2nde Vecteurs Colinéaires
Dans ce cours de maths gratuit en vidéo, nous allons expliquer ce que sont que deux vecteurs colinéaires (la colinéarité de vecteurs), et quelles formules indiquent la colinéarité de 2 vecteurs ou comment démontrer que 2 vecteurs sont colinéaires en géométrie planaire.
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2nde – Vecteurs ColinéairesQue veut dire « vecteurs colinéaires » ?Quelles sont les formules à comprendre ?Déjà Loan, pour toi, avant même que je ne commence les explications, qu’est-ce que ça veut dire colinéaire pour deux vecteurs ? Ces deux vecteurs qui vont dans le même sens. Là, la droite qui les porte n’est pas la même, c’est vrai, mais par contre les deux droites qui portent chacun de ces deux vecteurs, sont parallèles. Donc, c’est vraiment la même direction, en gros la direction de chaque vecteur, ça va en haut à droite ou en bas à gauche. Donc, les deux vont en bas à gauche, sans parler de leur sens. Donc, leur sens après, ça donne : soit ça, soit l’autre sens. Je pense qu’on comprend bien ce qu’est la notion de sens, mais il ne faut pas confondre avec la notion de direction. La direction n’a pas de sens en fait. Ça peut aller par là, ou par là, mais c’est vraiment sur la droite. Ça va ? Tu me suis à peu près Loan ? Donc, après, deux vecteurs colinéaires, tout simplement ça veut dire que ce sont deux vecteurs qui ont en gros la même direction. Tu vois ? Est-ce que mes deux vecteurs rouges ici sont colinéaires ? Oui, tout à fait. Après, tu vois, ils sont sur deux droites qui sont différentes, parce que tu te souviens il y a une flèche. On va dire en gros, très rapidement : un vecteur c’est une flèche que je peux déplacer, que je peux prendre comme ça avec mes doigts que je déplace partout, mais, en translation. Donc, ça pourra rester cette flèche là, tu vois je me change ni la direction, ni la norme, ni le sens quand je bouge la flèche comme ça. Donc voilà, retenons bien que deux vecteurs colinéaires, ce sont deux vecteurs qui ont la même direction. Voilà, pas forcément le même sens. Ensuite, pour préciser un petit peu les choses, et bien, vu que des vecteurs, parfois quand tu en vois dans les figures géométriques, ça je pense que tu le savais, un parallélogramme, un triangle, etc. Donc, là, on va considérer les vecteurs au niveau vraiment géométrique parce qu’on n’a pas de coordonnées. Et là, comment tu vas prouver que deux vecteurs sont colinéaires ?Qu’est-ce que ça veut dire deux vecteurs colinéaires quand tu es en géométrie ? Quand tu n’as pas vraiment de coordonnées sous la main ? Eh bien en fait, deux vecteurs colinéaires savent tout simplement dire la chose suivante : tu considères les vecteurs, tu le notes u par exemple et v, eh bien si les deux vecteurs u et v sont colinéaires, on va dire ça comme ça < calcul mathématique>, la définition la plus précise que je te propose équivalent à celle-ci, en fait il existe un nombre k réel tel que le vecteur u = kv. Qu’est-ce que ça veut dire au niveau géométrique ?u = kv, prenons un petit exemple : j’ai mon vecteur u < figure> et maintenant imaginons que j’ai une constante, un réel qui vaut 2, ça va être mon k. Comment je vais tracer 2u comme vecteur ? N’importe où sur la figure, ou même en partant de ce point par exemple. Deux fois sa longueur. Oui, deux fois sa longueur, mais en gardant sa direction et en gardant le sens, tu es d’accord ? Donc là, j’ai un u. Il devrait y avoir un rapport entre les deux. Oui, c’est ça l’idée, mais alors pour préciser les choses, tu sais que tu ne peux pas diviser deux vecteurs. Là tu me parles de rapport, un rapport c’est une division et en fait, ce qu’on peut diviser, par contre ce sont des longueurs. Donc, effectivement, deux vecteurs colinéaires ça implique que leurs longueurs sont : la longueur de l’un est égal à k fois la longueur de l’autre. En gros, là, je reproduis encore un u, mais sans aller trop vite < figure>, le vecteur v là au total, c’est 2u, tu es d’accord ? Imaginons que tu notes ce vecteur vert là, 2u, tu le notes v. Donc, là tu as clairement v=2u. Donc, clairement, on voit bien qu’ils sont colinéaires ces deux vecteurs. Tu vois ? Donc voilà ce que ça représente, c’est ça que je voulais te dire, c’est que géométriquement, qu’est-ce que ça représente cette relation vectorielle <u=kv> c’est vraiment une relation vectorielle parce qu’on a des vecteurs à gauche, il y a des vecteurs à droite, eh bien ça représente ça, c’est-à-dire que tu as l’un des vecteurs qui vaut k fois l’autre. Tu vois ? Ça pourrait très bien être v : 1/k u, peu importe en fait. Peu importe la constante, on s’en fiche. On pourrait le noter k’ ça. Tu vois, tu parles d’un vecteur, et tu montes d’un niveau, par exemple 3 fois l’autre. Et là, tu as vraiment démontré que les deux vecteurs sont colinéaires. Et il ne faut pas le dire seulement au niveau des distances, il faut le prouver cette égalité. Par exemple, imaginons dans un exercice que tu ais, imaginons (je vais effacer cet exemple) un triangle ABC, et qu’est-ce que je peux faire. Tout simplement je me fiche du point C, mais là je mets I < figure>. Est-ce que AI et AB sont colinéaires ?Oui, mais alors maintenant comment tu me le prouverais ? En utilisant la relation vectorielle < calcul mathématique>, on pourrait dire que AB=2AI. 2IB ou 2AI, voilà tu as tout compris. Ça, c’est clairement une relation qui signifie la colinéarité entre deux vecteurs AB et AI. Tu comprends Loan ? Ça va ? Déjà, si tu a compris que la colinéarité se traduisait avec cette relation, cette égalité en fait, si tu trouves une seule constante, un seul réel k, tel que u=kv, eh bien ça y est, tu as prouvé que u et v sont colinéaires. Voilà comment tu fais dans les exercices. D’accord ? Non ça, c’est plutôt géométrique, tu vois. On est d’accord et de toute façon des vecteurs sont toujours géométriques, mais là ce que je veux dire en disant géométriques, c’est que c’est purement géométrique, on n’a pas vraiment de coordonnées ou de calcul en fait. Je ne t’ai pas encore montré la formule pour prouver que deux vecteurs sont colinéaires, la formule utilisant le calcul. Là, c’est vraiment une formule vectorielle. Donc là, on va passer au calcul. Et tu vas voir que la formule que je vais te donner au niveau du calcul, c’est exactement, elle provient en fait de cette relation que j’ai encadrée ici en noir. C’est presque la seule chose à retenir en fait. Donc, venant maintenant à la deuxième façon de montrer que deux vecteurs sont colinéaires, au niveau du calcul un petit peu. En gros, tu as les coordonnées. Et bien qu’est-ce que ça veut dire ? Imaginons maintenant que tu as u qui soit de coordonnées (je ne sais pas moi) u1, donc son abscisse on va dire, et u2 son ordonnée. Et pareil, v, on va le noter v1 et v2. Qu’est-ce que ça veut dire ? Comment on va traduire cette relation vectorielle en utilisant les coordonnées ?Que j’ai encadré en noir ici, il faudrait que tu la traduises en utilisant les coordonnées. Qu’est-ce qu’elle devient ? u1=kv1 u2=kv2 voilà, c’est bien. Tout simplement en fait, c’est-à-dire qu’en fait, c’est comme si on projetait cette unité vectorielle suivant les deux axes, l’axe des x en première ligne, l’axe des y en deuxième ligne. C’est vraiment souvent ce qu’on fait en physique. Vous verrez que pour simplifier, souvent en physique on a des lois vectorielles, et maintenant, une fois qu’on a écrit la loi vectorielle qu’en appliquer à notre exercice, eh bien pour simplifier notre problème, et pour trouver par exemple la trajectoire d’un point Et bien, on va vraiment projeter suivant chaque axe, en gros on va écrire la relation vectorielle suivant l’axe des x et suivant l’axe des y. Ça nous fournit deux relations, et en trois D, ça nous fournit trois relations, on a trois égalités. Tu vois, si tu prouves ça au niveau d’un exercice et que tu as par exemple les coordonnées de chacun de tes vecteurs u et v, et bien c’est gagné. Et en fait, tu vas voir qu’il y a une formule que tu connais qui provient de cette équation-là. Une formule que tu connais qui est : tu calcules < calcul mathématique>, et tu dois montrer que ça vaut zéro. Voilà, donc imaginons qu’on ait un vecteur qui sont de coordonnées (-4 ;2) et l’autre v qui sont de coordonnées (2 ;-1), est-ce que ces deux vecteurs sont colinéaires ? J’utilise la formule. Oui, celle-ci là, encadrée en noir ? Ou l’autre ? Celle que je viens d’effacer d’ailleurs ? Ok, donc plutôt celle-ci, donc u1= kv1 et u2 (donc l’ordonnée de u) = kv2. Et donc toi, tu aimerais montrer qu’il y a bel et bien une égalité et tu aimerais trouver le k surtout, et que ce soit le même dans les deux relations, c’est important, ici on a le même k, il ne faut pas que ce soit 1/3, puis 2/3, non, il faut que ce soit le même. Et donc, voilà, comment tu vas faire ici ? Et bien, je remplace, ça veut dire que ça ferait <Calcul mathématique> Alors combien te fournit la première ligne comme k ? Celle-ci là ? k=-2 Voilà, super ! Donc ça, c’est ce que fournit la première ligne et est-ce que c’est valable aussi pour la deuxième ligne ? Est-ce que c’est le même k que te fournit le deuxième ? Oui, parce qu’il suffit de multiplier par « -1 » à gauche et à droite, on enlève le « moins » ici, donc -2. Là ça marche. Tu vois, donc là, quel vecteur égal, combien fois l’autre ? En gros ton u, celui-là, il vaut combien fois v ? u = -2v Voilà, c’est bien Loan, et c’est tout. Dès lors que tu as écrit ça, et bien tu as montré, en ayant bien sûr trouvé le k par le calcul, et bien ça conclut que u et v sont colinéaires, voilà. Donc après, montrer que deux vecteurs sont colinéaires, ça a vraiment des utilités. Donc là, je t’ai montré deux façons de prouver que deux vecteurs sont colinéaires. Donc, en partant de cette relation vectorielle, u=kv, donc il suffit de trouver un k en fait, et ici en partant de, enfin en démontrant que suivant chaque axe, et bien u1=kv1, u2=kv2. Si tu as montré ça, tu as montré aussi que les deux vecteurs sont colinéaires, qui est équivalent je te rappelle à ceci : u1v2-u2v1 =0. En fait, tu prends les coordonnées de tes vecteurs et tu les croises, donc tu fais la multiplication. <Calcul mathématique> D’accord Loan ? C’est exactement la même chose qu’on a fait en résolvant ce petit système à une seule inconnue et avec k comme inconnue, après, je te disais que dans la vraie vie, deux vecteurs colinéaires, c’est utile de démontrer que deux vecteurs sont colinéaires. Par exemple si tu veux démontrer que trois points sont alignés, tu vois dans un exercice. Je ne sais pas, par exemple tu viens de faire une figure complexe, un petit peu. Donc tu as ton A, je ne sais pas, là, je n’ai pas vraiment d’exemple en tête, mais imaginons, tu as ton B ici, et là, tu as ton C, et tu ne sais pas, ils ne sont pas forcément sur la même droite dans l’énoncé de ton exercice. En fait, le C par exemple il est construit d’une façon un peu bizarre, qui fait qu’il se trouve là. Et toi, à la question 3 ou 4, on te demande de démontrer que A, B et C sont alignésÀ ton avis, quelle pourrait être une bonne façon de faire ? Oui, alors laquelle plus précisément ? Entre C et AB ? Voilà, c’est bien. <Calcul mathématique> Et si tu montres ça, et bien c’est gagné, parce qu’en fait, c’est exactement une traduction de cette question, en fait ce sont les deux mêmes questions. A, B et C sont alignés, c’est équivalent à dire AC et AB sont colinéaires comme vecteurs. Et souvent, en mathématiques, c’est vraiment ce qu’on fait dans les exercices, on a une question sous les yeux, donc on ne comprend pas directement, mais bon, on réfléchit un petit peu et on essaie de traduire ce que veulent dire chaque terme et quand on traduit ça, et bien on peut changer la question en une question qui est équivalente vraiment. Par exemple, alors là, c’est vraiment un exemple typique : montrer que A, B et C sont alignés, ça revient à montrer que AC et AB sont colinéaires. Ou on pourrait dire aussi : les deux vecteurs BC et AB ou BA ça marche aussi, on peut prendre n’importe lequel de ces vecteurs, par exemple, ce que je viens de dire BC et BA. Si tu montres Loan que ces deux vecteurs sont colinéaires, c’est pareil. Ça revient à démontrer que A, B et C sont alignés. Ok ? Oui. Voilà. |
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