7 erreurs classiques corrigees – Maths lycée

Video 12: 7 erreurs classiques corrigees – Maths lycée – 1ère partie

Alors pourquoi ceci est une erreur? Et bien pour t’en convaincre, on va trouver un contre-exemple. Alors ce que je te proposes, c’est de prendre a=-2 et b=-1. Donc on bien a < b. D’accord?

Calculons au carré :

<calcul mathématique>

Donc ici on n’a pas :

<calcul mathématique>

Mais on a

<calcul mathématique>

En fait, ceci n’est vrai que lorsque a et b sont positifs, parce que regarde la fonction carré comment elle se comporte. Je trace rapidement l’axe des abscisses et l’axe des ordonnés – la fonction carré ressemble à ceci.

Bon, je ne l’ai pas très bien dessinée, mais l’intérêt est que lorsque on a des x négatifs, et bien la fonction carré est décroissante. Cela veut dire que si je prends un nombre A qui est inférieur à un nombre B, A carré, c’est là. Et ici, on a b carré.

Donc, si a est strictement inférieur à b, on a a carré qui est supérieur à b carré, lorsque a et b sont négatifs.

En revanche, quand a et b sont positifs, ça c’est vrai. Voilà donc l’erreur à ne pas commettre.

Pourquoi ceci est une erreur? Et bien parce que la somme des racines d’un polynôme du second degré avec a, b et c qui sont des nombres complexes quelconques n’est pas B sur A mais bien –B sur A.

Alors pour t’en convaincre, je vais prendre le cas particulier ou a, b et c sont réels. Je vais aller encore plus loin dans le cas particulier et supposer que delta est supérieur à zéro. Quand delta est supérieur à zéro, et bien tu sais qu’un polynôme du second degré a deux racines qui sont réelles et qui s’expriment de la façon suivante :

<calcul mathématique>

Donc si tu fais la somme des deux racines, et bien les racines de delta s’annulent et on obtient :

<calcul mathématique>

Et donc si on simplifie par deux et bien on obtient –B sur A. Donc cela était simplement pour te montrer dans ce cas particulier-là qu’on obtient bien que la somme des racines d’un polynôme du second degré est égale à –b sur a.

Cette formule-là vaut pour tous les polynômes du second degré avec a, b, et c qui sont des nombres complexes.

On a aussi une autre formule qui est très importante à connaître, et qui est le produit des deux racines qui est égale à c sur a. Donc c’est une deuxième formule à connaître et qui est importante.

Donc ce que tu peux faire si tu n’es plus sûr des formules, c’est de reprendre ce cas particulier à chaque fois. Tu prends A,B et C réels et Delta strictement supérieur à zéro, ce qui fait que tu as deux racines réelles dont tu connais bien les formules, et tu calcules la somme – à chaque fois tu tomberas sur –b sur a. Et le produit, il n’y a pas de moins, donc c’est un moyen mnémotechnique pour ce souvenir de ces deux formules-là.

Donc ceci est une erreur; en fait c’est une erreur subtile. Dans le cas où F est dérivable et croissante sur l’intervalle I, pour tout x appartenant à I :

<calcul mathématique>

Mais en fait il est supérieur ou égal. Alors il ne faut pas oublier le « ou égal ». Alors pour t’en convaincre, je vais choisir une fonction :

<calcul mathématique>

Voilà, donc dans notre cas, on a I = R plus. Donc, on fait un petit schéma, rapidement, pour bien visualiser la fonction – donc je ne traces que les x positifs.

La fonction, donc c’est la fonction au carré restreinte à R plus.

<schéma>

Donc si tu choisis X = 0, x appartient à I, puisque zéro est dans R plus. Et bien tu sais aussi que :

<calcul mathématique>

puisque quand tu dérives x au carré, et bien on obtient 2x. Donc,

<calcul mathématique>

Donc ça ne pouvait pas être strictement supérieur à zéro. Donc il ne faut pas oublier que la fonction que l’on a choisie, qui est croissante sur R plus et qui est dérivable, sa dérivée peut être nulle en un point de deux lignes et cette dérivée peut être nulle au point de zéro.

Alors ceci est une erreur parce que quand on étudie la fonction qui est :

<calcul mathématique>

et bien si on dérive

<calcul mathématique>

Cela vient du fait que lorsque l’on dérive la fonction

<calcul mathématique>

Donc ici u c’est cosinus, v c’est la fonction qui a x associé –x, donc la dérivée de la composée, u rond v, c’est égale à la dérivée de cosinus rond la fonction v, fois la dérivée de –x, c’est-à-dire moins 1.

Vidéo 13: 7 erreurs classiques corrigees – Maths lycée – 2nde partie

Bon alors voilà – je ne vais pas tant faire la démonstration ici, mais cette formule n’est pas exacte, parce qu’en réalité, il manque un +1 ici. En fait, la somme des termes d’une suite arithmétique, c’est égale au premier terme, ici K, plus le dernier, ici Un, multiplié par le nombre de termes. Donc le nombre de termes dans cette somme c’est :

<calcul mathématique>

Et c’est ceci qu’il ne faut pas oublier. Donc tu peux prendre l’exemple K=3 et N=7. Donc on a :

<calcul mathématique>

D’accord? Donc on a 5 termes. C’est-à-dire :

<calcul mathématique>

Alors non, cette formule n’est pas exacte. En fait, c’est égale à

<calcul mathématique>

C’est l’inverse! Alors, pour t’en convaincre, il suffit de tracer un triangle rectangle. Voilà, nous avons ici l’angle alpha et nous allons l’appeler le triangle ABC.

Tu sais que si le triangle ABC est rectangle en A, et bien tangente alpha est l’opposée sur l’adjacent. Ici, AC sur AB. Sinus alpha est égale à l’opposée (AC) sur l’hypoténuse, ici BC, et cosinus alpha est égale à l’adjacent (AB) sur l’hypoténuse (BC).

D’accord donc, tangente alpha, c’est égale à

<calcul mathématique>

Tout ça pour te dire que tangente alpha, c’est sinus alpha sur cosinus alpha, et donc pour t’en souvenir, il te suffit de tracer un triangle rectangle et de retrouver la formule en notant ces relations-là. Les relations sinus, cosinus et tangente, pour les retenir, moi j’ai le moyen mnémotechnique suivant, qui est CASOTO H H A. Cela fait des années que je le retiens comme ça, c’est tout simple. Cosinus égale l’adjacent sur l’hypoténuse, sinus égale l’opposée sur l’hypoténuse et tangente égale l’opposé sur l’adjacent.

Alors en fait c’est une erreur puisque quand on dit que G est le barycentre du point (A,1) et (B,2), et bien G n’est pas ici, mais G il est là. Alors pourquoi?

Et bien la relation que je te recommande de reconnaître pour le chapitre des barycentre et bien c’est celle-ci : pour tout point (A,a) et (B,b), et bien on a pour tout point M :

<calcul mathématique>

Donc c’est vraiment la formule que je te recommande de connaître, parce que comme ça tu peux remplacer M par tous les points que tu veux et tu y retrouves des relations plus simples que tu y retrouves dans ce chapitre. Donc, je vais l’encadrer en rouge pour te dire qu’il faut la connaître.

Revenons à nos moutons. Ici, on a petit A = 1 et petit B = 2. Si on remplace M par grand A.

<calcul mathématique>

Et nous, vu que l’on voulait placer le point AG, et bien on va choisir de placer le 3 de l’autre côté, c’est-à-dire de diviser à gauche et à droite par 3, et nous obtenons :

<calcul mathématique>

Et voilà. Donc, il suffit de diviser ton segment en 3, ce qui est déjà fait, et tu fais AG = 2/3. Voilà, donc on l’avait bien placé.

Alors maintenant, une façon intuitive de placer G quand on a (A,1) et (B,2), et bien pense que le point B est plus lourd que le point A. Donc si le point B est plus lourd que le point A, cela veut dire qu’il attire plus le point G – un peu comme les planètes. La planète la plus lourde crée une force de gravité qui est plus importante vers elle. Donc le point B, il attire plus G que A. Donc il faut toujours se souvenir que G sera plus près de B que de A dans ce cas-là.