2nde Quelles techniques connais-tu pour développer une expression ?

Comment développer une expression algébrique avec des moins partout et sans te tromper surtout ?

Bonjour à toi et bienvenu sur Star en Maths TV, ici Romain. Alors dans l’exercice d’aujourd’hui, on va développer et réduire au maximum l’expression algébrique suivante qui est :
-(-4x-3)(-3/4-x)
Alors tu vois que dans cette expression algébrique il y a des moins partout, c’est fait exprès, c’est pour t’embêter un petit peu et pour que tu saches développer ce genre d’expression sans te tromper.
Je vais te montrer deux façons de développer et réduire au maximum cette expression algébrique.

Avant d’aborder ces deux façons de développer et réduire cette expression, je vais te rappeler ce que développer une expression.
En fait, développer, ça veut dire faire en sorte qu’à la fin il n’y ait plus du tout de parenthèse, c’est-à-dire faire des petits calculs et à la fin tu veux qu’il n’y ait plus du tout de parenthèses ou de crochets.
Donc c’est exactement ce qu’on va essayer d’obtenir à la fin. Ici tu vois qu’on a des parenthèses, qu’on aimerait, à la fin, enlever.
En effet, on a un produit de deux facteurs. Le premier facteur c’est -4x-3 et le deuxième facteur c’est -3/4-x. Sachant que devant tout ça on a aussi un – qui est en facteur.
Sachant que, rappelle-toi, un moins devant des parenthèses, ça peut être considéré comme étant -1 en facteur, -1 fois. Et quand on dit « en facteur de » ça veut dire multiplié en mathématiques. C’est comme si tu avais un signe fois.
Là on peut mettre un signe fois aussi si tu préfères. Voilà donc on a -1 en facteur de tout ceci, en facteur de tout cela.

Donc je vais te présenter une première façon de faire pour développer et réduire cette expression : la façon de faire « classique » de développer une expression.
Donc vu qu’on a un -1 devant, ce que je te propose de faire dans un premier temps, c’est de le garder, et on s’en occupera à la fin. Donc je vais remettre le moins. Je ne mets pas -1 fois, ce que je te disais c’est que moins devant des parenthèses, ça équivaut, c’est la même chose que -1 fois.
Mais je mets juste moins parce que c’est plus facile à écrire, et je vais mettre surtout des grandes parenthèses, des crochets, sachant que tu sais qu’en mathématiques les crochets et les parenthèses jouent le même rôle.
Et ici, ce qu’on va faire c’est développer (-4x-3) facteur de (-3/4-x). Voilà, je ferme le crochet et on va développer ce qu’il y a à l’intérieur du crochet de façon classique.

Qu’est-ce que j’entends par façon « classique », et bien tu prends ton premier terme dans ton facteur, sachant que tu as ici un premier facteur et ici un deuxième facteur. On parle de facteurs quand on a un produit. On parle de produit de deux facteurs et de sommes ou différences de termes.
Donc pour développer, il va s’agir de prendre le premier terme dans le premier facteur. Puisque tu vois que chaque facteur est en fait une différence de deux termes.
Et sache aussi qu’une différence c’est aussi une somme. Si tu as a-b, il suffit de changer -b en +(-b).
Donc là, c’est ce que je vais écrire tout de suite au-dessus, tu vas voir pourquoi ensuite, ça va être plus facile pour nous et ça va nous permettre de ne pas faire d’erreur.
Donc on va transformer -4x-3 en -4x+(-3). Alors bien sûr il faut mettre des parenthèses autour du -3 parce que 2 signes en mathématiques ne peuvent pas se suivre, ça ne veut rien dire. Donc il faut forcément mettre des parenthèses autour du -3.
Et comme ça on a transformé -4x-3 en ceci, qui est exactement la même chose mais qui est une somme. Et on va faire exactement la même chose ici : -3/4+(-x).

Et donc je te disais que maintenant on va appliquer la technique de développement « classique » qui consiste à prendre -4x, à le multiplier dans un premier temps par -3/4 et ensuite à le multiplier par -x.
Là on va le faire tout de suite. On va mettre en application ces deux flèches qui correspondent à des produits, et on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Et tu mets toujours un + entre les termes de ton développement. Et pourquoi tu peux tout le temps mettre un plus ? Et bien justement parce qu’on a transformé nos facteurs, qui étaient des différences, en des sommes. Tu vois, on n’a que des plus ici.
Donc ce sont ces plus là qui vont te permettre de mettre des plus ici. Ça c’est vraiment très très important, ça permet de ne pas faire d’erreur.
Bien sûr quand tu es un peu plus à l’aise quand tu développes des expressions algébriques, après tu peux t’en passer de ça. Tu n’es pas obligé de transformer tes différences ici en sommes. Mais, quand tu les as transformées en sommes, ça te permet de mettre à chaque fois un plus ici, comme on fait.
Maintenant on applique la deuxième flèche orange, donc on va avoir :
« Calcul mathématique »
Et derrière tu mets encore un plus, toujours entre les termes de ton développement, si bien sûr tu as fait cette transformation de différence en somme.

Et maintenant on va faire exactement la même chose mais avec ce terme ici, qui est -3. On ajoute 2 flèches. On va multiplier -3, dans un premier temps, avec le premier terme du 2ème facteur, qui est -3/4, et ensuite avec -x.
Je pense que tu comprends. On procède vraiment dans l’ordre. Et ici on obtient :
« Calcul mathématique »
Voilà, là tu as développé ton expression, sachant que j’ai oublié une chose très importante, c’est que j’ai oublié de mettre les crochets et le moins devant. C’est très important je le mets en rouge. Il ne faut pas l’oublier en cours de route.

Donc là, tu vois bien qu’on a développé mais on a toujours des parenthèses, donc il va falloir encore dans les crochets, simplifier, nettoyer les calculs.
Donc c’est ce qu’on va faire tout de suite et on va obtenir : je remets notre moins qu’il ne faut pas oublier en rouge et je mets les crochets.
tu vas voir on va s’occuper du moins à la fin, ce qui va être très simple. Il suffira de mettre l’opposé de chacun des termes que tu auras trouvés. Là, on continue, on fait un petit calcul :
« calcul mathématique »
Je te conseille d’entourer les termes dont tu t’es occupé, ou de les barrer au crayon à papier, ça te permet de te dire, c’est bon je me suis occupé de ce terme, je peux passer à la suite. C’est une petite astuce que je te donne comme ça en cours de route.

Donc maintenant, ce qu’il s’agit de faire pour enlever les crochets, parce que je te rappelle qu’on cherche à développer et à réduire.
Et développer ça veut dire enlever tous les crochets et toutes les parenthèses de ton calcul. Là il nous reste des crochets donc on va les enlever.
Et ce qu’il faut faire : je t’avais dit que le – c’est aussi -1 facteur de tout ça, donc c’est comme si tu allais prendre l’opposé de chaque terme ici et comme ça tu peux enlever les crochets.
Donc on prend l’opposé de chaque terme. Sache au passage qu’on peut quand même dire que 3x+3x ça fait 6x. Donc on peut prendre l’opposé de 6x. Et puis on va réordonner les termes, on va mettre d’abord les x au carré, puis les x et enfin les constantes. Donc on va avoir :
« Calcul mathématique »

Et voilà, tu as développé et réduit ton expression algébrique. Tu vois il n’y a plus de parenthèses ici. Et surtout on l’a fait de façon classique c’est-à-dire en utilisant les 2 flèches orange ici et les 2 flèches beiges.
Donc on a vraiment distribué chaque terme et on a obtenu plusieurs termes, sachant que chaque terme c’était des produits. Par exemple le premier terme ici c’était -4x facteur de -3/4.
Donc là, c’était vraiment la technique classique de développement. Donc bien sûr une fois que tu as tout ceci, il faut faire tes petits calculs quand même, annuler certaines choses, simplifier certaines choses, et à la fin, ordonner tes termes de façon à obtenir quelque chose de propre.
Voilà donc comment on a développé et réduit notre expression en utilisant la première façon qui est la façon « classique » de développer une expression.
Maintenant j’aimerais te montrer une deuxième façon de faire.

2nde
Quelles techniques connais-tu pour développer une expression ?
vidéo 2/2
2ème technique : reconnaître et utiliser une identité remarquable (élégant!… et plus rapide)

Voici donc la deuxième façon de développer et réduire cette expression algébrique, un petit peu plus astucieuse et élégante que la précédente.
Alors comment on va faire pour développer en utilisant cette astuce que je te donne ?
Alors en fait, il faut être un petit peu plus malin et remarquer que ces deux facteurs ici, puisque tu as bien deux facteurs dans cette expression : 1er facteur -4x-3, et deuxième facteur -3/4-x, et devant ces deux facteurs un moins.
Si tu regardes ces deux facteurs, tu remarques qu’ils sont presque les mêmes, à un facteur multiplicatif près, à un quotient multiplicatif près si tu veux.

Regardons d’un petit peu plus près, c’est notre deuxième façon de faire. Regardons d’un petit peu plus près nos deux facteurs et qu’est-ce qu’on remarque ?
Ici on a -4x, et ici, si tu veux on peut réordonner, on peut inverser les deux termes si tu veux. Donc je renote, on va avoir -x-3/4. Alors là, peut-être que tu remarques quelque chose en comparaison du premier facteur.
Si tu compares, on a -4x là et -x là. Et ici on a -3 et -3/4. Alors qu’est-ce que tu dirais si on factorisait ce premier facteur par exemple, par 4.
C’est ce que je te propose de faire tout de suite, on va factoriser ce premier facteur par 4 et on va obtenir : je garde bien sûr le – devant, ensuite je mets 4. Et ensuite, qu’est-ce qu’on va obtenir dans ces 2 premières parenthèses ?
Et bien vu que je factorise par 4, on peut enlever déjà le 4, donc il va nous rester -x. tu vois, quand je redéveloppe, on cache le moins, on va obtenir 4*(-x) donc -4x. Donc ça correspond.
Et ensuite, qu’est-ce qu’on va obtenir avec le -3 ? Et bien on va obtenir tout simplement -3/4 parce que quand tu redéveloppes, pour vérifier, tu vas obtenir 4*(-3/4), les 4 s’en vont, il reste -3.

Donc voilà, tu vois qu’en factorisant par 4 ce premier facteur là, et bien on obtient exactement le même facteur que le numéro 2. Tu vois, je vais le renoter, on a fois (-x-3/4).
Tu vois en fait il fallait juste remarquer que ces deux facteurs, c’était quasiment les mêmes, à un coefficient multiplicatif près, et ce coefficient multiplicatif c’est 4 ou 1/4 selon que tu considères que ce deuxième facteur c’est 1/4 de l’autre, ou ce premier facteur c’est 4 fois l’autre.
Donc là, on a fait apparaitre un 4 en factorisant par 4 ce premier facteur.

Très bien tu vas me dire mais, à quoi ça va nous servir ? Si tu regardes bien, ici tu as (-x-3/4) fois (-x-3/4). En mathématiques ça se note aussi (-x-3/4) au carré.
C’est ce qu’on va noter tout de suite et on va obtenir -4 facteur de (-x-3/4), le tout au carré. Et donc là qu’est-ce qu’on fait apparaitre ?
On fait apparaitre une identité remarquable du type (a-b) au carré. Sachant que le a ça va être -x. tu vois, c’est tout ce qu’il y a devant. Ça c’est petit a. Et le moins il est là. Et le b c’est 3/4. Tout ceci c’est (a-b) au carré.

Ça c’est la forme factorisée de cette identité remarquable-là. Et la forme développée, tu la connais. Et c’est ce qui va te permettre d’aller un petit peu plus vite.
C’est ça la clé de la deuxième façon de faire que je te propose. C’est que, vu que tu as reconnu une identité remarquable dans cette expression, et que tu connais l’expression développée de l’identité remarquable en question, et bien tu vas pouvoir développer et réduire l’expression beaucoup plus vite.
Puisque (a-b) au carré c’est aussi a carré moins 2ab plus b carré. Sachant que tu connais ton a et tu connais ton b. Donc tu vois, ça va aller assez vite maintenant.
Bien sûr il nous restera le -4 devant. Mais multiplier ensuite chaque terme par -4, ça se fera assez facilement.

Donc là, on développe notre identité remarquable et on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Il faut bien mettre (-x) le tout au carré, avec des parenthèses autour du -x parce que c’est tout a qui est au carré. Une erreur qu’il ne faut pas faire c’est mettre -x au carré parce que là, le carré il ne s’occupe que du x et pas du -x. Alors que nous, on veut que le carré s’occupe du -x totalement, qui correspond à notre a.
Tu vois, une fois que tu as bien identifié tes coefficients a et b dans ton identité remarquable, tu n’as plus du tout de question à te poser.
Je te conseille même plutôt que de les entourer comme ça, de les noter. C’est-à-dire, dans la marge tu dis : a=-x et b=3/4. Tu vois comme ça il n’y a plus matière à erreur. Là, en partant de ça, tu n’as plus qu’à appliquer cette égalité, cette forme développée de ton identité remarquable et juste remplacer a par -x et b par 3/4.
Une fois que tu as noté ça, tu es sûr. C’est vraiment une façon de ne pas faire d’erreur. On continue :
« Calcul mathématique »

Donc maintenant il va falloir nettoyer un petit peu les calculs dans ces crochets. Tu vas voir que ça va aller assez vite, et on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Voilà ce qu’il y a dans les crochets. Maintenant on va se débarrasser des crochets en multipliant chacun de ces 3 termes-là par ce qu’il y a devant, c’est-à-dire -4 et on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Et voilà comment on a développé notre expression plus rapidement, en utilisant cette identité remarquable que je t’ai rappelée ici en noir.
Tu vois, on retrouve exactement ce qu’on avait trouvé tout à l’heure. Heureusement d’ailleurs, mais c’est une façon un petit peu plus élégante de le faire parce que tu as reconnu une identité remarquable là-dedans.
Donc c’est un petit peu plus intelligent et ça te permet d’aller un petit peu plus vite.

J’espère que tu as compris ces deux façons de procéder pour développer et réduire cette expression algébrique, sachant que cette expression était un petit peu ennuyeuse parce qu’il y avait des moins partout.
Donc pour ne pas se tromper je t’ai donné quelques astuces et j’espère que tu les as retenues et que tu les appliqueras toi-même.
N’hésite jamais à aller très lentement dans tes petits calculs de mathématiques et fais attention aussi parce que quand tu vas plus lentement, tu notes plus de choses, c’est logique, fais attention quand tu reportes après un égal certains nombres, à ne pas te tromper.
Tu vois ici par exemple, j’ai reporté le -4, duquel on allait s’occuper plus tard. Tu vois on s’en est occupé à la fin mais tu vois entre les différents égal, j’ai du reporter le -4 plusieurs fois : ici, ici et ici.
Il ne faut pas se tromper, il ne faut pas qu’à un moment donné, par une petite erreur d’étourderie, tu oublies le moins devant le 4. Donc c’est vrai que plus tu vas lentement, moins tu as de chance de faire d’erreur mais il faut quand même faire attention aux erreurs de report qui sont souvent des erreurs d’étourderie : on oublie un moins, on se trompe de chiffre etc.

Voilà donc pour cet exercice de développement d’expression.