Comment développer une expression ?

Bonjour et bienvenu

Dans cette vidéo nous allons expliquer ce qui est le développent d’une expression mathématique.
Tout d’abord, je veux t’expliquer ce que développer une expression veut dire et ensuite on verra qu’il y a deux situations en mathématiques dans lesquelles il faut développer.

Alors, qu’est-ce que développer une expression?
Une expression c’est des nombres -il peut y avoir des lettres (des x, des y…)- avec des signes (des -, des +) entre parenthèses…et bien, développer l’expression consiste à faire les calculs afin d’enlever les parenthèses. A la fin, il n’y aura donc plus de parenthèses.

Comme je te disais il y a deux situations dans lesquelles il faut développer une expression.
La première est le cas suivant:

1. Quand tu as un moins (-) devant la parenthèse.

Par exemple

Ca, tu aimerais développer pour enlever les parenthèses.
Et pour quoi veut on développer et enlever les parenthèses? C’est quelque chose que je n’ai pas encore dit. En fait, développer peut servir à simplifier la lecture de ton expression. Ca peut aussi avoir des utilités en mathématiques, par exemple, je pense à un polynôme de 2ème degré. Parfois il est intéressant de l’avoir sur la forme : , comme ça tu reconnais qui est ton a, ton b et ton c. Et ensuite tu peux appliquer les règles que tu connais, notamment le calcul du discriminant delta pour trouver les racines.

Généralement on fait ça en premier lieu pour simplifier l’expression.

Alors, tu vas voir que notre expression va être simplifiée après enlever les parenthèses.
Comment va-t-on faire? Alors, vu qu’on a un moins devant la parenthèse on va « distribuer » le moins dans la parenthèse, devant chaque terme. Comme ça on pourra enlever la parenthèse une fois le moins affecté sur chacun des termes: le terme 5x, le terme 2 et le terme 3y.
Je te rappelle qu’un terme c’est un élément qui il y a dans une somme.

Dans a+ b , a et b sont appelés des termes
De même dans a – b , a et b sont des termes.

Par contre le mot est différent dans une multiplication: ainsi dans a*b , a et b sont des facteurs pas des termes
Donc il faut bien faire la distinction: termes ce sont les éléments d’une somme et facteurs, les éléments d’une multiplication.

Donc on développe et après du 3x on a -5x, -2 et quand on arrive à -3y ça devient +3 y puisque c’est – (-3y) et les moins « s’annulent ». Donc ça devient +3y.

Le moins on l’a mis devant le 5x, le 2 et le -3y. Je rappelle que « moins » fois « moins » devient « plus ». Moins fois moins 2 ça fait 2, par exemple.

Ensuite tu vas pouvoir regrouper les termes. 3x -5x ça fait -2x et voilà…Tu ne trouves pas que l’expression que l’on trouve est plus simple? Je trouve que oui.
Donc voilà la première situation dans laquelle tu as à développer une expression: lorsque tu as un – devant la parenthèse. Généralement tu ne trouveras pas un + devant une parenthèse puisque ça ne sert pas à grande chose.
Si on n’avait pas eu de parenthèse ça n’aurait pas été la même chose.. Par exemple:

, je ne mets pas de parenthèse mais garde les opérations. On n’a rien à développer.

Ensuite on va exposer la deuxième situation dans laquelle tu dois faire un développement . C’est à dire, une situation dans laquelle on doit enlever des parenthèses donc il doit avoir forcément des parenthèses.
Donc je reprends: 3x et ensuite il n’y a pas de + ni de moins il n’y a pas de signe du tout, mais on retrouve directement la parenthèse. Ca veut dire qu’il y’a un « fois » sous-entendu.
Lorsque il n’y a pas de signe entre deux chiffres ça cet dire qu’il se multiplient.
Par exemple 3x tu est d’accord que ça veut dire 3 fois x.

Alors;

Comment va faire? C’est un peux pareil qu’avant et on va distribuer le 3x sur chacun des termes de la parenthèse. Je veux remettre les flèches vertes. Le 3x va être distribué sur le 5x, puis sur le 2 puis sur le -3y.

Alors 3x facteur de 5 x ça fait 3x fois 5x ensuite tu mets un + C’est ce que je t’encourage à faire quand tu n’as pas trop l’habitude, tu mets toujours un +
après tu mets 3x et tu fais fois 2,
tu rajoutes + sans t’occuper des signes des termes
ensuite tu remets 3x fois -3y. Il faut pas oublier de mettre le moins avec le 3y donc on mets des parenthèses. C’est qu’on est en train de faire c’est d’écrire une soustraction comme une somme.
Il faut bien comprendre que toute différence peut se transformer dans une somme.
Par exemple: A – B , c’est un petit une somme; on peut écrire A + (-B)

C’est un peu ce qu’on fait ici: on transforme tout dans une somme.
Ensuite 3 fois 5 ça fait 15 et x fois x fait x au carré (c’est un petit réflexe qu’il faut avoir)
Ensuite 3 fois 2 ça fait 6…ça donne 6x
On ne peut regrouper les 15×2 avec les 6x car ce sont des choses différentes (15 écureuils et 6 vaches)

3 fois -( 3 ) et x fois y donc, -9 xy

Donc voilà ce que ça donne:

expression 2 développée

Parfois c’est plus compliqué car on peut trouver des moins de partout

Par exemple, si on avait eu un -3x devant la parenthèse.
Il ne faut pas avoir peur et le -3x affecterait chaque terme de la parenthèse:

-3x fois 5x PLUS -3x fois 2 PLUS -3x fois (-3y)

Voici une autre situation plus compliquée.
C’est le cas où il y a deux parenthèses.

La première, par exemple, (3x – 2) facteur de (2 -y)

Pour développer une telle expression, tu pourrais employer la technique que nous venons de développer. C’est à dire, notre (3x-2) devient le 3x de l’exemple précédente et tu le distribuerais sur chacun de termes de la deuxième parenthèse.

On prendrait tout ça: (3x-2) et on le distribuerait sur 2 pour ensuite le distribuer sur -y.
C’est une première façon de faire.

(3x-2) fois (2), ensuite, tu ne réfléchis pas, tu mets un plus et (3x-2) fois (-y)

Et ensuite tu as affaire à un nouveau développement. On va le faire en appliquant la même technique

Ca fait 3x fois 2, ça fait 6x. On pourrait aussi mettre le 2 devant pour distribuer sur la parenthèse.

Ensuite + (tu mets toujours un +), 2 fois -2, ça fait -4. On a enlevé les parenthèses pour le premier terme.

Ensuite on doit développer ce dernier terme avec plein de parenthèses. Pour le deuxième on distribue le -y sur le 3x, ça fait -3xy
et enfin sur le (-2), qui fait 2y.

On ne peut rien simplifier car tous les termes sont de nature différente.

Ensuite on va voir une deuxième technique que je pense tu as du déjà voir.
Ca consiste, au lieu de prendre toute la première parenthèse en entière, à distribuer chacun de termes de la première parenthèse sur chacun de termes de la deuxième.
On va illustrer ceci avec des flèches bleues claires:

On va d’abord distribuer 3x sur 2 et ensuite sur -y. Puis on va distribuer avec (-2) sur 2, puis avec (-y)
On va faire ça pour que ce soit clair:
3x fois 2, ça fait 6x. Ensuite tu mets +, je t’encourage tant que tu n’est pas à l’aise à mettre toujours un +. Ensuite, les moins tu t’en occupes pour chaque terme plus tard. Donc, 3x fois moins y. Plus tard tu verras que ça te donnera -3xy
On continue, on mets plus, (-2) facteur de 2 et donc plus (-2) fois (-y). Il est important de mettre les parenthèses pour éviter les confusions, 2 opérations avec de – ne peuvent pas se suivre comme ça. Comme ça c’est très clair qu’il s’agit du produit de -2x et -2y.
Ensuite tu peux faire les calculs.

Ca donne 6x plus 3x fois (-y) fait -3xy plus (-2) fois 2 fait -4 et finalement (-2x) fois (-2y) fait +4 (les moins s’en vont)

On tombe évidement sur la même expression qu’auparavant

Cette technique de développent apparaît très souvent dans les exercices et je t’encourage à le pratiquer. Je t’encourage aussi pour ne pas t’embrouiller avec les signes à commencer en mettant des + entre les termes.

Une dernière chose, toute les identités remarquable que tu connais

Je veux te donner une…(a+b) au carré et je pense que tu sais donne . C’est à dire, l’identité après développement donne ce résultat-là.

Je pense qu’on a du te le démontrer que c’est le développent qui montre que l’expression de gauche est égal à celle de droite

En fait (a+b) au carré ça veut dire a+ b facteur de a+b va donner < calcul mathématique>
en développant selon la technique qu’on vient de te montrer

Plutôt que de refaire le développent à chaque fois on t’encourage à connaître par coeur les identité remarquable par coeur, puisque on le retrouve très souvent.

Une identité ou égalité remarquable (identité et égalité veut dire la même chose) ce sont des expressions que l’on retrouve très souvent en mathématiques.

Voilà donc pour les développement des expressions. J’espère que tu as compris, c’est vraiment quelque chose très récurrent en mathématiques avec des expressions avec des parenthèses.