Calcul intégral : inégalité sur des intégrales

Bonjour à toi et bienvenu à toi sur une nouvelle vidéo de Star en Maths TV. dans cette vidéo nous allons voir une propriété très importante qui permet de démontrer des inégalités sur des intégrales.

Tu vas voir qu’il n’est pas très compliqué. Il va s’agir dans cet exercice de comparer deux intégrales.

La première est I=

et la deuxième J :

Alors quand on te demande dans un exercice, dans une question, de comparer 2 nombres, car il faut se souvenir que I et J ce sont des nombres, ce ne sont pas deux fonctions, une intégrale c’est un objet mathématique qui te donne à la fin un nombre.
Donc quand on te demande de comparer deux nombres a et b, I et J ici plutôt, il suffit de déterminer si
I=J (les deux nombres sont égaux)
I < J ou I>J

D’accord?

Donc c’est ça la conclusion à laquelle il faut arriver . Alors, pour essayer de comparer ces deux intégrales il faut toujours utiliser la même technique, il faut d’abord, avant même de considérer les intégrales, de comparer les deux fonctions en sous des intégrales.

Donc la première c’est et la deuxième c’est

Alors, vu que ces deux fonctions…on peut les noter, f(x) plutôt f1 (X) est

et la seconde f2 (x), tout naturellement, est , la fonction sous la deuxième intégrale.

Il va falloir comparer ces deux fonctions, je répète.

Donc, comment comparer ces deux fonctions?
Là, on remarque qu’elles ont en commun e exp x

Il y a plusieurs façons de comparer deux nombres en mathématiques.
Généralement ce qu’on peut faire, c’est partir d’une petite inégalité, toute simple, dont tu es sûr, qui est vraie, et ensuite, s’acheminer, petit à petit, vers les deux fonctions f1 et f2, enfin, les deux imaes de f1 et f2.
Donc tu pars d’une inégalité dont tu es sûr et tu rajoutes des composants pour arriver à f1 = f2 ou

f12

Ca c’est une première façon de comparer deux nombres en maths.
Une deuxième façon et de faire la soustraction de ces deux nombres et d’étudier cette différence, de voir si la différence est positive ou négative.

Par exemple si je fais F1 – F2 et que j’étudie le signe de cette différence, je fais un tableau de signes, et si c’est positif alors F1 est supérieur ou égale à F2
et si F1- f2 c’est négatif, alors F1 est inférieur à F2

J’espère que tu m’as suivi

Je t’ai donné deux façons de comparer deux nombres.
On va utiliser la première, c’est à dire on va partir de cette inégalité qui est vraiment naturelle; qui est vu que x ici est compris entre a et b, entre 0 et 1, dans les deux. Faut pas l’oublier, quand tu cherches à comparer deux fonctions. Ceci est très important dans les intégrales, le x se balade ici entre 0 et 1, ça il ne faut jamais l’oublier. C’est souvent un argument qui est très utile.

Donc on va garder cette partie de cette double l’inégalité. Ca va être vraiment l’inégalité de laquelle on va partir.
Je vais la noter ici

x est inférieur ou égale à 1

Là on va essayer d’arriver à x et à x2 de l’autre côte. Pour cela on va multiplier partout par x.

Est que ça change le sens de l’inégalité? Non, car x est un numéro positif. On utilise cette partie de l’information.
Donc tu te souviens quand tu multiplies à droite et à gauche par un même nombre positif tu ne changes pas le sens d’une inégalité.
Donc ici on va obtenir tout simplement;

x2 est inférieur ou égale à x. Ca peut paraître un peu étonnant mais c’est vrai lorsque x est inférieur ou égale à 1
D’ailleurs tu peux le voir dans les courbes de ces deux fonctions

Les courbes de la fonction x2 et x

Je vais les tracer très vite pour x se baladant entre 0 et 1.

La droite y d’équation x2

Ici on va voir un point de coordonnées 1,1. Et ce point on sait qu’il appartient aussi à la parabole de x2, car 1 au carré est 1. Donc la courbe de la fonction carré, je pense que tu t’es souviens, je vais faire seulement un bout. Elle est ainsi.

Ce qui nous intéresse vraiment est cette partie, quand x se balade entre 0 et 1
Et tu as vu que la courbe de la fonction carré, est en dessous de l’équation de la droite. Tu vois bien visuellement, ce n’est pas une démonstration.
Sinon, quand x est supérieur ou égal à 1,la courbe de la fonction carré est au dessus de la droite, x2 est supérieur ou égale à x pour x égale supérieur à 1. Je l’écris ici, ça ne nous sert à rien maintenant, mais je vais te le dire car ça peut paraître surprenant que x2 soit inférieur à x. Bref, je pense que tu as compris.

Nous sommes passés de cette première petite inégalité à cette seconde.
Et qu’est ce qui nous manque pour passer de cette deuxième à une troisième?
Et bien, exponentielle de x

Et bien, on va multiplier à gauche et à droite par exponentielle de x

Et exponentielle de x, je pense que tu te rappelles, c’est un nombre qui est toujours positif. Tu peux mettre ce que tu veux, -3, 10000, ça sera toujours positif, strictement supérieur à zéro.

Donc je mets ici on va multiplier, je le mets en petit

On va obtenir:
x2 exp x inférieur ou égal à x exp x
On a multiplié par un nombre positif donc ça ne change rien au signe de l’intégration qui depuis le début reste inférieur ou égale

Donc maintenant on va utiliser une fameuse propriété qui est le respect de l’ordre par intégration. C’est un nom qui peut faire un peu peur. En fait c’est juste que à partir d’une inégalité ainsi, qui est valable, je le répète, avec x entre 0 et 1, tu peux intégrer entre deux nombres; entre 0 et 1.

Donc tu peux mettre un sens de l’intégrale et garder le sens de l’inégalité. Donc il faut bien mettre entre 0 et 1. En lisant de 0 1 dans l’ordre croissant.
Bien sûr, il faut que ce soit entre 0 et 1.

Ici tu peux reporter les deux fonctions:

Cette chose-là, ce dernier passage qui nous permet d’obtenir cette nouvelle, cette quatrième inégalité, ce qui nous le permet est le respect de l’ordre d’intégration. C’est à dire, que tu peux intégrer; mettre un symbole d’intégrale, en gros, devant le deux membres d’une inégalité
Tu as le droit de le faire, ici ça ne change pas, ton inférieur ou égale, tu restes inférieur ou égale

Donc on vient de prouver tout simplement que G est inférieur ou égal à J.

Ca c’est toute à fait le genre de propriété qui peuvent te demander dans un exercice.

Ca peut être une question intermédiaire qui peut permettre de démontrer des choses d plus complexes.

J’espère que tu as compris les pas.

La démarche, je te la répète très rapidement.
En fait, tu prends les fonctions en sous des symboles de l’intégrale
et pour x se baladant dans l’intervalle de 0 à 1, et bien, tu démontres une inégalité entre ces deux fonctions.

Et ensuite tu utilises la propriété de respect de l’ordre d, donc en gros tu peux intégrer une inégalité et ça garde le sens de l’inégalité, en gros tu respectes l’inégalité en utilisant cette propriété. C’est ce que respect de l’ordre veut dire.

Et ensuite, tu obtient ton inégalité sur les deux intégrales, ces deux nombres-là.

J’espère que tu as bien compris ce petit passage.