2nde Système de deux inéquations à une inconnue

2nde Système de deux inéquations à une inconnue

Comment résoudre un système d’inéquations ?

Bonjour et bienvenue à toi sur Star en Maths TV. Alors dans cet exercice nous allons résoudre un système d’inéquations et ce système est le suivant :

<calcul mathématique>

Donc sachant qu’un système d’inéquations, quand on cherche à résoudre un système d’inéquations, on cherche en fait les x qui satisfont les 2 inéquations à la fois, en même temps.

Donc ce qu’il y a toujours de tacite dans un système d’inéquations, même d’équations c’est qu’en fait tu as un « et » entre les 2. Et ceci est important, c’est à dire que les x que l’on va chercher et bien ils devront satisfaire les 2 inéquations à la fois.

La première chose qu’on va faire déjà c’est de résoudre la première inéquation. Chercher les x qui satisfont la première inéquation en fait. C’est une inéquation double puisqu’il y a 2 nombres, donc -2≤2-x≤3,5 .

Donc, comment chercher les x qui satisfont cette première inéquation ? Et bien tout à fait comme quand tu cherches à résoudre une équation, sans inéquation donc on dit équation tu cherches à savoir à la fin x égal quelque chose. Et bien pour une inéquation c’est exactement la même chose, tu cherches à isoler x de telle façon à ce que tu ais x tout seul inférieur ou égal à quelque chose ou supérieur ou égal à quelque chose. Supérieur ou égal ou supérieur strict.

Et donc ici ce qu’on va essayer d’obtenir c’est x compris entre 2 nombres tout simplement. Puisque son inégalité qui est double. Donc on va essayer d’isoler x, c’est ça l’objectif. Donc puisque nous allons résoudre la première inéquation et bien j’ai mis un premier point.

<calcul mathématique>

Tu sais qu’une double inégalité comme ça, je peux retrancher 2 à gauche, à droite et au milieu. Partout en fait. Et pourquoi je veux retrancher 2 ? Pour tout simplement enlever ce 2 qui est là.

<calcul mathématique>

On y est presque arrivé, on a presque trouvé x compris entre 2 nombres. Mais non pour le moment on a –x. Donc comment enlever là ce moins pour que x soit tout seul ? Et bien il faut multiplier partout par -1. Sauf que quand on multiplie une inégalité ou une inégalité double ici par un nombre qui est négatif et bien, bien sur ça change le sens des inégalités.

<calcul mathématique>

Donc ça, tous les x compris entre -1,5 et 4 à savoir -1,5 lui même, -1, -0,5, 0, 1, 2, 1,3. Tous ces nombres là satisfont cette première inéquation. Donc maintenant ce qu’il faut c’est trouver les x qui satisfont la deuxième et ensuite on va fusionner.

<calcul mathématique>

Multiplier par un nombre positif qui est 1,5 ou diviser par un nombre positif qui serait 2 et bien ça ne change pas le sens des inégalités. Donc c’est ce qu’on va faire.

<calcul mathématique>

Comment trouver, en fait, l’intersection de ces 2 intervalles représentés par cette inéquation ici et cette inéquation là ? Moi je te recommande de faire un petit schéma. Un petit schéma qui s’appuie en fait sur un axe.

<calcul mathématique>

Sauf que nous on cherche l’intersection de ces 2 intervalles parce que les x doivent satisfaire les 2 inéquations. Ces 2 là en fait, les 2 inéquations encadrées en rouge à la fois. Donc les 2 x qui conviennent, ces les x qui sont à la fois dans l’intervalle vert et dans l’intervalle mauve donc c’est pas ceux là.

<Schéma mathématique>

Et donc on obtient comme solution un intervalle et l’intersection des intervalles verts et mauves et cette solution je vais la noter comme ceci :

<calcul mathématique>

Donc quand tu as un système d’inéquation à 1 inconnue et bien ce que tu fais, tu résous chaque inéquation. Là ‘ai fait un premier point pour résoudre la première après un deuxième point pour résoudre la deuxième inéquation et tu vas obtenir 2 intervalles. Ensuite il faut prendre l’intersection de ces 2 intervalles ce qui signifie en fait qu’il faut prendre x qui satisfont les 2 inéquations, qui font partie des 2 intervalles à la fois. Voilà ce qu’on a fait dans cet exercice.