2nde Système de deux équations à deux inconnues

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Résoudre un système d’équations linéaires à 2 inconnues.

Bonjour, ici Romain Carpentier, bienvenue sur Star en Maths TV. Dans l’exercice d’aujourd’hui, niveau seconde, on doit résoudre le système d’équations linéaires à 2 inconnues.

<Formule maths>

Les inconnues sont bien sûr x et y. Alors nous allons dans un premier temps résoudre l’équation analytiquement. C’est-à-dire par le calcul. Ensuite je te montrerai sur la calculatrice ce que ça signifie graphiquement. En fait ce sera une façon de résoudre graphiquement ce système d’équations.

Tu sais qu’il y a 2 méthodes de résolution de système d’équations à 2 inconnues et ces 2 méthodes c’est la substitution, c’est-à-dire en fait le remplacement dans la 2eme ligne donc du y par ce que vaut y d’après la première ligne. Ensuite il y a la 2ème méthode qui est la combinaison de ligne qui sert à ajouter des lignes par exemple, à retrancher des lignes ou à multiplier par 2 une ligne, par -1 la première ligne, d’ajouter les résultats. C’est ce qu’on appelle une combinaison de façon à obtenir une seule équation à une seule inconnue et ça c’est facile à résoudre. Les 2 méthodes de résolution, en fait, à chaque fois vont te servir à te ramener à une équation à une seule inconnue. Voyons tout de suite ce que ça peut donner :

<Formule maths>

Résoudre un système d’équation, ça revient à trouver les inconnues c’est-à-dire obtenir x égal quelque chose et y égal quelque chose.

<Formule maths>

Les solutions, ce sont un ensemble – en mathématique un ensemble on le marque toujours entre accolades et c’est un ensemble de un seul élément.

<Formule maths>

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Maintenant je t’avais dit qu’il y avait une 2ème méthode pour résoudre un système d’équation à 2 inconnues et cette 2ème méthode c’est la combinaison de lignes. La combinaison de lignes, on va l’appliquer tout de suite. En fait tu choisis selon ton humeur du moment ou selon ce qui est plus facile, selon ce qui te semble le plus facile entre la substitution d’une variable dans l’autre ligne ou la combinaison des 2 lignes. Tu vas choisir l’une des 2 méthodes. À chaque fois que tu tombes sur un système tu choisis l’une d’entre elle. Tu peux par exemple commencer par une substitution, trouver les solutions et vérifier rapidement par une combinaison, c’est une façon de faire aussi.

<Formule mathématique>

Alors quel est l’objectif d’une combinaison de lignes ? En fait il est un peu le même que pour une substitution c’est d’obtenir une équation, donc l’une des 2 lignes par exemple mais avec une seule inconnue. Alors comment on va faire ça ?

<Formule mathématique>

Maintenant, qu’est ce qui se passe si tu ajoutes membre à membre les 2 lignes que l’on obtient. Si tu ajoutes les membres de gauche et tu fais égal et tu ajoutes les membres de droite.

<Formule mathématique>

C’est comme si tu as 2 équations, une 1ère équation, une 2ème équation mais j’ai le droit d’ajouter les 2 membres et de garder l’égalité, les 2 termes membre à membre et de garder l’égalité c’est exactement ce qu’on fait ici.

<Formule mathématique>

Là on a une équation très simple à une seule inconnue qui est y. Je reviens un petit peu en arrière. Pourquoi on avait multiplié la 2eme ligne par -8 et bien de façon à obtenir 8x et dès que tu as 2 termes en commun avec la même inconnue comme ça, x, donc 8x en haut et -8x en dessous et bien quand tu ajoutes et bien ça s’annule donc ça te permets d’enlever les x. ça te permet en fait d’obtenir une 3eme ligne en quelque sorte qui est l’ajout, la combinaison des 2 lignes par simple ajout, par simple addition membre à membre, attention et d’avoir une équation à une seule inconnue. Ça c’est facile à résoudre et d’ailleurs ça ressemble étrangement à une équation qu’on avait trouvé une petit peu tout à l’heure :

<Formule mathématique>

Quand tu as un seul moins dans une fraction tu peux le balader au numérateur ou au niveau du trait de fraction ce qui fait qu’il est devant la fraction ou au dénominateur, c’est pareil.

Donc voilà, on a trouvé notre y déjà à l’aide d’une combinaison de lignes et il faut remonter et trouver x maintenant donc ça va être simple on va prendre par exemple comme équation et bien par exemple cette 2ème ligne là et si tu prends cette 2ème ligne là on va obtenir :

<Formule mathématique>

On a trouvé nos solutions qui sont heureusement les mêmes que lorsqu’on a utilisé la méthode substitution donc x=4/7 et y= – 4/7.

Tu as compris la combinaison des lignes. Il y a plusieurs façons aussi de combiner les lignes. On aurait pu par exemple si on avait voulu garder les x et enlever les y. Plutôt que de multiplier la 2ème par -8 on aurait gardé cette 2ème ligne et on aurait multiplié la première par -8 ce qui fait que tu aurais eu un -8y qui se serait inséré ici et en ajoutant les 2 lignes et bien les y se seraient enlevés et donc il t’aurait resté des x et tu aurais obtenu une équation non pas avec des y mais avec des x. Tu aurais bien sur à la fin obtenu les mêmes solutions. Donc voilà comment résoudre un système d’équations grâce à une combinaison des 2 lignes.

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Maintenant, je t’avais dit aussi qu’on pouvait résoudre graphiquement un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues. Alors pourquoi linéaire ? Et bien tout simplement parce que c’est du type ax+by=c. Dit comme ça c’est peut être un petit peu compliquer mais en fait regarde : chacune des 2 équations c’est une équation de droite en fait et donc vu que c’est un équation de droite on va pouvoir résoudre graphiquement, c’est-à-dire à l’aide d’un dessin en fait le système d’équations, donc regarde :

<Formule mathématique>

La 2ème ligne correspond aussi à une équation de droite. Pourquoi ? Parce que je peux la mettre sous cette forme là y=ax+b.

<Formule mathématique>

Une fois que tu as déterminé les équations des 2 droites qui correspondent à chacune des 2 lignes et bien tu vas pouvoir les entrer dans ta calculatrice et tu vas voir que ces 2 droites puisque ce sont des équations de droites, ta calculatrice va tracer 2 droites et ces 2 droites vont se couper en 1 point. Si je note cette équation de droite correspondant à D2 :

<Formule mathématique>

La première a un coefficient directeur qui est -8 donc elle est décroissante également mais beaucoup plus et l’autre droite a un coefficient directeur de -1/8, c’est un petit nombre qui est négatif donc la droite est décroissante aussi mais décroit beaucoup moins vite quand tu lis le graphique de la gauche vers la droite, quand tu suis en fait l’axe des abscisses. Ça veux dire que ces 2 droites se croisent, elles se coupent, elles s’intersectent et le point t’intersection on va le voir tout de suite sur la calculatrice. Ce point d’intersection c’est le point solution du système d’équations. Alors pourquoi ? Et bien en fait parce que les x et les y qui satisfont les 2 équations ici ils satisfont les 2 équations ici parce que ces 2 équations ici et ici donc je les souligne :

<Schéma maths>

Ce sont les mêmes que celles-ci mais elles sont un peu transformées donc les x et les y qui satisfont ce système c’est-à-dire qui sont solution c’est ce qu’on cherche ils satisfont aussi ces 2 équations là mais ça c’est des équations de droite. Donc si x et y, le couple x et y satisfait cette équation et bien le point correspondant, le point en 2 dimensions situé quelque part dans ton plan il appartient à cette droite D1, il est sur la droite D1 mais si il satisfait aussi cette 2ème équation de droite D2 et bien il appartient à la droite D2 donc ça veut dire que ton couple xy il appartient aux 2 droites donc en fait le couple xy en gros qui satisfait ce système d’équation il est le point d’intersection des 2 droites D1 et D2 donc c’est ça que ça veut dire.

Par contre il y a des cas où ce système d’équation peut ne pas avoir de solutions ça t’es déjà arrivé d’étudier un système d’équations qui n’a pas de solutions et bien qu’est ce que ça veut dire graphiquement ? Ça veut dire que les 2 droites ici elles ne se croisent pas donc c’est beaucoup plus concret tu vois, quand on résout graphiquement c’est plus concret. Ce qui fait que ce système n’a pas de solution x et y quand les 2 droites ne se croisent pas, et bien qu’est ce que ça veut dire 2 droites qui ne se croisent pas ? ça veut dire 2 droites qui sont parallèles dans le plan. Sur ta feuille, tu places 2 droites qui sont parallèles elles ne vont jamais se croiser, ça tu es d’accord c’est d’ailleurs le propre des droites parallèles. 2 droites parallèles ça veut dire quoi ? Ça veut dire qu’elles ont le même coefficient directeur. Ici elles n’ont pas le même coefficient directeur donc on sait que nos 2 droites vont se croiser et que le système va donc avoir 1 solution. Un couple solution xy, un point solution si tu veux. Donc une façon de vérifier rapidement qu’un système a des solutions ou pas avant de s’engager dans la résolution. C’est-à-dire d’utiliser la substitution ou la combinaison tu peux vérifier en transformant les équations rapidement que ces équations de droites obtenues n’ont pas le même coefficient directeur ou bien elles ont le même coefficient directeur auquel cas et bien il n’y a pas de solution sauf si ce sont les 2 mêmes droites ou là il y a une infinité de solutions puisque les équations seraient les mêmes ou les droites n’ont pas le même coefficient directeur et là elles se croisent et le point de croisement et bien c’est le xy qui est solution du système. Donc regardons les solutions graphiquement tout de suite sur la calculatrice.

Donc tu vois que j’ai programmé les 2 droites d’équations dans la calculatrice. La 1ère qui correspondait à la droite D1 et bien son coefficient directeur c’est -8 et son ordonnée à l’origine c’est 4 et la 2ème droite dont l’équation était –x/8, -0,5. Tu vois que les 2 pentes ne sont pas les mêmes dans un cas c’est -8 dans l’autre cas c’est -1/8 donc forcement ces 2 droites vont se croiser. Regardons tout de suite : donc là la 1ère droite et ensuite la droite D2 tu vois que les 2 sont décroissantes. La 1ère est vraiment décroissante beaucoup plus que la 2ème parce que son coefficient directeur est beaucoup plus grand en valeur absolue en tout cas il vaut -8 alors que cette 2ème droite ici descend ici, elle est décroissante mais son coefficient directeur est de -1/8 qui est un petit nombre. Alors tu vois qu’elles se croisent en ce point là. Ce qu’on va faire c’est qu’on va essayer de s’en approcher de ce point et voir un petit peu combien sont ses coordonnées. Donc je place un zoom autour, 1ère droite, 2ème droite. Je vais me placer à peut près au point d’intersection qui est tu le vois ici. Donc en me plaçant sur le point d’intersection, je descends un petit peu. Regardons les coordonnées, on obtient x=0,57 et y=-0,57. En fait il se trouve que ce nombre c’est exactement x= 4/7 et y=-4/7. 4/7 en fait ça vaut 0,5719324766 ici on y est presque parce que la calculatrice n’est pas tout à fait précise quand je place la croix sur le point d’intersection. Donc voilà comment on trouve graphiquement les coordonnées du point d’intersection et ces coordonnées donc x=4/7 et y=-4/7 sont les solutions de notre système d’équation que l’on a résolu auparavant avec une méthode substitution et par une méthode de combinaison. Tu vois donc 2 façons en fait de résoudre un système d’équations donc analytiquement avec les calculs ou graphiquement, tu traces les 2 droites et tu regardes s’il y a un point d’intersection et s’il y a un point d’intersection et bien ce point d’intersection est en fait le point solution de ton système