2nde Vecteurs colinéaires

2nde Vecteurs colinéaires

Quand tu as 2 vecteurs colinéaires, qu’est ce que ça veut dire ?

Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv, dans l’exercice d’aujourd’hui il va falloir que tu trouves la valeur de m tel que les vecteurs u(m-3 ; 1) et v(3m+1 ; 2) soient colinéaires.

1ere chose, qu’est ce que ça veut dire 2 vecteurs colinéaires. Concrètement tu sais qu’un vecteur ça peut se représenter par une flèche :

<Schéma maths>

Qu’est ce qu’un vecteur colinéaire à u et bien c’est par exemple un vecteur que l’on va noter v et qui à la même direction que le vecteur u, c’est-à-dire qu’il est porté par la même droite. Tu peux le représenter un peu partout sur ta feuille ce vecteur v mais si on le représente dans el prolongement de la direction de u :

<Schéma maths>

Voilà ce que ça veut dire que des vecteurs colinéaires, par exemple tu as mes doigts là, un vecteur colinéaire ce serait un vecteur qui suit mon doigt, qui n’a pas forcement la même longueur et le même sens mais tu vois ces 2 là seraient colinéaires.

Voila ce que c’est la colinéarité de 2 vecteurs. Maintenant ça se traduit aussi d’après le calcul puisque tu sais qu’un vecteur ça a des coordonnées et notamment dans l’exercice, les vecteurs u et v ont des coordonnées qu’on nous donne.

<Formule maths>

Qu’est ce que ça veut dire u et v sont colinéaires au niveau de leurs coordonnées ? Comment ça se traduit au niveau de leurs coordonnées ?ça veut dire qu’il existe un nombre K :

<Formule maths>

Voici un repère orthonormé formé des 2 axes, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées qui se coupent en l’origine ici :

<Schéma maths>

Tu vois qu’entre les coordonnées du vecteur u et du vecteur v il y a un rapport qui est de 2 :

<Schéma maths>

Quelque part, les coordonnées du vecteur v valent 2 fois celles du vecteur u donc ça veut dire que v et u sont colinéaires. On le voit bien sur ce schéma, u et v ont la même direction donc voilà comment ça se traduit au niveau des coordonnées. Voilà la propriété que nous allons utiliser pour signifier et traduire le fait que les vecteurs u et v sont colinéaires dans notre exercice.

Donc l’énoncé de l’exercice nous dit que u et v doivent être colinéaires

<Formule maths>

Donc tu obtiens ces 2 équations là sachant qu’on cherche m. Tu vois qu’on obtient 2 équations avec 2 inconnues qui sont m et k et tu vois tout de suite que la 2eme équation va te donner k puisque tu as 1=2×k. Donc en fait ce système à 2 inconnues est très simple à résoudre.

<Formule maths>

Tu sais que pour résoudre une équation à une inconnue, l’inconnu étant m il faut regrouper les m ensembles.

<Formule maths>

On a presque m égal quelque chose mais on a encore quelque chose devant le m.

<Formule maths>

Ça y est tu as trouvé la valeur de m ce qui fait qu’en fait les coordonnées de u :

<Formule maths>

Tu vois bien en fait que les coordonnées de v c’est égal à 2 fois celles de i. En fait on avait introduit k de telle sorte à ce que u=kv. Au niveau des coordonnées ça se vérifie, k étant égal à ½, on l’a trouvé par la suite.

Donc voilà pour les résultats de l’exercice. En fait ce qui est important dans cet exercice c’est l’idée de colinéarité de 2 vecteurs. 2 vecteurs colinéaires se sont 2 vecteurs qui ont la même direction. Ça c’est l’interprétation géométrique et au niveau des coordonnées c’est exactement ça que ça veut dire u=kv ou v est égal à un autre k, k ‘ si tu veux fois u. Donc en utilisant cette définition de la colinéarité, c’est-à-dire celle-ci sachant qu’on ne connaissait pas encore la valeur de k on savait juste qu’il existait et bien on a traduit le fait que les vecteurs u et v sont colinéaires et donc on a pu trouver en résolvant ce petit système d’équations donc 2 équations à 2 inconnues donc m et k, on a pu trouver le m que l’on cherchait. Ce qu’il faut retenir c’est l’idée de colinéarité des 2 vecteurs et ce que ça signifie au niveau des coordonnées c’est-à-dire que u=kv ou v=k’u