Barycentre 1ere s

Barycentre 1ere s

Bonjour à toi et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui nous allons résoudre un exercice sur les barycentres et nous avons quatre points qui sont A, B, C et D tels qu’ils satisfont cette relation vectorielle :

<calcul mathématique>

Et il faut exprimer le point A comme étant le barycentre des points B, C et D. Qu’est-ce que cela veux dire d’exprimer A comme étant le barycentre des trois autres points? Et bien ça veut dire trouver une relation telle que nous ayons :

<calcul mathématique>

Si on trouve une relation qui est de ce type-là, et bien on a gagné puisqu’on aura exprimé A comme étant le barycentre des points pondérés B, C et D. Le point B est pondéré de alpha, le point C est pondéré de beta et le point D est pondéré de gamma. Donc ce qu’il faut faire c’est de trouver une relation de ce type-là et trouver le alpha, le beta et le gamma. D’accord?

Donc petit rappel de cours…Ce que je te recommande de te souvenir de ton cours sur les barycentres n’est pas cette formule-là mais plutôt le cas général pour 3 points pondérés B, C et D :

<calcul mathématique>

D’accord? Et cette relation-là, elle est valable pour tout point M. Ça veut dire que si je remplaces M par le point G, et bien on obtient :

<calcul mathématique>

Ici le barycentre est nommé A, donc on a bien cette relation-là qu’il faut satisfaire.

Alors voilà, dans ton cours je te recommande de te souvenir de cette formule-là exclusivement, parce que c’est avec cette formule que tu peux retrouver toutes les autres puisqu’elle est valable pour tous les points M.

Pour avancer dans la résolution de cet exercice, et bien il faut exploiter cette relation vectorielle qui est :

<calcul mathématique>

et essayer de s’acheminer vers une relation vectorielle qui ressemble à ça. D’accord? Donc ce que l’on va faire apparaitre, c’est qu’on a déjà DA, ce qui veut dire que l’on a AD quelque part. Rappelles-toi que :

<calcul mathématique>

J’utilise la partie de droite du tableau pour faire quelques petits rappels. Alors ça c’est un rappel élémentaire quand même. Alors ici on obtient déjà un vecteur AD. Alors gardons ce vecteur-là de DA. Ensuite DC n’apparait pas dans la relation que l’on veut obtenir. Donc, on va essayer d’utiliser la relation de Chasles, qui est :

<calcul mathématique>

et de la même façon pour CB :

<calcul mathématique>

Donc c’est parti. On exprime cette relation vectorielle-là en utilisant ce que je viens d’écrire ici :

<calcul mathématique>

Alors c’est super si tu regardes bien, parce que là on obtient que des vecteurs avec des A. Et c’est bien puisque c’est ce que l’on veut obtenir, on veut que des vecteurs avec des A. Par contre, il faudrait réordonner cette équation un petit peu de façon à obtenir des vecteurs qui commencent par le point A et de façon à ce que l’égalité donne le vecteur nul.

Donc ce que je te propose de faire c’est de passer CA + AB de l’autre côté :

<calcul mathématique>

Voilà, donc maintenant nous allons ajouter les vecteurs qui sont les mêmes, c’est-à-dire si tu regardes bien :

<calcul mathématique>

Donc en fait on obtient bien une relation qui ressemble à celle-ci. Et avec Alpha = -1, Beta = 3 et Gamma = -4. Et il faut bien vérifier que Alpha + Beta + Gamma est différent de zéro, puisque c’est la condition pour que A comme barycentre de ces points existe.

<calcul mathématique>

Pas de problème, on obtient une relation vectorielle telle que A est le barycentre des points pondérés B, C et D.

Donc l’idée derrière l’exercice est d’utiliser cette relation vectorielle qu’on te donne et de la transformer en une relation typique d’un barycentre. Le barycentre ici est toujours le point A, qu’on retrouve à chaque début de vecteur – et de telle façon que la somme de ces vecteurs, avec des coefficients qu’il faut déterminer, égal le vecteur nul.

Et pour rappel de cours, c’est ce que j’ai fait ici – cette relation provient de cette relation plus générale où tu peux remplacer M par n’importe quel point. Ici, au lieu de mettre G, j’aurais dû mettre le point A puisqu’ici on cherchait A comme barycentre. D’habitude on note le barycentre G.

Et donc pour exploiter la relation vectorielle, il te faut utiliser très souvent la relation de Chasles pour les vecteurs et donc découper des vecteurs qui ne font pas apparaître le barycentre A.