2nde Vecteurs colinéaires, triangle quelconque

2nde Vecteurs colinéaires, triangle quelconque

Comment montrer que 2 vecteurs sont colinéaires ?

Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv, dans l’exercice d’aujourd’hui nous avons un triangle ABC qui est quelconque et on considère 2 vecteurs u=6AB-2AC+3BC et v=5AB+3AC–BC.

On te demande si uu et vsont colinéaires ? Il va falloir ce poser cette question là et d’abord ce qu’on va faire c’est un petit schéma. N’hésite jamais quand un exercice ne présente aucune figure, aucun schéma, à faire toi-même le schéma parce que ça te permet de bien te représenter les données de l’exercice et c’est souvent comme ça qu’on arrive à résoudre les choses. Donc là tu vois qu’on a ABC un triangle quelconque. L’idée c’est de placer A, B et C dans ton plan 2D, sur ta feuille de telle façon à ce que tu obtiennes un triangle quelconque, le plus quelconque possible et souvent ce n’est pas évident de faire un triangle quelconque il est souvent isocèle, rectangle. Donc là on va essayer.

<Schéma maths>

Une fois que tu as fait ta figure, en tout cas le début de ta figure, on va considérer les vecteurs u et v, alors le premier vecteur u est égal à 6AB-2AC+3BC. Alors tu vois quand même que les coefficients devant les vecteurs ABou même BCsont assez grands ici on a 6AB. Le vecteur en lui-même 6AB ne va pas forcement être facile à représenter puisque imaginons que tu partes de A :

<Schéma maths>

Là ce qu’on va faire c’est essayer de raisonner sans figure et essayer tout simplement de montrer directement que les vecteurs u et v sont colinéaires ou non, on va voir comment.

Donc comment faire pour montrer que 2 vecteurs sont colinéaires ? Et bien d’une façon générale, je te fais un rappel du cours, il faut montrer qu’il existe :

<Formule maths>

Si tu montres que le vecteur u est égal à kv, donc tu auras trouvé vraisemblablement le k, tu auras trouvé un nombre, peut être 1/3 peu être -5/2, j’en sais rien et bien tu auras démontré que u et v sont colinéaires. Ça marche aussi inversement c’est-à-dire que il peut exister un k’ de tel façon à ce que v s’exprime de cette façon donc qui est égal à k’u. Donc ça marche aussi dans les 2 sens. C’est juste que d’une façon générale si les vecteurs u et v sont colinéaires et bien il existe un k tel que u =kv ou il existe un autre k en fait c’est 1/k quelque part tel que v=k’u. Ça c’est un rappel de cours qui te parait peut être un peu abstrait mais ce qu’on va essayer de faire c’est de tout simplement exprimer u en fonction de v. Alors là quand tu regardes les 2 expressions des vecteurs u et v ça ne va pas te paraitre du tout simple d’exprimer u en fonction de v parce que la tu vois que u c’est 6AB-2AC+3BC, comment retrouver du v là dedans sachant que v c’est 5AB+3AC–BC. Bref ça va pas être évident là d’exprimer immédiatement u en fonction de v . en fait ce qu’on va faire dans un premier temps, ça va être la première étape : on va exprimer plus simplement les vecteurs u et v parce que là en regardant attentivement les expressions de u et de v on remarque qu’ils s’expriment en fonction de 3 vecteurs et ces 3 vecteurs sont les suivants :

<Formule maths>

Le problème c’est que BC s’exprime lui-même en fonction des vecteurs AB et BC. Donc l’idée va être dans une 1ere étape d’exprimer le vecteur u en fonction seulement de 2 vecteurs, le vecteur u et le vecteur v d’ailleurs en fonction seulement de 2 vecteurs sachant que là ils s’expriment en fonction de 3 vecteurs, AB, AC, et BC.. Vu que BC il s’exprime en fonction d’AC et d’AB, je vais mettre 2 flèches si tu veux :

<Schéma maths>

Donc on va le décomposer, en fait on va l’enlever. On va l’exprimer en fonction d’AB et d’AC. De cette façon u et v ne ‘s’exprimeront plus en fonction des vecteurs AB et AC. 2 vecteurs différents, et BC il n’y en aura plus dans les expressions de u et v. ça, ça va être la première étape et ensuite on va essayer de comparer les vecteurs u et les v obtenus et voir s’il y a une relation comme ça de colinéarité, une relation de proportionnalité quelque part :

<Schéma maths>

On a exprimé notre vecteur u juste en fonction de 2 vecteurs indépendants qui sont AB et AC, il n’y a plus de BC maintenant il n’y a plus ce 3BC là mais du coup les coefficients devant AB et BC ont changé ils sont devenus 3 et 1. Voilà l’expression de u, faisons la même chose pour v :

<Formule maths>

Voilà pour le vecteur v et là on va presque finir l’exercice parce que là on a l’expression de v, là on a l’expression de u . donc on va presque pouvoir les dessiner quelque part mais on va manquer peut être un petit peu de place.

<Schéma maths>

Qu’est ce qu’on remarque ? Si tu regardes le vecteur v d’un petit peu plus près c’est 6AB+2AC et on peut factoriser quelque part par 2 si on veut et si regardes bien il s’exprime en fonction de u . tu vois on va factoriser par 2.

<Formule maths>

Tu vois un peu comment on a cheminé. La comparaison des 2 vecteurs c’était la 2eme étape la 1ere étape étant d’avoir exprimé les vecteurs u et v en fonction des 2 vecteurs AB et AC parce que sachant que le vecteur BC c’était un faux vecteur quelque part parce que il s’exprimait en fonction de AB et de AC lui-même donc les 2 vecteurs AB et AC eux ils ne peuvent pas s’exprimer entre eux, ce sont vraiment 2 vecteurs différents mais le vecteur BC ce n’est pas un vecteur différent. C’est un vecteur qui s’exprime en fonction de ces 2 là. Donc il fallait absolument exprimer le vecteur BC en fonction de AB et de AC et de cette façon tu obtenais des expressions de u et de v que j’ai encadré en rouge ici et tu obtenais presque directement, on le voit à l’œil que v est égal à 2u tu vois on a 6AB ici mais 3AB là et on a 2AC là et AC là donc v =2u et ça veut dire justement que les vecteurs u et v sont colinéaires, on peut aussi le noter dans le sens inverse u =1/2v. Ça c’est aussi une relation typique de colinéarité c’est la même c’est juste que j’ai mis le 2 de l’autre coté. On n’a pas pu faire le dessin parce qu’on n’avait plus assez de place mais voilà l’idée comment on montre que 2 vecteurs qui s’expriment en fonction d’autres vecteurs sont colinéaires. La méthode c’est la suivante : il faut d’abord simplifier l’expression des 2 vecteurs dont tu souhaites montrer qu’ils sont colinéaires ou pas et donc les exprimer, quand je dis simplifier c’est les exprimer en fonction de vecteurs indépendants BC ici que j’ai barré n’était pas indépendant, il était dépendent des vecteur AB et AC et donc on a exprimé u et v en fonction de AB et AC et là tu peux enfin les comparer et montrer ou non qu’ils sont colinéaires