2nde Système d’inéquations à une inconnue



2nde Système d’inéquations

Comment résoudre un système d’inéquations à une seule inconnue?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui l’exercice nous propose de résoudre le système d’inéquations suivant:

<calcul mathématique>

Alors, la première question à se poser c’est qu’est ce que c’est que résoudre une inéquation déjà sans parler de système d’inéquation?

Alors résoudre une inéquation avec une inconnue dans l’inéquation qu’on note x et bien ça veut dire trouver tous les x qui satisfont l’inéquation. Par exemple :

<calcul mathématique>

Résoudre cette petite inéquation ça veut dire que je dois chercher tous les x qui satisfont cette inéquation. Et comment trouver tous les x qui satisfont cette inéquation ? Ici, cette inéquation on peut la transformer. On peut passer par exemple le -1 de l’autre côté en ajoutant à gauche et à droite +1.

<calcul mathématique>

Parce que quand on ajoute à gauche et à droite d’une inéquation un nombre qu’il soit entier, positif, négatif, n’importe quel nombre, quand on ajoute un nombre à gauche et à droite ça ne change pas le sens de l’inégalité. Donc ici on va obtenir :

<calcul mathématique>

Alors x appartient à quel intervalle ? En fait ce sont des intervalles que l’on cherche.

<calcul mathématique>

Maintenant revenons à notre système d’inéquations. Donc nous si on veut résoudre ce système d’inéquations il faut qu’on trouve les x qui satisfont en même temps cette première inéquation et la deuxième. Souvent, tu verras que dans les systèmes le « et » on ne le mets pas mais ça veut dire que quand même il faut que le x satisfasse les 2 inéquations en même temps.

Donc déjà cherchons les x qui satisfont cette première inéquation.

<calcul mathématique>

Comment va-t-on diviser par 2 ? En fait on va multiplier par l’inverse de 2, c’est à dire ½. C’est la même chose de diviser par 2 ou de multiplier par ½. Quand tu multiplies par ½ ou que tu divises par 2 en fait tu multiplies ou tu divises par un nombre qui est positif.

<calcul mathématique>

Ça, c’est ce que nous dit la première inéquation mais ça ne suffit pas à résoudre l’exercice. Ça ne suffit pas à résoudre le système des 2 inéquations. Il faut aussi que x satisfasse la deuxième inéquation.

<calcul mathématique>

Ajouter ou soustraire à une inégalité ça ne change jamais son sens. C’est quand on divise ou multiplie qu’il faut regarder le signe du nombre parce que si le nombre par lequel on multiplie ou on divise est négatif, si le signe est -, alors il faut inverser le sens de l’inégalité. Ici ce n’est pas le cas.

<calcul mathématique>

Notre x il faut qu’il soit à la fois et c’est ça qui est important, il y a un « et ». x doit appartenir à 3/2 ; +∞ et -1 ; +∞

Ça ne peut pas être les 2 intervalles à la fois, on ne pourrait pas conclure comme ça. Et bien à quel intervalle il faut que x appartienne pour que x soit à la fois dans les 2 ? Et bien pour cela je vais te faire un petit dessin.

<Schéma mathématique>

C’est cela que ça veut dire résoudre une inéquation, c’est à dire obtenir tous les x qui satisfont ces 2 inéquations à la fois. Donc si je prends n’importe quel nombre dans cet intervalle et bien les 2 inéquations en même temps sont respectées.

Si je prends x=10 par exemple ça marcherait.

<calcul mathématique>