers la solution et si ton système initial comporte 3 lignes ou plus et bien tu vas te ramener en faisant cette opération à un système à 2 équations donc déjà tu vas réduire à 2 équations et à 2 inconnue pardon, donc déjà tu vas réduire le nombre d’inconnue, tu vas passer de 3 à 2 ce qui est plus simple comme problème à résoudre.
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