Coefficient directeur

Bonjour à toi et bienvenu dans ce cours star en maths. Ici Romain.
Dans cette courte vidéo nous allons présenter ce qu’est le coefficient directeur d’une droite.
Alors le coefficient directeur d’une droite c’est quelque chose que tu vas rencontrer très souvent dans les exercices et c’est quelque chose de pas compliqué quand tu as compris.
Alors dans un premier temps je vais te montrer ce qu’il est, ce coefficient directeur. Dans un deuxième temps, je vais te montrer comment le calculer et dans un troisième temps, je vais te montrer ce qu’il représenta graphiquement.

Alors dans un premier temps, qu’est-ce que c’est que le coefficient directeur ?
Le coefficient directeur, il n’y a qu’un seul endroit où on en parle en mathématiques, c’est dans els équations de droites. Alors rappelons d’abord ce qu’est la forme générale de l’équation d’une droite.
La forme générale de l’équation d’une droit c’est y=mx+p. ça c’est vraiment la forme générale et dans les exercices tu la rencontreras avec une forme particulière avec m, un nombre réel choisi, par exemple 2 et p un autre nombre réel choisi, par exemple -1.
Donc tu aurais dans ton exercice y=2x-1. Voilà juste un exemple d’équation de droite.

Il existe aussi d’autres formes d’équation de droite. Par exemple l’équation cartésienne d’une droite. Ça ce n’est pas l’équation cartésienne d’une droite.
La forme cartésienne de l’équation d’une droite, c’est la suivante : c’est ax+by+c=0
Donc si tu es en terminale tu as du voir cette forme là mais quand tu as une équation de droite sous cette forme là, tu n’as pas directement le coefficient directeur.
C’est seulement quand tu as une équation de droite sous cette forme là que tu as le coefficient directeur. Et pour cause, le coefficient directeur c’est directement ce coefficient multiplicateur ici. En fait c’est m. Tout simplement.

Alors il ne faut pas oublier que quand tu as une équation cartésienne d’une droite : ax+by+c=0, tu peux tout à fait passer de cette équation là à l’autre, très facilement, il suffit d’isoler le y.
Tu isoles d’abord by. by c’est égal à -c-ax. Et ensuite tu divises tout par b et donc tu as y=-a/b*x-c/b tout simplement. Et le -a/b ce sera ton coefficient directeur tout simplement.
En fait il y a toujours moyen, c’est ce que je suis en train de te dire, de passer de cette forme-là à cette forme-ci pour identifier parfaitement ton coefficient directeur qui est toujours le coefficient devant le x quand et seulement quand tu as ton équation de droite sous cette forme-là.

Donc dans d’autres vidéos je t’ai expliqué plus en détails ce que représentait une équation de droite, ce que c’était et comment la manipuler. Tu pourras trouver ces vidéos sur star en maths TV. N’hésite pas à aller préciser tes connaissances sur le sujet si tu as besoin, en allant sur star-en-maths.tv
Alors continuons à expliquer, plus avant, le coefficient directeur. Donc là, je t’ai montré ce qu’il était dans l’équation de droite y=mx+p. tout simplement ce coefficient m.
Alors maintenant qu’est-ce que le coefficient directeur représente vraiment, concrètement ?
Et bien le coefficient directeur, on ne l’a pas appelé comme ça par hasard, c’est le coefficient qui dirige parce que directeur ça veut dire « qui dirige », tout simplement.
Donc le coefficient directeur il dirige ta droite.

Alors maintenant de quelle façon plus précisément il dirige ta droite ?
Et bien si m est positif, et bien tout simplement, la droite est croissante. Ça c’est vraiment une information importante, à mon avis, à connaitre. Si ton coefficient directeur est positif, ta droite est croissante.
Par contre, si m est négatif, ta droite est décroissante. Et si m=0, à ton avis, qu’est-ce que ça donne ? Ce n’est ni une droite croissante, ni une droite décroissante, c’est une droite horizontale, tout simplement si m=0.
Et si m=0 il faut bien observer que tu obtiens une équation de droite un peu spéciale, c’est y=p. y=2 par exemple. Ça c’est un cas particulier. Et y=2, c’est la droite horizontale passant pas le point de coordonnées [0;2].

Voilà donc ça c’était juste un petit exemple. Donc il faut bien comprendre ce que c’est que le coefficient directeur. C’est un coefficient qui dirige ta droite et selon son signe, à ce coefficient, ta droite sera croissante ou décroissante.
J’en profite pour rappeler qu’une droite, c’est la courbe d’une fonction affine c’est-à-dire une fonction de la forme f(x)=mx+p.
Donc si la droite est croissante, tu peux dire que la fonction est croissante également et si la droite est décroissante, je pense que tu comprends que la fonction affine correspondante est décroissante.

Voilà tout simplement pour ces premières explications sur ce coefficient directeur, sur ce qu’il est et ce qu’il représente, ce qu’il signifie.
Maintenant, ce que je voulais préciser avec toi c’est comment on calcule ce coefficient directeur quand tu as une droite sous les yeux.
Parce qu’évidemment quand tu as une équation de droite, par exemple y=3x-2, tu n’as pas besoin de calculer le coefficient directeur puisque c’est directement 3.
Tu vois, si je prends l’exemple, comme je te disais à l’instant y=3x-2, et bien le coefficient directeur c’est directement 3. Pas besoin de le calculer, tu sais directement que c’est 3 et donc tu peux en déduire des choses par la suite, notamment que ta droite est croissante puisque 3 est positif.

Par contre, il y a une chose qu’on aimerait faire parfois, c’est calculer le coefficient directeur d’une droite à partir d’une droite que tu as sous les yeux.
C’est souvent ce qu’on fait d’ailleurs en physique chimie, par exemple, à la suite d’une expérimentation tu obtiens une courbe qui ressemble à une droite. Et tu aimerais souvent connaitre le coefficient directeur de cette droite parce que ça peut te permettre de calculer des choses.
Et pour trouver le coefficient directeur d’une droite et bien il y a une formule que je vais te présenter tout de suite après avoir dessiné une droite.

2nde
Coefficient directeur
vidéo 2/3
La formule pour calculer le coefficient directeur

Imaginons qu’à la suite d’une expérimentation, tu obtiennes une droite, comme celle-ci, ici la droite orange dans notre repère orthonormé, et que tu souhaites en obtenir le coefficient directeur.
Alors ici, je te conseille deux étapes :
La première étape, c’est repérer des points, même deux points à coordonnées entières. A coordonnées entières, qu’est-ce que j’entends par là ? C’est tout simplement des points de coordonnées, par exemple (2;3).
Voilà un point de coordonnées entières. C’est-à-dire que ses coordonnées, l’abscisse et l’ordonnée sont des nombres entiers et pas des nombres à virgule ou des nombres un petit peu trop compliqués tout simplement.
Donc deux points à coordonnées entières. Ce n’est pas toujours possible. Des fois tu ne verras pas de points à coordonnées entières qui sont évidents sur ta droite mais il faut quand même essayer de les chercher.

Et dans le deuxième temps nous allons utiliser la formule suivante: si je note les deux points A et B, et bien le coefficient directeur qu’on va noter m :
m sera égal à (yb-ya), le tout sur (xb-xa), c’est-à-dire aussi, tu peux le retenir comme ça dans ta tête, la différence des y sur la différence des x, en gardant bien l’ordre des points, d’abord le point B, ensuite le point A.
Sachant que tu pourrais commencer par le point A mais il faut commencer en haut et en bas par le même point. Mais tu pourrais commencer par le point A et ensuite soustraire le point B.
Donc ça c’est égal à (ya-yb) sur (xa-xb). Il y a une égalité entre ces choses mais généralement on retient la formule de cette façon-là, en commençant par le point B si tu préfères.
Par contre il ne faut pas oublier une chose c’est que nous avons toujours les y en haut et il faut garder l’ordre : tu vois qu’ici je commence par le point A, je garde cet ordre en haut et en bas. Et là je commence par le point B en haut et en bas.

Donc c’est vraiment la méthode que je t’encourage à utiliser. Donc nous allons chercher des points de coordonnées entières sur notre droite orange.
Donc là, est-ce que tu en vois ? Et bien moi j’en vois plusieurs en fait. Ici on en a un par exemple, son abscisse c’est -3 et son ordonnée, c’est 3.
Nous avons également ce point là : (0;1). Et ensuite nous avons ce point là, on en a d’autres également, donc ce point-là qui est de coordonnées (3;-1).
Donc là tu choisis deux points parmi ces trois et ensuite tu appliques la deuxième étape donc la petite formule, que je t’encourage vraiment à connaitre donc (yb-ya) sur (xb-xa).
Pour ne pas t’embrouiller je t’invite à ne pas forcément retenir celle-ci, mais plutôt celle-là. Ça, ça te donnera le coefficient directeur.

Donc nous allons faire le petit calcul ici, ça va aller assez vite. Imaginons qu’on note le point B comme étant celui-ci et le point A comme étant celui-là.
m sera égal à : il faut faire bien attention à ne pas aller trop vite, il faut bien repérer quels sont ton yb et ton ya, ton xb et ton xa, parce qu’il y a moyen de se tromper quand tu vas un petit peu trop vite et tu ne repères pas bien quel est ton ya et tu dis ya c’est -3. En fait non, c’est 3.
Il ne faut pas se tromper ici, il faut être rigoureux dans l’application de cette formule. Donc :
« Calcul mathématique »
Donc là, c’est une application lente de la formule et c’est toujours ce que je t’encourage à faire, il ne faut pas vouloir aller trop vite.
Ensuite le petit calcul va être simple. Il va être simple pourquoi ? Parce qu’on a des points à coordonnées entières. On a des nombres entiers au numérateur et au dénominateur de notre fraction, c’est pour ça que les calculs sont simples.
Donc ici on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc tout simplement -2/3. C’est aussi le nombre 0.666666… à l’infini. Donc voilà le coefficient directeur de notre droite orange.
Un coefficient directeur négatif, c’est cohérent avec le fait que notre droite est décroissante.

Donc voilà la petite formule que tu peux utiliser quand tu veux déterminer le coefficient directeur d’une droite.
A noter que tu n’es pas obligé d’avoir des coordonnées entières. Tu peux trouver juste deux points dont tu connais parfaitement les coordonnées, peu importe si elles sont entières ou pas.
C’est juste que quand elles sont entières, les calculs sont plus faciles pas la suite. C’est pour ça que quand tu as une droite sous les yeux, je t’encourage à essayer de trouver les points faciles si tu veux, les points à coordonnées entières.
Bon, cette formule, elle est valable également quand les coordonnées ne sont pas entières également.

En fait cette formule, elle ne provient pas de nul part, elle provient du calcul si tu veux, cette formule tu pourrais la redémontrer, on va le faire très très rapidement aussi.
Imaginons, que tu cherches le coefficient directeur par le calcul. Tu sais que le coefficient directeur, c’est le coefficient qui intervient dans cette formule :
y=mx+p et imaginons que tu connais 2 points A et B qui sont sur la droite. Et bien qu’est-ce que ça signifie ?
ça signifie que ya=mxa+p sachant que xa et ya ce sont les coordonnées du point A et tu sais aussi, comme le point B appartient à la droite, que yb=mxb+p.
C’est deux équations-là, c’est vraiment la traduction du fait que le point A et le point B appartiennent à la droite.

Et à partir de ce système d’équation, sachant que tu connais, la c’est peut-être un petit peu abstrait pour toi, mais sachant que tu connaitrais, dans un exercice xa, ya, xb et yb, donc en fait ce serait remplacé par des nombres xa, ya, xb et yb.
Et en fait tes deux inconnues sont m et p. Mais en fait ta seule inconnue, ce serait m.
En fait là, je suis en train de te faire la démonstration de cette formule, imaginons que tu ne t’en souviennes plus exactement, en fait tu peux la redémontrer très rapidement grâce à ce que je suis en train de te montrer actuellement.
Donc une fois que tu as ce système, tu cherches ton m. tu veux m =… Et pour trouver ton m à partir de ce système d’équations, et bien tu sais qu’un système d’équations à deux inconnues, il faut essayer de faire une combinaison de lignes ou tu procèdes par substitution.
Tu sais que pour résoudre un système, pour trouver les deux inconnues, il faut employer l’une de ces deux méthodes : combinaison ou substitution.

Donc là, je t’encourage à faire une combinaison de ligne puisque quand tu fais la première ligne moins la deuxième ligne, 1-2, membre à membre, c’est-à-dire que tu fais :
« Calcul mathématique »
Et bien regarde ce qu’on obtient :
« Calcul mathématique »
Et en fait, qu’est-ce qui se passe ici, quand tu fais la ligne 1 moins la ligne 2, et en fait c’est ça le but, ça fait disparaitre les p.
Et en fait, toi, qu’est-ce que tu cherches ? N’oublions pas ce qu’on cherche, c’est le m. tu le trouves là, et là également. Donc en fait, tu factorises par m, pour ne le faire apparaitre qu’une seule fois.
« Calcul mathématique »
Et donc que vaut ton m à partir de tout ça ?
« Calcul mathématique »
Et donc finalement tu obtiens bien cette formule. Tu obtiens m=(yb-ya)/(xb-xa)

Voilà comment on redémontre cette formule. Donc là, je suis allé un petit peu vite dans la démonstration mais c’est vraiment la démonstration de cette formule qui te permet d’obtenir le coefficient directeur.
Je t’encourage vraiment à comprendre cette démonstration. Ça provient juste du fait que tu traduis « les deux points A et B appartiennent à la droite ».
Et pour traduire ça, il faut juste remplacer y et x dans l’équation de la droite, par les coordonnées xa et ya du point A et les coordonnées xb et yb du point B.
C’est ce que nous avons fait ici, on obtient deux égalités, donc finalement un système de deux équations. Et les deux inconnues c’est m et p. On pourrait retrouver p également à partir de ça.

Donc voilà comment on démontre cette formule, mais évidemment si tu la connais par cœur, tu gagneras du temps.
Mais je pense quand même, que ça vaut le coup de bien comprendre cette démonstration.

2nde
Coefficient directeur
vidéo 3/3
Que représente-t-il graphiquement ?

Et enfin, troisième temps de cette vidéo, je voulais te montrer, ce que représente, graphiquement le coefficient directeur d’une droite.
Alors, je n’ai pas arrêté de te répéter que le coefficient directeur, c’est le coefficient qui dirige la droite.
Et bien c’est aussi ce qui va se vérifier graphiquement bien sûr

Donc ici, j’ai pris un exemple : y=2x-1. C’est une équation de droite tout à fait classique de la forme y=mx+p.
Alors le m c’est le coefficient directeur, en gros ici, le coefficient directeur c’est 2. Je te rappelle que le p s’appelle ordonnée à l’origine. Ici, -1 c’est l’ordonnée à l’origine.
Alors, pour dessiner cette droite, je vais aller assez vite. Tu sais que pour dessiner une droite, je t’ai déjà montré dans une autre vidéo star en maths TV, à partir de son équation, il suffit de prendre 2 x et tu calcules les 2 y qui correspondent à ces deux X.
Donc une fois que tu auras calculé à partir du x1, le y1 correspondant et à partir du x2 le y2 correspondant, tu auras deux points dans ton repère.

Donc là on va choisir par exemple x=0, et tu obtiens y=2*0-1 donc ça donne y=-1. Donc pour x=0, y vaut -1, donc ça correspond à ce point-là.
Ensuite deuxième choix pour x possible, on va choisir, par exemple, x=3 et tu obtiens y=2*3-1 donc ça fait y=6-1=5.
Donc pour x=3, le y vaut 5. Donc ça tombe sur ce point-là. Et à partir de ces deux points évidemment tu peux construire la droite correspondante.

Voilà donc notre droite verte, alors maintenant, qu’est-ce que ça représente le coefficient directeur ?
Tout à l’heure je t’ai parlé de la formule suivante, c’est que le 2 ici, plus généralement le m, le coefficient directeur, des fois tu trouveras la notation a, ça dépend comment tu notes ton équation de droite : souvent on la note aussi y=ax+b donc le coefficient directeur c’est a.
Moi je l’ai notée y=mx+p. peu importe, c’est juste des notations. Donc m=(yb-ya)/(xb-xa). Tu te souviens, c’est toujours les y au-dessus.
Il faut bien garder l’ordre des points. On commence par le point B et ensuite on soustrait le point A.

Donc ici notre point B c’est celui-ci par exemple. Et notre point A ce serait celui-là. Alors qu’est-ce que ça représente yb-ya finalement ? yb, où est-ce qu’il est sur notre schéma finalement ?
Et bien yb, il est là, il vaut 5 d’ailleurs. Et notre ya, et bien il est là, il vaut -1.
Donc finalement, notre yb-ya, et bien qu’est-ce que c’est que la différence de deux nombres ? Si je fais par exemple 5-2, qu’est-ce que c’est que 5-2 ? C’est la différence entre les deux nombres 5 et 2. Ça vaut 3 je pense que tu es d’accord avec moi, et c’est un peu la distance entre ces deux nombres.
Donc yb-ya, et bien ça représente cette distance ici, que je fais en rouge. Ça, c’est vraiment yb-ya.

Donc imaginons que tu viens de faire une expérience en physique-chimie, tu viens d’obtenir des points et quand tu traces la ligne reliant tous les points, on a l’impression que c’est vraiment une droite.
Donc si tu veux calculer le coefficient directeur de cette droite, il suffit de prendre deux points de le la droite comme je te le disais tout à l’heure, et de faire la différence entre ses deux ordonnées, entre les deux y de ces points.
Et ensuite tu fais la différence entre les deux x. Et la différence entre les deux x, et bien le x de B c’est 3 et le x de A, c’est 0, donc la différence entre les deux x, c’est cette distance ici, c’est 3.
Donc en fait, on peut la mettre ici, tout simplement.
Donc en fait, le coefficient directeur, c’est un petit peu le triangle qui est formé entre les deux points d’une droite, ils peuvent être n’importe où ces deux points sur la droite. Et ensuite, c’est un triangle rectangle.
Donc il faut que tu fasses apparaitre la différence entre les y. J’allais appeler ça le delta y parce que en physique-chimie on appelle souvent la différence de y le delta y. Et la différence des x, on appelle ça le delta x. C’est xb-xa.

Donc en fait il faut que tu fasses apparaitre un petit triangle rectangle, formé à partir des deux points de ta droite.
Et une fois que tu as ce triangle rectangle, il te suffit de calculer la longueur des deux cotés, pas de l’hypoténuse évidemment. L’hypoténuse ce sera la longueur entre les deux points, la longueur sur la droite.
Toi tu ne veux pas cette longueur là, tu veux juste la longueur des deux autres cotés et en faire le rapport.
Et en fait, graphiquement, tu vois que c’est ça le coefficient directeur, c’est un petit peu dans ce triangle rectangle que tu peux le voir apparaitre ce coefficient directeur.

Ensuite une autre façon de le faire apparaitre plus directement, c’est toujours à partir de deux points sur une droite, mais ces deux points tu vas les construire de façon plus astucieuse pour faire apparaitre directement le coefficient directeur.
Imaginons que je me place sur la droite verte, en un point de coordonnées entières, pour que ce soit plus facile. Par exemple celui-là, ça a l’air d’être un point de coordonnées entières.
Tu te places dessus et tu avances de un en x. là, il y a un comme distance, tu vois, j’ai fait un carreau.
Et ensuite, tu remontes jusqu’à la droite, et là tu vois qu’on a fait apparaitre finalement un triangle rectangle, et donc les deux points A et B et bien ce sont ceux-là. On va les noter A’ et B’ parce que c’est notre deuxième cas si tu veux.
Et là, on a bel et bien le triangle rectangle en ce point-là en fait, comme nous avions tout à l’heure un triangle rectangle en ce point là.

Et qu’est-ce que c’est que cette longueur ici, que je vais faire apparaitre par exemple en orange ?
Cette longueur là, en fait, c’est le delta y. yb’-ya’. Je pense que tu es d’accord avec moi. Mais regarde ce qui se passe.
Ici ton m c’est aussi égal à (yb’-ya’)/(xb’-xa’), tu peux prendre n’importe quels deux points sur ta droite, ça marchera toujours cette formule.
Et qu’est-ce que c’est que cette différence xb’-xa’ ? Et bien ça vaut 1 tu vois, parce qu’on a construit justement les points A’ et B’ de telle façon à ce que leur différence de x soit égale à 1.
Donc ça donne yb’-ya’ sur 1 tout simplement parce que ça, ça vaut 1. Donc à la fin tu obtiens yb’-ya’.
Donc en fait, ce que je veux te dire c’est que le coefficient directeur, tu le vois directement apparaitre ici. Ton yb’-ya’, c’est cette longueur en orange sur notre schéma.

Et en fait, est-ce que c’est vérifié ? Notre droite verte on connait l’équation, est-ce que le coefficient directeur c’est bien 2?
Et bien oui parce que tu as vu là, notre longueur orange c’est bien deux carreaux.
Donc voilà ce que ça signifie graphiquement le coefficient directeur. C’est toujours basé sur la formule (yb-ya)/(xb-xa).
Et en fait, tu te places sur la droite, tu avances de 1 vers la droite, en x et ensuite tu montes ou tu descends, ça dépend si la droite est croissante ou décroissante pour retomber sur la droite.
Là on est remontés pour retomber en B’. Et cette longueur verticale, ici orange, c’est exactement ton coefficient directeur.
Voilà comment tu peux l’avoir plus directement et comment tu peux représenter graphiquement ce coefficient directeur. Donc ici on a bel et bien m.

Donc en fait c’est toujours cette histoire de triangle rectangle sauf que la base si tu veux, elle vaut 1.
Ça nous permet de nous débarrasser de cette chose, parce qu’un nombre sur 1. yb’-ya’, le tout sur 1, et bien ça vaut lui-même, c’est-à-dire cette longueur verticale.
Voilà donc j’espère que tu as bien compris cette petite manipulation.
Ça signifie que le coefficient directeur, tu peux voir assez rapidement combien il vaut, si tu te places sur la droite, tu mets ta pointe de crayon sur la droite, tu vas de 1 seul carreau, ou une seule unité plus généralement vers la droite, et tu remontes ou tu redescends sur la droite.
Et la longueur de laquelle tu vas remonter ou redescendre, ce sera exactement ton coefficient directeur.
C’est une autre façon un petit peu si tu veux, de trouver le coefficient directeur.

Voilà donc pour les explications sur le coefficient directeur. Ça conclut cette vidéo.
Nous avons dans un premier temps expliqué ce qu’il était, qu’est-ce que c’est qu’un coefficient directeur ? Tu le trouves seulement dans l’équation de droite y=mx+p ou =ax+b, ça dépend des notations. C’est le m ou c’est le a.
Ensuite, la formule de calcul pour le trouver. Et bien c’est celle-ci :(yb-ya)/(xb-xa), qui vaut aussi, je ne veux pas t’embrouiller, (ya-yb)/(xa-xb).
Et ensuite, troisièmement, nous avons montré ce que c’était graphiquement le coefficient directeur, et comment tu peux quasiment le trouver, ou en tout cas avoir une idée de combien il vaut, graphiquement dans ton repère orthonormé avec ta droite qui est déjà tracée.

Voilà, je te dis à la prochaine dans une autre vidéo.