2nde Tracer une droite étant donnée son équation

Dans un repère orthonormé, dessiner la droite d’équation y = 2x+1

Qu’est-ce que ça fait, en fait, une fonction ?

Ça sert à transformer quelque chose, une opération par exemple.

Alors, ça c’est très bien, ça sert à transformer quelque chose, en fait, ça sert à transformer un nombre. En gros, une fonction, donc notre f en maths, donc, en entrée, tu prends un nombre, par exemple f(x), ça c’est un nombre. D’accord, x est un nombre, f(x), tout ça, c’est le nombre transformé. Et toi, dans le cadre d’une fonction affine, une fonction affine, plus particulièrement, c’est du type ax+b. Est-ce que ça te parle je te dis ça ?

Oui, c’est la formule qu’on a vue récemment.

D’accord. Alors, prenons un exemple très simple. On va prendre un exemple, on va prendre a=2 et b=1.Est-ce que tu peux me dire combien vaut f(x) du coup ? En prenant cet exemple-là.

3 non ?

Alors, tu vois, pour l’instant on n’a pas encore donné de valeur à x, x pour l’instant il reste x, c’est juste a, on a dit qu’il valait 2, parce que ça, c’est qu’on appelle la forme générale de la fonction. Tu vois, mais toi dans les exercices, tu ne la verras pas trop comme ça, tu la verras sous la forme, par exemple, comme ici, 2x+1. Tu vois je remplace juste le a par 2 et le b par 1. Tu me suis ? Donc, ça c’est l’exemple, f(x) = 2x+1. Donc ça, c’est une fonction affine. Ça c’est vraiment le genre de fonction que tu pourras retrouver dans un exercice demain par exemple. Et, est-ce que tu peux me dire combien ça vaut ici f(3) ?

Ça vaut 7.

Alors, c’est vrai, mais quelle est ta méthode pour trouver ça ? Qu’est-ce que tu utilises, qu’est-ce que tu as fait mentalement ?

J’ai remplacé x par trois, et j’ai multiplié 2×3 + 1.

Voilà, exactement. Alors pour le moment, c’est simple, mais c’est exactement ça qu’il faut faire. Ça veut dire, qu’en fait quand tu calcules f(3), tu ne fais que remplacer x par 3. Et là, ça te donne 7.

Est-ce que tu sais que d’une fonction affine tu peux tracer la courbe ?

Est-ce que tu peux toujours tracer la courbe d’une fonction ?

Oui, je sais que je n’ai pas trop compris comment on faisait pour ça.

D’accord, on va voir ça tout de suite. Donc là, je vais effacer, je vais juste effacer ça. On va reprendre, par exemple cette fonction : f(x) = 2x+1. Alors tu vois, dans un repère orthonormé, je vais l’amener tout de suite, tu es d’accord que l’axe des x, dessus on va placer les x, tout simplement. Tu es d’accord avec ça.

Tu as déjà placé des points en deux dimensions dans un repère orthonormé ? Par exemple, si je te demande de placer le point A de coordonnées (2,3), est-ce que tu saurais me le placer ?

Oui, il n’y a pas de problème sur ça.

D’accord, donc, en gros, comment tu ferais là ?

< Calcul mathématique>

Ça va, ça fait bien. Donc ça, c’est la bonne méthode. Comme ça, on a placé notre point. Super !

Et maintenant, comment on fait pour tracer la courbe de cette fonction ?

Sachant que, en fait c’est très simple. C’est un grand mot « courbe » mais pour une fonction affine, comme ici, je rappelle que c’est une fonction affine, et bien la courbe, c’est une droite.

C’est-à-dire que dans le repère orthonormé, on va juste tracer une droite. Mais comment je vais tracer cette droite ici ?

La droite correspondant à cette fonction f ? Tu ne vois pas trop ?

On va prendre une valeur au hasard, non ?

Oui, c’est très bien ! On prend une valeur au hasard de x. Donc en fait, premièrement, tu choisis un x. Alors tu choisis combien ? Une valeur simple.

2.

Oui, sachant que tu pourrais choisir, moi je te conseille toujours de choisir zéro ou un, tu vois ? Si tu veux, on va quand même choisir 2. C’est parti, x=2 et du coup combien vaut le y, parce que ça c’est y, combien vaut le f(x) en fait ? Alors, f(2) ça fait 5.

Et du coup, comment je place le point ici sur mon repère orthonormé ?

Ce point-là. Tu vois x=2 et le y=5. Au fait, très rapidement, est-ce que tu sais comment ça s’appelle la première coordonnée d’un point et la deuxième coordonnée d’un point. La première, comment elle s’appelle ?

x.

Oui c’est le x, mais ça a un autre nom aussi. Est-ce que ça te parle quand je dis abscisse ?

Et y l’ordonnée oui.

Voilà, x l’abscisse et ça c’est y l’ordonnée. Donc en gros, ici, c’est exactement ce qu’on vient de calculer. Ici tu avais choisi l’abscisse, et là, tu as calculé l’ordonnée, le f(x) en fait, le y. Et donc, comment tu places le point maintenant que tu as calculé ça ?

Il y en a un qu’on place en (2 ; 5).

Voilà, en fait il n’y en a qu’un de point. Je vais même enlever le A ici, en fait pourquoi tu dis qu’il y en a un. Il n’y a qu’un de point qu’on place, tout ça ce n’est qu’un seul point. Tu es d’accord avec ça ?

Je ne comprends pas vraiment comment on peut tracer une droite avec un seul point.

Voilà ! Ça c’est une très bonne question. Mais en fait on va en trouver un deuxième, juste après. Tu vois ce que je veux dire ? Donc, un seul point déjà (2 ; 5), je le place. On peut le noter par exemple p1, premier point. Ensuite, on va se refaire un deuxième. On va trouver un deuxième point de la droite, sachant que p1, on sait que c’est un point de la droite. Donc, je te laisse choisir, tu choisis un deuxième x. C’est parti. Donc 1, et donc du coup, combien vaut le f(1), donc x=1.

Ça fait 3.

Donc f(1) tu remplaces x par 1 ici, donc ça fait 2×1 +1 <Calcul mathématique>, donc pas de soucis. Donc là, (1 ; 3). Tu places le point et on va dire que c’est p2. Et là, on a notre droite, d’accord ? Parce qu’on a les deux points, donc ça, tu sauras faire maintenant.

Oui.

(Je ne la trace pas très bien, parce que je n’ai pas de règle). Voilà en gros la droite. Sachant que tu aurais pu choisir aussi x=0. Par exemple pour x=0 combien vaut le f(x).

1

Voilà, f(0) c’est 1 <Calcul mathématique>, ça veut dire que ce point-là appartient à la droite et c’est bien le cas. Tu vois, c’est une façon de vérifier si ta droite est bien tracée. Tu peux toujours choisir un troisième x, toujours très simple, recalculer le f de ce x là, comme on vient de le faire là, et puis voir si le point obtenu, c’est-à-dire (0 ; 1) appartient bien à ta droite. Ici, c’est le cas, tu as vu ? Ça marche.

Oui.

Pas de problème !