Bien calculer avec les puissances

Comment bien calculer quand tu as des puissances sur les nombres ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo star en maths. Ici Romain j’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice nous avons 3 questions qui ont trait aux simplifications des nombres quand ils comportent des puissances.
Ce sont des choses, les puissances, que l’on rencontre très souvent dans les exercices à partir de la seconde parce que dès les seconde tu vois des carrés par exemple parfois même des cubes ou des puissances 4.
Et je pense que cet exercice t’est destiné si tu es en seconde bien sûr mais même si tu es en première ou terminal.
J’ai beaucoup d’élèves de terminal qui se trompent avec les calculs sur les puissances. Donc si tu es en première, je pense que c’est le cas aussi.
Il ne faut pas hésiter à regarder cette vidéo parce qu’on va rappeler comment ça fonctionne, comment simplifier des nombres que tu pourras rencontrer très souvent dans des exercices.

Alors dans cette première vidéo, et bien nous allons tout simplement faire la première question c’est-à-dire enlever les puissances des nombres suivants.
Donc on va s’atteler à ça. Si on lit tout simplement le premier nombre.
Le premier nombre c’est -2. Alors déjà, rien qu’à la lecture, la lecture c’est important en fait puisque ça te permet de clarifier les choses.
Par exemple, si tu lis ça comme étant moins deux au cube et bien c’est une erreur en fait, il faut lire moins deux, le tout au cube.
Tu vois le fait qu’il y ait des parenthèses, ça veut dire que c’est tout moins deux qui est au cube.
Donc là, qu’est-ce que c’est qu’un nombre à la puissance de base ?
C’est tout simplement le nombre qui est multiplié par lui-même autant de fois que la puissance le dit.

Donc là, ce nombre, -2 le tout au cube c’est :
« Calcul mathématique »
Tu vois il faut toujours décomposer une puissance de cette façon.
Et en fait, si tu le fais, parce que c’est en fait la définition de base de la puissance, d’une puissance entière, parce qu’il y a aussi des puissances non entières, et là on s’intéresse à des puissances entières dans cet exercice.
Donc tu peux toujours décomposer comme ceci. Et si tu fais ça, tu te tromperas rarement dans les calculs avec les puissances.
C’est vraiment une première technique que je te donne : essaie de décomposer autant que faire se peut dès que tu as une puissance.
Donc là, dès que tu fais ça, ça apparait plus clair parce qu’on a :
« Calcul mathématique »
Donc ça y est, on a simplifié notre premier nombre. Voilà donc pour -2 le tout à la puissance 3.

Ensuite on s’attelle à moins 3 au carré. Tu as vu ici, en le disant, je n’ai pas dit moins 3, le tout au carré.
En fait, une puissance s’occupe toujours du nombre qui est juste en dessous de lui donc là le cube « s’occupait » du -2, tout le -2 puisqu’il y avait une parenthèse.
Et le carré ici, « s’occupe » juste du 3.
Donc là, ce que ça nous dit c’est que tout simplement le moins il reste tranquille devant et ça donne :
« Calcul mathématique »
Voilà donc pour cette deuxième simplification.
Là c’était la première et là, la deuxième.

Ensuite, on s’attelle à moins 2, le tout puissance 5. C’est parti. C’est une petit peu le même genre de calcul que ce que nous faisions pour moins 2, le tout au cube.
Des fois quand on va un peu vite on dit moins 2 puissance 5, c est pas une erreur mais disons qu’il faut bien clarifier les choses.
S’il y a des parenthèses il vaut mieux dire « le tout » : moins 2, le tout puissance 5. Donc là, ça nous donne :
« Calcul mathématique »
Là on a bien écrit 5 fois le nombre moins 2
Je te disais qu’on arrivait à moins 8 quand on s’arrête là. Donc ça veut dire que moins 2, le tout puissance 5 c’est aussi moins 2 le tout au cube, fois -2 fois -2.
Ça, c’est aussi moins 2, le tout au carré.
Donc ça c’est plutôt intéressant, on va y revenir par la suite mais en tout cas tu peux faire ce calcul de façon un petit peu brute. Ça va nous donner :
« Calcul mathématique »
Voilà

Donc là, je te disais pendant le calcul qu’on arrive à : première partie du calcul de moins 2, le tout puissance 5 et bien c’est moins 2, le tout puissance 3 fois moins 2, le tout au carré, donc puissance 2.
Tu as vu, au niveau des puissances, tu as -2, le tout puissance 3 fois -2, le tout puissance 2.
Donc au niveau des puissances tu as 3 et 2. De quelle façon c’est relié au 5 ?
Et bien en fait c’est 3 +2, tu vois, 3+2 ça fait bien 5.
Et tu vois en fait, derrière ça se cache la règle suivante qu’on utilise très souvent dans les puissances, c’est celle-ci, c’est que :
a exposant b fois a exposant c, et bien c’est égal à a exposant (b+c).
Tu vois, un « plus » au niveau des puissances ça revient à un « fois » entre les nombres, les 2 nombres a exposant b et a exposant c.
Donc là, c’est ce qu’on retrouve, notre b c’est 3, notre c, c’est 2, notre a c’est -2 et bien sûr on retrouve ici comme puissance b+c c’est-à-dire 5.
Voilà, une petite règle sur les puissances qui est fait est très très importante aussi parce qu’on la retrouve très souvent.

Donc voilà, on continue nos simplifications, on continue d’enlever les puissances.
Donc -4 au cube, là on ne dit pas « le tout » puisque le cube il « s’occupe » uniquement du 4. Donc en fait le moins il reste devant, c’est ça que ça veut dire.
Donc je vais le faire là, ça fait :
« Calcul mathématique »
Voilà donc pour ce nombre

Et dernier nombre, -4, le tout au carré, je pense que tu auras compris que c’est :
« Calcul mathématique »
Je t’encourage toujours à décomposer les calculs aves des puissances entières si tu n’es pas à l’aise.
Donc là on a bien décomposé en :
« Calcul mathématique »
Donc voilà pour ce dernier nombre.

Voilà, donc j’espère que tu es à l’aise avec ces petits calculs sur les puissances, quand il y a des parenthèses ou quand il n’y en a pas autour d’un nombre.
Donc il faut bien se souvenir qu’une puissance « s’occupe » juste du nombre qui est en dessous.
Donc s’il y a des parenthèses, et bien elle s’occupe de toute la parenthèse. Voilà, tout simplement.
C’est un petit peu ce que tu peux retenir.
Et là on a rappelé une règle qui intervient souvent, c’est que a exposant (b+c) est égal à a exposant b fois a exposant c.
Et l’erreur c’est de dire que c’est a exposant b plus a exposant c. Ce n’est pas un plus. Le plus au niveau des puissances devient bien un fois au niveau des nombres.
Voilà donc pour cette première question, et on va traiter la deuxième dans une deuxième vidéo.

2nde
Calculs de base
Bien calculer avec les puissances
Expression au cube
2/3

Dans cette vidéo nous allons résoudre la deuxième question de cet exercice, dans le thème « bien calculer avec les puissances ».
La 2ème question, c’est développer (1+x), le tout puissance 3 et aussi (1-x), le tout puissance trois, ce qui se dit aussi au cube.
Donc je t’encourage vivement à aller voir la première vidéo dans laquelle nous traitions la première question.
On a fait des petits rappels sur comment marchait les puissances entières, donc je t’encourage vivement à aller la voir.
Donc cet exercice en entier s’adresse à toi si tu es en seconde mais je pense aussi que ça vaut le coup si tu es en première ou en terminal parce que ça ne fait pas de mal d’avoir des petits rappels sur les puissances.
J’ai pas mal d’élèves qui se trompent, même en terminal sur des calculs qui paraissent simples avec des puissances.
Donc il ne faut pas hésiter à revoir les choses et on en a déjà revu dans la première question.

Donc là dans cette 2ème question, il s’agit de développer dans un premier temps (1+x), le tout au cube.
Alors comment développe-t-on ça ? Là tu pourrais te dire, il y a une identité remarquable derrière ça.
Alors le problème, c’est qu’au lycée tu vois 3 identités remarquables. Tu te souviens, ces 3 identités remarquables ce sont les suivantes :
C est (a+b)2=a2+2ab+b2
N’oublie pas que dans une identité remarquable il y a une égalité donc il ne faut pas oublier le = qui est quelque part.
Identité ça veut dire égalité en mathématiques. On aurait pu les appeler égalités remarquables.
(a-b)2=a2-2ab+b2
Et la 3ème c’est :
a2-b2=(a-b)(a+b), tu te souviens, c’est la forme factorisée.

Donc ça, c’est bien, ce sont des identités remarquables que l’on apprend au lycée mais le problème, c’est qu’il n’y a pas de cube là-dedans, il n’y a pas de puissance 3.
En fait, ça aussi, c’est une identité remarquable quelque part, ce sont des identités remarquables qu’on peut apprendre parfois en Math sup pou math spé, parfois dans les études supérieures en mathématiques généralement.
En fait, se cache derrière l’identité remarquable (a+b) le tout au cube. Tu peux la connaître par cœur mais bon , je ne t’encourage pas du tout à la connaître par cœur parce que ce n’est pas évident, il y a 4 termes derrière etc…
Ce n’est pas évident de connaître en plus les coefficient qu’il y a devant, donc il y aura un a au cube, un a fois b au carré, un b fois a au carré etc;
Donc non, ce n’est pas comme ça que je t’encourage à développer ça, c’est à-dire en connaissant par cœur cette identité remarquable, parce que c’est aussi une identité remarquable.

Donc ce que je t’encourage à faire, c’est vraiment, quand tu as un cube dans un calcul, ça arrive parfois dans les exercices, et bien c’est vraiment exprimer ce qu’est un cube.
Le cube d’un nombre, c’est tout simplement (1+x) ici ce nombre, fois lui-même, fois encore lui-même.
Et dès que tu fais ça, dès que tu appliques finalement la définition de base de ce qu’est une puissance, et bien tu vas vraiment pouvoir calculer ce nombre, le développer ici. Donc là:
« Calcul mathématique »

Et là maintenant, tu pourrais t’atteler à développer cette expression.
Evidemment ce n’est pas évident de développer des expressions quand il y a 3 parenthèses comme ça, 3 groupes de parenthèses.
Donc ce qu’on essaie de faire dans un premier temps, et bien c’est de développer un premier bout. Tu vois ce bout-là par exemple, (1+x)(1+x). Ça va être assez simple parce ça correspond à quoi ?
Tu pourrais le développer à la main, il n’y a pas de problème, tu pourrais prendre le temps de faire ça mais en fait, ça correspond aussi à (1+x), le tout au carré.
Donc en fait, tu peux utiliser cette identité remarquable.
Autrement dit, (1+x) le tout au cube, c’est aussi (1+x) le tout au carré fois derrière (1+x).
Donc ce que tu fais c’est que tu utilises cette identité remarquable là et ça va donner :
« Calcul mathématique »

Tu continues à développer, tu vois que c’est un petit peu fastidieux, c’est un peu long de développer ceci, quand tu as un cube, mais c’est faisable, c’est pas non plus la mort, je pense que c’est vraiment faisable.
Donc là, on va obtenir, quand tu développes, il faut vraiment faire ça de façon ordonnée, de façon lente et ordonnée.
Donc je vais mettre des petites flèches. Donc on va avoir :
« Calcul mathématique »
IL faut faire ça de façon ordonnée, c’est comme si on distribuait. Développer en mathématiques c’est aussi distribuer. Le développement, on appelle ça la distribution. C’est l’ancien mot quelque part, je pense qu’il y a encore beaucoup de professeurs qui l’utilisent.
Donc là, on va obtenir:
« Calcul mathématique »
Alors maintenant, ce qu’on fait quand on a bien développe tout ça, et bien on regroupe les termes qui peuvent être regroupes, les x carré avec les x carres, les x avec les x, les constantes avec les constantes, et on ordonne aussi.
Donc ça veut dire qu’on met généralement les plus grandes puissances en premier, ensuite les puissances juste après, on ordonne suivant les puissances décroissantes de x. ça c’est important.
Donc là ça va te donner :
« Calcul mathématique »
Voilà, donc là ce n’est plus simplifiable, tu vas laisser comme ça, c’est ce qu’on appelle aussi un polynôme du 3ème degré, puisqu’on a une puissance 3 au niveau de x ici, donc voilà on a la forme développée de (1+x) au cube. Ça marche?

Donc j’espère que tu sauras faire maintenant quand tu as un cube et je t’encourage à t’entrainer, si tu n’avais pas réussi à développer celui-ci, et bien à t’entrainer sur le développement de (1-x) au cube, ce que l’on va faire dès maintenant.
Donc (1-x) au cube, on pourrait être malin et utiliser ce qu’on vient de faire et mettre des moins là ou il faut.
Par exemple il faudrait mettre un moins là et tu sais que dans le développement de l’identité remarquable que j’ai soulignée en rouge, il faudrait mettre juste un moins là, devant le 2x, tu vois c’est ce moins là en fait, devant le 2ab. Et derrière, fois (1-x) et après reprendre le développement.
Nous on va utiliser cette petite astuce, on va aller un petit peu plus vite, ça va nous donner :
« Calcul mathématique »
On développe le carré avec notre identité remarquable ici, la deuxième ici, et donc ça va donner :
« Calcul mathématique »
Tu vois qu’en fait, les moins sont alternés. On en a un devant le cube, et un devant le puissance 1 puisque x c’est aussi puissance 1. ET c’est tout.
Voilà pour le développement de deux expressions ici, (1+x) le tout au cube et (1-x) au cube.

Donc j’espère que tu as bien compris comment on a développe nos expressions.
Donc la première chose que nous avons faite, c’est qu’en fait on a bien compris ce qu’était notre cube, on a bien décomposé ce qu’était (1+x) au cube comme étant (1+x) fois (1+x) fois (1+x).
Ensuite on a repéré un carré dans tout ça : (1+x) au carré fois (1+x) qui traine derrière.
Et le carré on a pu le développer grâce à une des trois identités remarquables qu’on connaît au lycée.
Et à la fin, on continue le développement, on développe avec le (1+x) qui traine.
Voilà donc j’espère que tu as bien compris ça, ce sont vraiment des calculs qui peuvent survenir dans les exercices que tu auras dès la seconde et aussi en première et terminal bien entendu.
Donc là, ce que nous allons faire c’est traiter dans une troisième vidéo et bien la troisième question de cet exercice.

2nde
Calculs de base
Bien calculer avec les puissances
Bien calculer aves les puissances « n »
3/3

Dans cette vidéo nous allons résoudre la troisième question de cet exercice dont le thème est bien manipuler les puissances, calculer avec les puissances.
Donc c’est exercice est destiné à toi si tu as du mal avec les puissances.
Honnêtement, je pense que même si tu es en terminal, ça vaut le coup de faire même la première et la deuxième question que j’ai faites dans les deux vidéos précédentes.
Donc, ça te rappellera des souvenirs sur comment on manipule des puissances, sur les petites règles qui se cachent derrière.

Donc là, dans cette troisième question il va falloir simplifier au maximum le nombre suivant, donc ce premier nombre là : deux tiers, le tout au carré.
C’est très important de dire « le tout » au carré parce que si tu dis juste deux tiers au carré, ça porte un petit peu à confusion. On ne sait pas…
Enfin quand tu dis deux tiers ça va, on c’est que c’est la fraction qui est au carré parce qu’il y a le mot tiers.
Mais si tu dis deux sur trois au carré, là on pourrait penser que le carré ne s’occupe que du 3, que du dénominateur.
Donc tu vois que c’est important quand tu dis les choses, et même quand tu les lis en fait, de bien se les dire, tu vois, quand tu as ta petite voix intérieure qui lit le calcul, qui lit l’expression.
Là, il faut lire vraiment deux tiers, le tout, moi j’aime bien dire le tout quand il y a des parenthèses, au carré.
Je pense que ça clarifie vraiment bien les choses. Du coup, quand on dit ça comme ça, on sait clairement ce que c’est.
Parce que deux tiers, le tout au carré, on exprime ce qui est au carré.
C’est vraiment la petite technique que je te donnais dans les vidéos précédentes, quand tu as une puissance entière, il faut vraiment exprimer ce que signifie cette puissance de base en fait.
C’est-à-dire, un carré c’est quoi ? C’est le nombre fois lui-même. Un cube, c’est le nombre fois le nombre fois le nombre etc…

Donc là, deux tiers au carré, le tout au carré, tu vois quand je le dis un peu rapidement j’oublie de dire le tout. Donc ça va être :
« Calcul mathématique »
Et tu te souviens que quand on multiplie deux fractions entre elles, il faut multiplier non seulement les numérateurs entre eux mais aussi les dénominateurs. C’est quand on ajoute que c’est un petit peu différent.
Donc là :
« Calcul mathématique »
Donc voilà pour la simplification de ce carré en fait, de cette puissance. Ça nous donne quatre neuvième qui est une fraction irréductible, on ne peut pas la simplifier.
Donc ça, c’est un calcul simple, c’était pour nous mettre en jambe un petit peu dans cette troisième question.

Et là, maintenant, voici le genre de calcul que tu pourras rencontrer très fréquemment dès la première je pense, notamment quand tu commences à voir les suites numériques quand il y a du petit n.
Donc je pense que si tu es en première ça vaut le coup de regarder ce calcul et si tu es en seconde aussi je pense que ça vaut le coup.
Donc là on va s’intéresser à la simplification de cette deuxième expression ici.
Alors en effet, au détour d’une question, tu pourrais très bien arriver à une expression comme celle-ci, avec du puissance n, du 1-n aussi en exposant comme ça;
Alors là ce n’est pas forcement évident. Tu te dis qu’il y a du racine de 2 un petit peu partout et peut-être que ça pourrait se simplifier puisque tu as du racine de 2 partout.
Il faut voir un petit peu ce que ça pourrait donner.

Alors là, on va rappeler les différentes règles sur les puissances que tu dois connaître. Il n’y en a pas beaucoup, je dirais qu’il y en a 3, peut-être 4. On va voir une petit peu ça.
Donc voici les règles sur les puissances :
C’est que un nombre puissance 0, ça donne toujours 1 et pas 0. Ça c’est déjà une première chose. Par exemple 3 puissance 0 ça donnera 1. -2, le tout puissance 0 ça donnera tout simplement 1.
Alors il y a un nombre qui n’existe pas c’est 0 puissance 0, ça, ça n’existe pas en mathématiques, ça arrive parfois qu’on le rencontre, assez rarement quand même, en terminal.

Donc, ensuite, une autre règle sur les puissances, c’est que a puissance b+c, ça donne a puissance b fois a exposant c.
Ça c’est une règle importante parce que l’erreur qu’on peut faire ici c’est de dire que a puissance b+c et bien c’est a exposant b + a exposant c.
Et ça c’est une erreur. Le plus entre les puissances, la haut, se transforme en un fois en bas. Un fois entre les nombres si tu veux.
Donc ça, c’est comme ça que tu peux le retenir, hop, là on a un fois.
Ça c’est une règle très importante et très fréquente surtout dans les puissances.

Ensuite, ce que tu as : c’est que tu as a exposant b-c, imaginons que tu as un moins, et bien c’est égal à a exposant b, le tout sur a exposant c.
Le trait de fraction doit être vraiment au niveau du milieu du =.
Donc ça c’est important, et là voilà ce que ça donne au niveau fraction.
Le – au niveau des puissances devient un « divisé » si tu veux au niveau des nombres.
C’est comme ça que tu peux le retenir, un petit peu.

Donc voilà les trois règles, je dirais principales.
Il y en a une quatrième que tu peux retenir et qui en fait provient de celle-ci.
La 4ème c’est que a exposant -c, tu vois, en général, et bien ça c’est égal à 1 sur a exposant c.
En fait elle provient juste de la précédente. En fait elle provient juste de la règle d’avant, en ayant b=0.
Parce que a exposant b-c, si b vaut 0 ça fait bien a exposant -c, et donc ici tu obtiens, en remplaçant b par 0 et bien a exposant 0 sur a exposant c ce qui te donne 1 sur a exposant c.
Donc en fait ça provient aussi de cette règle, de la connaissance de la puissance 0.
Voilà donc ça c’est vraiment une application si tu veux, en remplaçant le b par 0.

Voilà donc les 3 ou 4 règles que tu peux retenir.
Je pense vraiment que tu peux te débrouiller avec les 3 premières.
Donc là nous allons utiliser ces règles pour simplifier cette expression.
Je dirais qu’il y a plusieurs chemins qu’on peut emprunter pour simplifier cette expression, vraiment, il y a plusieurs chemins.
Tu vois en voyant cette fraction ici à droite, sachant que tu as du racine de 2 exposant quelque chose en haut et du racine de 2 exposant quelque chose en bas, racine de 2 tout seul, c’est aussi racine de 2 exposant 1, et bien tu pourrais très bien utiliser cette règle-ci.

Bon moi, je te propose de faire un petit peu différemment, je te propose tout simplement de faire comme suit:
Par exemple ça, tu vois exposant 1-n, tu pourrais très bien dire que c’est aussi 1 sur racine de 2 exposant l’opposé de ça.
Tu vois ça provient de ceci, de cette dernière règle, c’est-à-dire que :
« Calcul mathématique »

Donc ici tu vois que c’est important quand même, c’est pour ça peut-être que j’avais mis des parenthèses, le n il s’occupe vraiment de tout le nombre qu’il y a en dessous, c’est-à-dire de racine de 2.
Il ne faut pas que tu le mettes le n au niveau de la racine, ce qui ne veut pas dire grand chose ou juste en dessous de la racine, et là ce serait une erreur parce que le n ne s’occuperait vraiment que du 2.
Donc tu vois là, il faut vraiment bien mettre le n au dessus, c’est racine de 2, le tout puissance n.
« Calcul mathématique »
Tu vois c’est comme si tu avais a exposant c, c’est aussi égal à 1 sur a exposant -c, c’est vraiment pareil. Donc là tu vas obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc là on peut utiliser cette règle-ci. Alors là ce n’est peut-être pas la plus simple des pistes que je suis en train de te montrer mais c’est pour te montrer une piste possible pour simplifier cette expression.
Donc là on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Voilà donc comment se simplifie ce nombre avec des puissances partout, ça vaut tout simplement 1.

Donc voilà comment tu peux simplifier les nombres. On aurait pu utiliser d’autres chemins, toujours pour arriver au même résultat.
Tu peux très bien par exemple exprimer racine de 2 exposant 1-n comme étant racine de 2 exposant 1 ou racine de 2 fois racine de 2 exposant -n.
Du coup vu que tu as racine de 2 exposant n derrière et bien ça fait racine de 2 exposant -n+n donc racine de 2 exposant 0.
Donc il te reste juste le racine de 2 exposant 1 donc racine de 2 la haut, j’espère que tu me suis, sur racine de 2, donc ça fait 1 aussi puisque racine de 2 sur racine de 2 ça fait bel et bien 1.

Voilà, en tout cas j’espère que tu as bien compris comment on a simplifié ce nombre là.
ON a vraiment utilisé les règles sur les puissances qui sont celles-ci.
Et ces règles, vraiment, proviennent, sauf le a exposant 0, mais le a exposant b+c et le a exposant b-c, ça provient vraiment de la définition de base d’une puissance, à savoir qu’un nombre puissance 4 et bien c’est le nombre fois le nombre, fois le nombre, fois le nombre.
D’accord ? Il faut écrire 4 fois le nombre. Et attention à l’erreur justement puisque a exposant 4 ce n’est pas 4 fois a, ça c’est vraiment une erreur de base, bien sûr il ne faut pas faire ça. C’est a fois a fois a fois a.

Voilà donc pour cet exercice sur les puissances. Je pense qu’on a vu pas mal de cas, pas mal de situations, comment t’en tirer par rapport aux puissances.
Comment ne plus avoir peur d’elles, parce que je sais que ça peut perturber souvent quand on est au lycée.
Moi-même je sais que ça me perturbait quand j’étais au lycée, je ne connaissais pas très bien ces règles quand j’étais au lycée mais en tout cas je les ai bien consolidées après, en math sup math spé.
Mais je pense quand même que toi, tu peux t’en sortir dès maintenant en connaissant ces trois petites règles que j’ai mises ici et cette conséquence ici : a exposant -c c’est 1 sur a exposant c.
Voilà pour cet exercice et je te dis à la prochaine, dans une prochaine vidéo.