Calcul avec racine carrée

Comment simplifier un calcul avec des racines carrées ?

Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Alors dans l’exercice d’aujourd’hui on va simplifier le calcul suivant au maximum.
Alors tu vois que dans le calcul suivant il y a plein de racines carrées. C’est racine carrée de 18 fois racine carrée de 75 moins 5 racine carrée de 6.
Alors ce que je te propose de faire, c’est d’essayer de simplifier chacune des trois racines carrées qu’on retrouve dans ce calcul. Donc racine carrée de 18, racine carrée de 75 et 5 racine carrée de 6 ou moins 5 racine carrée de 6.
D’ailleurs, en parlant de cette dernière racine carrée, on voit déjà qu’elle sous la forme a racine carrée de b. En effet, 5 racine carrée de 6, tu reconnais ici un a qui vaut 5 et le 6 c’est b. Donc a racine carrée de b. Et lorsque racine carrée de b n’est pas plus simplifiable qu’il ne l’est déjà… et c’est le cas pour racine carrée de 6, tu ne peux pas aller plus loin, tu ne peux pas le transformer en un autre a’ racine carrée de b’. Donc là, tu ne peux pas simplifier 5 racine carrée de 6. Donc en fait, cette partie droite du calcul tu ne peux pas aller plus loin et tu ne peux pas le simplifier plus que ça.

Alors ce que je te propose de faire, c’est d’essayer de s’attaquer aux deux premières racines carrées que tu vois dans ce calcul : racine carrée de 18 et racine carrée de 75. Alors qu’est-ce qu’on appelle simplifier une racine carrée ? Je te dis ça depuis le début de la vidéo mais qu’est-ce que ça veut dire simplifier une racine carrée ? Alors quand tu as un nombre, par exemple racine carrée de 18, tu peux très bien essayer de le mettre sous la forme a racine carrée de b avec b un nombre beaucoup plus simple que 18, comme ça tu auras simplifié, tu auras réduit le nombre sous la racine carrée. b sera un nombre entier toujours mais il sera plus petit que 18.
Et dans une autre vidéo je t’avais donné une méthode en deux temps pour réussir à passer de là (racine carrée de 18) à là. Et cette méthode en deux temps, j’espère que tu t’en souviens, je te mettrai le lien vers la vidéo où je t’explique cette méthode juste en-dessous de celle-ci… Alors cette méthode contient deux étapes.
La première étape consiste à décomposer 18 en un produit de deux nombres. Alors on va mettre 18=… Tu ferais ça sur ton brouillon tu rechercherais à décomposer 18 en produit de deux nombres. Mais il faut absolument que l’un des deux nombres soit un carré parfait. Et tu te souviens ce que c’est un carré parfait ? Par exemple 49 c’est un carré parfait parce que 49=7². Bref, un carré parfait c’est un autre nombre entier au carré. On a aussi par exemple 25. 25 est un carré parfait parce que c’est égal à 5².
Donc ça c’était juste des exemples de carrés parfaits que je t’ai donnés mais nous il va falloir qu’on décompose 18 en un nombre entier fois un carré parfait. Il faut absolument que l’un des deux nombres dans cette décomposition en un produit de deux nombres soit un carré parfait. Donc tu vas voir on va trouver ça tout de suite.
18, quelle décomposition te vient tout de suite à l’esprit ? ON a par exemple tout simplement 9*2. Donc là tu as bien un produit de deux nombres (un produit c’est une opération multiplier entre deux nombres en mathématiques) et est-ce que l’un des deux nombres est un carré parfait ? Et bien oui parce que 9 en est un. En effet, 9 est égal à 3² donc 9*2 c’est aussi 3²*2. 3² c’est 3*3 et 3*3 c’est bien 9. Tu obtiens donc bien 18=3²*2.

Donc ça, c’était la première étape dans la méthode que je te donne pour transformer racine carrée de 18 en a racine carrée de b. Et bien sûr il va falloir trouver les deux inconnues a et b. C’est le but de la méthode. Il faut trouver les deux nombres entiers a et b de telle façon à ce que racine carrée de 18 soit égale à a racine carrée de b. Donc là c’était la première étape, on a déjà décomposé 18 en 3²*2.
Maintenant ce qu’on va faire c’est prendre la racine carrée de ce nombre-là qui est aussi la racine carrée de 18. Donc on regarde on prend la racine carrée : racine carrée de 18 est égale (vu que 18=3²*2) à racine carrée de (3²*2).
Et qu’est-ce que c’est que la racine carrée d’un produit de deux nombres ? Et bien c’est une petite règle de calcul sur les racines carrées que tu connais surement. La petite règle dont je te parle c’est : racine carrée d’un produit de deux nombres u et v est égale à racine carrée de u fois racine carrée de v. Tu vois, tu peux « éclater » la racine carrée autour des deux nombres.
Donc là, on va appliquer cette petite règle et on va obtenir… Donc notre u c’est 3² et notre v c’est 2. Donc on va obtenir racine carrée de 3² fois racine carrée de 2. Et racine carrée de 3² et bien c’est comme si la racine carrée se simplifiait avec le carré parce que… on peut le calculer : racine carrée de 3² c’est racine carrée de 9 et racine carrée de 9 c’est 3. C’est pour ça qu’il fallait décomposer 18 en un carré parfait fois un autre nombre entier. Donc notre carré parfait c’est ça, qu’on retrouve ici et finalement c’est le 3 qui va rester parce qu’on en prend la racine carrée à ce carré parfait.
Donc si tu veux, la racine carrée va se simplifier avec le carré et il va juste nous rester 3 et tu vas obtenir 3 racine carrée de 2. Et là tu ne peux pas aller plus loin parce que tu as racine carrée de 2 et tu ne peux pas simplifier outre mesure racine carrée de 2. Tu es obligé de le laisser comme ça. Donc là, on a déjà simplifié notre premier nombre racine carrée de 18.

Je te propose maintenant de faire exactement la même chose pour racine carrée de 75. ON va donc transformer racine carrée de 75 en a racine carrée de b. comment on va faire ? Je te disais qu’on utilise toujours cette méthode en deux temps. 1er temps : il faut décomposer 75 en un produit de deux nombres sachant que l’un des deux nombres doit être un carré parfait. Et bien 75, peut-être que la décomposition en 25*3 te vient tout de suite à l’esprit. Et si c’est le cas c’est bien parce que 25 c’est justement un carré parfait comme je te le disais tout à l’heure. C’est 5².
Donc tu obtiens que 75=5²*3 tout simplement parce que 5², on est d’accord que c’est 25.
Et donc maintenant deuxième étape, tu prends la racine carrée de ton nombre, donc racine carrée de 75, que tu cherches à simplifier en ceci. ET ça vaut racine carrée de tout ça : (5²*3). Et on vient de rappeler que racine carrée de u*v c’est racine carrée de u fois racine carrée de v. Donc là, tu vas obtenir racine carrée de 5² fois racine carrée de 3.
Et ça justement, vu que 5² c’est un carré parfait, c’est 25, tu vas obtenir que la racine carrée et le carré vont se « simplifier ». Entre guillemets parce qu’on ne dit jamais ça vraiment mais c’est ce qui se passe, les deux « s’annulent ». Donc il va te rester 5 fois racine carrée de 3. Tu n’es pas obligé de mettre le signe fois, on le sous-entend. Donc c’est 5 racine carrée de 3. Le a c’est 5 et le b c’est 3. Donc tu as simplifié ton nombre racine carrée de 75 en 5 racine carrée de 3.

Donc si tu te souviens bien, nous avons simplifié racine carrée de 18 en 3 racine carrée de 2 et nous avons simplifié racine carrée de 75 en 5 racine carrée de 3. Donc là, peut-être qu’à partir de ces formes-là on va pouvoir simplifier tout notre calcul initial. Donc c’est parti, c’est ce qu’on va faire tout de suite. Je recopie tout ce qu’on avait au début très rapidement :
racine carrée de 18 fois racine carrée de 75 moins 5 racine carrée de 6. C’est égal à :
« Calcul mathématique »
Je te rappelle qu’en mathématiques, l’opération « fois » est prioritaire. Donc il faut d’abord que tu simplifies tout ceci. Et ensuite, à tout ceci tu essaieras de retrancher 5 racine carrée de 6 mais il faut d’abord faire l’opération « fois » ou l’opération « divisé » s’il y en avait une, avant le plus ou le moins. Tu peux réordonner les termes comme tu veux pour que ce soit plus facile parce qu’ici tu as des fois partout si tu veux. Tu as 3 fois racine carré de 2 fois 5 fois racine carré de 3. Donc tu peux mettre le 5 juste après le 3.
« Calcule mathématique »

Et donc là, tu vois peut-être déjà ce qui va se passer. On va obtenir 15 racine carrée de 6 moins 5 racine carrée de 6. Et donc là, il faut considérer tes racines carrées de 6 qui n’est d’ailleurs pas un nombre simplifiable (tu ne peux pas aller plus loin dans la simplification de racine carrée de 6).
Donc considère ton nombre racine carrée de 6 comme une pomme par exemple. Tu as donc 15 pommes moins 5 pommes. Donc combien il te reste de pommes ? Et bien 10 tout simplement. Donc là tu vois qu’on a réussi à simplifier notre calcul initial en 10 pommes, donc 10 racine carrée de 6. Et tu vois que c’est beaucoup plus simple à écrire que tout ça. D’où l’intérêt de savoir transformer des racines carrées en a racine carrée de b avec a et b des nombres entiers mais des nombres simples. Souvent le nombre b est très simple, plus simple que 18 ou 75.
Donc voilà, on a réussi à simplifier tout ceci en juste 10 racine carrée de 6. Voilà comment on a simplifié le calcul. J’espère que tu as bien compris. Il y avait surement d’autres possibilités : tu aurais par exemple mettre dès le début racine carrée de (18*75) : 18*75 sous la racine et essayer de simplifier ce gros nombre (18*75) avec la méthode en deux étapes que je t’ai donnée. C’était une autre façon de faire.
Mais bon là, tu vois qu’on a réussi à simplifier considérablement notre calcul.