Abscisse et ordonnée d’un point sur une courbe

Comment trouver un point d’une courbe quand tu connais son abscisse ou son ordonnée ?
Bonjour à toi. Ici Romain. Bienvenu sur star-en-maths.tv. J’espère que tu vas bien.
Alors dans l’exercice d’aujourd’hui nous avons une fonction f, ici en vert, qui est définie sur R par f(x)=-(x+1), le tout au carré plus 3. On dit que Cf est sa courbe représentative. On l’appelle souvent comme ça dans les exercices.
Et on a deux questions dans cet exercice : a et b. a : quel est le point d’abscisse 4 de la courbe de f donc Cf. Ensuite la deuxième question : Combien de points de la courbe Cf ont pour ordonnée 4 ?

Déjà, attelons-nous à la question a. Il faut bien lire la question et bien comprendre chaque mot en mathématiques, c’est important. Quel est LE point d’abscisse 4 de Cf, donc de la courbe de f ? Tu peux te dire ça dans ta tête : tu peux remplacer Cf par la courbe de f.
Là, tu as vu, j’ai bien accentué : LE point. Ça veut dire que souvent en mathématiques, la réponse est dans la question. Là tu ne cherches pas plusieurs points, tu cherches un point. Ça, c’est déjà une information importante que tu pourrais surligner dans la question. C’est ce qu’on va faire, on va le surligner en jaune. Tu cherches LE point, tu cherches un point, d’abscisse 4. Et ce point il sera sur Cf.
Je ne vais peut-être pas tout surligner mais on aurait envie de tout surligner puisqu’on a l’impression que toutes les informations sont importantes. C’est souvent le cas. Toutes les informations qui te semblent importantes dans un énoncé de mathématiques le sont et vont surement te servir pour résoudre la question.

Alors là, tu cherches LE point. Qu’est-ce que c’est que chercher un point ? En fait, tu cherches deux coordonnées, deux nombres réels qui correspondent aux coordonnées de ce point. Et une fois que tu as deux coordonnées, c’est-à-dire ce qu’on appelle l’abscisse, que l’on retrouve ici comme terme, et l’ordonnée, c’est-à-dire le y. L’abscisse c’est le x et l’ordonnée c’est le y.
Et bien dès que tu as ces deux coordonnées, tu peux placer le point dans le repère orthonormé. Ici donc tu cherches x et y mais tu connais déjà x, c’est 4. Donc ce que tu peux dire, c’est que dans cette question a, c’est que ton point P, il a déjà comme abscisse 4. C’est tout à fait naturel, on te le dit dans l’énoncé.
Alors maintenant, qu’est-ce que tu connais d’autre et qu’est-ce que tu cherches de ce point ? Qu’est-ce qui te manque ? Il te manque un y tout simplement. Il va te manquer ce qu’on appelle son ordonnée. Et qu’est-ce qui va te permettre de chercher l’ordonnée de ce point ?
Et bien ce point, qu’est-ce que tu connais sur lui ? Tu sais qu’il est d’abscisse 4. Ça nous l’avons déjà utilisé. Nous avons déjà utilisé cette information. Mais tu sais aussi qu’il est sur Cf. Donc on va quand même le surligner parce que c’est une information très importante. Tu sais que ce point, il n’est pas n’importe où sur ta feuille, dans ton repère orthonormé. IL est quand même sur la courbe de f.

Au passage, pour avoir une idée de la courbe de f, tu pourrais tout à fait la tracer sur ta calculatrice. Je t’encourage vraiment à aller dans le menu graphique et à dessiner cette fonction. Donc tu tapes exactement ça.
D’ailleurs ce serait intéressant que tu me dises, à ton avis, quelle est la nature de la courbe de cette fonction. À ton avis, c’est quel type de fonction ? Ça peut être intéressant avant de le tracer sur ta calculatrice pour ne pas être étonné du résultat et pour t’attendre à quelque chose.
Donc là, tu sais que ce point est sur la courbe de f. Donc qu’est-ce que ça veut dire finalement sur son ordonnée ?Et bien son ordonnée, forcément, s’il est d’abscisse 4, et bien c’est f(4) parce que n’importe quel point sur la courbe de f a pour coordonnées… (les coordonnées c’est l’abscisse et l’ordonnée, il ne faut pas confondre ordonnée et coordonnées).
Donc je vais le mettre ici en noir : les coordonnées d’un point de f, qu’on peut appeler par exemple P, un point sur Cf… Et bien il a deux coordonnées. La première ça va être un x et la deuxième c’est un y qui est égal à f(x). Donc ça, c’est ce qu’on appelle l’abscisse comme nous le disions, et ça, et bien c’est l’ordonnée de ton point P.
Et nous, nous cherchons ici l’ordonnée et vu que tu sais que ton point est sur la courbe, forcément l’ordonnée c’est le f de son x. Ici c’est f(4).

Donc il va falloir calculer f(4). Tu ne vas pas le laisser comme ça, tu vas le calculer vu que tu as l’expression de f(x). Donc tu vas remplacer x ici par 4 pour obtenir l’ordonnée, donc le y, de notre point.
C’est ce qu’on va faire et on va calculer f(4). C’est ce qu’on appelle aussi f(4), l’image de 4 par la fonction f. C’est l’ordonnée du point correspondant. Abscisse et ordonnée, ça correspond au point sur la courbe. C’est géométrique comme notion. Et image et antécédent, ce sont des notions qui sont plus liées au calcul. Donc là, f(4) c’est égal à : je remplace x par 4
« Calcul mathématique »
C’est très simple, tu n’as pas à utiliser l’identité remarquable parce que tu as un calcul sans lettre, donc il suffit de faire le calcul dans la parenthèse : 4+1 ça fait 5. Donc ça va te donner :
« Calcul mathématique »
Ici ce n’est pas -5, le tout au carré, c’est juste 5 qui est au carré, c’est pour ça que je voulais garder les parenthèses. C’est pour te montrer que c’est juste 5 qui est au carré. Le carré s’occupe juste de ce qui est en-dessous de lui, donc il s’occupe juste de ce qui est dans les parenthèses et pas du moins. Le moins il reste tranquille devant. Et donc ça fait :
« Calcul mathématique »
Et donc ça fait -22. Donc voilà l’ordonnée de ton point.

Donc finalement ton point c’est… C’est vraiment ça qu’il faut écrire et encadrer sur ta copie à la fin.
Quand tu cherches un point, ce sont les coordonnées du point. Donc tu cherches son x et son y et il faut présenter les résultats sous cette forme : (4;-22).
Et voilà donc le résultat, le point d’abscisse 4 de la courbe de f.
Tu as vu, ce n’est pas très compliqué. En résumé, quand tu connais l’abscisse d’un point, qui est sur une courbe, et bien son ordonnée, c’est forcément f de son abscisse, f(x).
Voilà un petit peu ce qu’est la définition d’un point sur une courbe.

Abscisse et ordonnée d’un point sur une courbe
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Attelons-nous maintenant à la deuxième question de cet exercice dans laquelle il va y avoir la notion d’ordonnée d’un point et donc là on te demande précisément dans la question b : Combien de point de la courbe de f ont pour ordonnée 4 ?
Alors il faut toujours bien lire la question pour savoir à la fin quelle nature à le résultat.
En effet, dans la première question tu te souviens, tu cherchais un point. Donc tu cherchais deux coordonnées, x et y, que tu mets entre parenthèses avec un point virgule, que tu mets à la fin. C’est ça la nature du résultat que tu dois écrire sur ta copie et encadrer à la fin.
Ici, dans la question b, tu ne cherches pas un point, tu cherches un nombre de point. Combien de points ? C’est ça qu’on te demande. Donc forcément à la fin ce sera 0, 1, 2 ou 3, un nombre entier en fait. Un nombre entier positif ou nul.
Ce sera ça la nature de ton résultat. Donc là, il ne faut pas chercher des points, tu vois il faut bien lire la question, c’est très important, pour savoir ce que tu cherches et ce qu’ils attendent comme résultat. Ça parait bête de dire ça mais c’est important. Il ne faut pas aller trop rapidement et te dire comme ça en lisant rapidement la question : bon là on cherche les points d’ordonnée 4 et puis c’est tout.
Si tu te dis ça, tu as trop simplifié la question et en fait, tu vas mal y répondre. Il faut bien lire la question pour savoir :1) ce que tu cherches et 2) réunir toutes les données qui vont te permettre de répondre à ce que tu cherches, de trouver ce que tu cherches.

Donc là, combien de points, donc on s’arrête là déjà : tu cherches un nombre entier positif ou nul, c’est ce que nous disions.
De la courbe de f : donc ce n’est pas n’importe quel point que tu cherches, ils sont sur la courbe de f. D’ailleurs j’ai laissé en noir la connaissance que tu dois avoir : tous les points d’une courbe d’une fonction, ont pour coordonnées un x, qui appartient à l’ensemble de définition (ici l’ensemble de définition c’est R donc ça peut être n’importe quel nombre réel comme abscisse) et l’ordonnée, forcément, du point de la courbe, ce sera f(x).
Bon très bien et tu cherches combien de points ont pour ordonnée 4. Alors s’ils ont pour ordonnée 4 et bien ça veut dire que le y vaut 4, tu vois, d’après ta connaissance.
Une fois que tu as marqué ceci sur ton brouillon ou que tu t’en souviens : c’est vraiment une connaissance qui revient très souvent qui est utilisée jusqu’en terminale et même après.
Et bien une fois que tu as compris ce qu’était l’abscisse et l’ordonnée d’un point et bien c’est parfait, tu vas pouvoir résoudre facilement cette question puisque là, tu sais que les points que tu vas considérer, tu vas surtout chercher leur nombre, ils ont pour ordonnée 4 et tu sais qu’ils sont sur la courbe de f.

Donc forcément y=4 et vu que le y il vaut f(x) pour ces points-là et bien pour la question b, l’équation qu’il faut résoudre ça va être : y=4. Si je traduis ça en français, c’est : l’ordonnée du point que je considère égal 4. Mais ce n’est pas la seule information puisque tu sais que les points sont sur la courbe de f. Donc forcément le y, tu peux le mettre en dessous, il vaut f(x).
Et donc une fois que tu as ça, tu peux aussi écrire f(x)=4. Bon voilà, tu as bien avancé et tu sais aussi que f(x), c’est aussi ça. Tu utilises, petit à petit toutes les données qui sont à ta disposition dans l’énoncé. Et donc f(x) c’est -(x+1)au carré +3, et tout ça, ça doit valoir 4.
Et ce que tu peux faire, tu peux essayer de développer ici à gauche, parce que ce qu’on essaie de faire maintenant, tu es face à une équation, et l’inconnue, c’est x. Et si tu trouves plusieurs x, ça veut dire que tu auras trouvé plusieurs points d’abscisse les x solutions que tu auras trouvées et d’ordonnée 4.
Donc combien de points il y a ? Et bien le nombre de solutions que tu vas trouver à cette équation. Si tu trouves une seule solution et bien il n’y aura qu’un point de la courbe de f qui a pour ordonnée 4. Si tu trouves 0 solution, c’est possible, et bien il n’y a aucun point de la courbe de f qui a pour ordonnée 4.

Donc là, regardons d’un petit peu plus près cette équation. Plutôt que de développer ici à gauche… ce n’est pas ce que je t’encourage à faire parce que tu vas obtenir un x au carré, parce que là, tu as une identité remarquable et tu vas obtenir un x au carré et un 2x. Et donc tu ne vas pas vraiment pouvoir isoler x, c’est-à-dire le mettre tout seul d’un côté pour pouvoir résoudre l’équation.
Dans une équation du premier degré que tu sais résoudre depuis le collège, souvent à la fin tu vas obtenir x égal quelque chose. Mais ici tu ne vas pas pouvoir obtenir ça parce que c’est ce qu’on appelle une équation du second degré.
Et en fait, ce qu’il faut voir ici c’est qu’en fait, tu as moins « un truc au carré ». Un truc au carré, c’est toujours positif, tu peux te dire ça dans ta tête, et ça doit valoir 4-3 parce que si je passe le 3 de l’autre côté : passer le 3 de l’autre côté ça veut dire en fait, faire -3 à gauche et à droite en même temps.
Tu vois j’ai le droit pour une équation d’ajouter -3 à gauche et à droite en même temps, ça ne change pas le fait qu’il y ait un égal. Et donc ça enlève le 3 ici à gauche parce que +3-3, les 3 s’en vont. Et donc tu obtiens 4-3 ici à droite. 4-3 = 1.

Donc rappelons-nous : (x+1) au carré, c’est positif. Et moins un nombre positif, c’est négatif. Et ça doit valoir 1. C’est bizarre quand même, un nombre négatif qui doit valoir 1. Et bien ce n’est pas possible
Donc ici, le nombre de solutions c’est 0. En fait, les solutions c’est l’ensemble vide, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de solutions. Donc S= ensemble vide, c’est comme ça que ça se note. C’est aussi, tu pourrais dire, une équation impossible.
Et donc ici, S= ensemble vide, il n’y a pas de solution à cette équation, ça veut dire qu’il n’y a aucun point de la courbe de f qui a pour ordonnée 4. IL n’y a aucun point, si tu remontes un petit peu… parce que toutes ces équations, ce sont la même équation : c’est pour ça que je mets le signe équivalent.
En fait si tu ne trouves pas de solution à cette dernière équation, ça veut dire que tu ne trouves aucune solution à cette première équation y=4 qui veut dire : les points d’ordonnées 4 et qui sont sur la courbe : y=f(x). Tu vois c’est comme ça que tu traduis les choses mathématiquement.

Donc au final, ce que je t’invite à faire, c’est à bien retenir ce qu’est l’abscisse d’un point, c’est son x, c’est la première coordonnée. Et l’ordonnée d’un point, c’est le y, c’est sa deuxième coordonnée.
Et il faut aussi bien savoir ce qu’est un point sur une courbe. Quand un point est sur une courbe, son abscisse c’est x et son ordonnée, c’est f(x).
Autre exemple très rapide : imaginons une fonction g(x)=2x-1. Ça c’est une fonction affine c’est-à-dire du type ax+b. Et quelle est la courbe de cette fonction ? Et bien c’est une droite. Et quel est le point d’abscisse, par exemple 3, appartenant à cette droite ?
Et bien c’est tout simple, tu mets (3;g(3)) : l’ordonnée c’est g(3) et tu le calcules : g(3)=5. ET voilà tu as trouvé le point d’abscisse 3, il est d’ordonnée 5. Il est de coordonnées (3;5). Donc tu vois : autre exemple très rapide pour une fonction affine.
C’est valable en fait pour toutes les fonctions : quand tu as un point sur la courbe d’une fonction et bien ses coordonnées sont forcément (x;f(x)).

Donc voilà pour les connaissances qu’il s’agit de retenir à la suite de cet exercice. Ce que je voulais aussi que tu vois à propos de cette fonction, c’est que c’est une fonction polynôme du second degré. En effet, tu peux tout à fait transformer l’expression de f(x) et développer ici.
Tu utilises l’identité remarquable et donc ça fait : « Calcul mathématique ».
Tu vas me dire : « C’est bien joli mais à quoi ça sert de faire ça ? » Et bien en fait, ici tu as un polynôme du second degré sous la forme développé, c’est-à-dire sous la forme ax carré +bx+c. peut-être que tu as déjà vu cette forme qui correspond à un polynôme du second degré. Ça s’appelle comme ça ce genre de fonction.
Et dans un repère orthonormé, qu’est-ce que ça donne comme courbe ? Ce n’est pas une droite, ça donne une parabole. Une parabole, c’est une sorte de montagne ou une sorte de bol. Tu peux le voir sur ta calculatrice en dessinant la courbe de cette fonction et c’est ce que je t’invite à faire.
Voilà donc pour cet exercice.