2nde
Comment factoriser une expression ?
Bonjour à toi et bienvenu dans ce cours star en math dans lequel nous allons présenter la factorisation : une opération qu’on utilise énormément en mathématiques, très très souvent dans les exercices, parce qu’elle est très utile.
On ne la fait pas par hasard évidemment.
Donc ici Romain, j’espère que tu vas bien.
Alors qu’est-ce que ça veut dire que factoriser ?
Et bien factoriser ça veut dire transformer une somme de nombres, il peut y avoir des lettres également.
Donc une somme, ou avec des moins aussi.
Je te rappelle qu’une soustraction c’est un peu une somme aussi puisqu’une soustraction, quand tu fais a-b, et bien c’est comme a + (-b), plus le nombre (-b).
Donc une soustraction ça peut être compté un petit peu comme une somme.
Donc imagine que tu as une somme de termes, il peut y avoir également des moins. Donc là je vais mettre trois petits points, ici et là.
Et en fait, factoriser ça consiste à transformer ça en un produit. Un produit de quelque chose par quelque chose d’autre.
Donc trois petits points, trois petits points.
Il peut y avoir également plusieurs fois dans le résultat final. Donc trois petits points fois trois petits points et trois petits points.
Donc là on a trois facteurs.
Je te rappelle que les éléments dans une somme où dans une différence, ça s’appelle les termes.
Donc là, ce que je mettrai à la place des trois petits points, ça s’appelle des termes.
Et là, dans un produit, ça s’appelle des facteurs, ça ne s’appelle plus des termes.
C’est juste une petite différence entre ces deux termes : terme et facteur.
Donc voilà ce que ça veut dire factoriser : ça consiste vraiment à transformer une somme en un produit, une multiplication.
Alors, maintenant, à quoi ça sert factoriser ?
Et bien factoriser ça sert à plusieurs choses en mathématiques, notamment à résoudre la fameuse équation : quelque chose (donc j’utilise beaucoup les trois petits points dans cette vidéo, mais c’est vraiment utile ici) égal 0.
Imaginons que ton quelque chose ce soit une somme de termes et bien une somme de termes égal 0 ce n’est pas du tout facile de résoudre cette équation.
Imagine que tu aies vraiment une équation à une inconnue avec un x et des nombres.
Et bien ce serait plus facile d’avoir un produit de facteurs ici.
Comme ça tu as un produit de facteurs égal à 0 et tu connais surement la bonne vieille règle de calcul qui te dit :
Un produit de facteurs égal 0 si l’un au moins des facteurs, s’il y en a 2 c’est l’un au moins des 2 facteurs, est égal à 0. S’il y en a 3 c’est l’un au moins des 3 facteurs qui est égal à 0.
Et donc cette règle-là te permet d’avancer dans la résolution. Mais pour appliquer cette règle il faut que tu aies un produit ici. C’est pour ça que tu peux factoriser ici. Quand c’est factorisable évidemment, tu peux essayer de factoriser ce qu’il y a ici.
Je te rappelle que tout n’est pas factorisable, il y a des sommes qui ne sont pas factorisables. Donc il y a des cas où tu pourras factoriser et d’autres pas vraiment. Ce ne sera pas très pratique de factoriser.
Mais quand tu peux le faire, et quand tu as une équation de ce type à résoudre et bien, à mon avis, ça vaut le coup.
Sinon, une autre situation dans laquelle tu peux utiliser la factorisation, c’est quand tu dois résoudre une inégalité : quelque chose supérieur ou égal à quelque chose d’autre : trois petits points supérieur ou égal à quelque chose d’autre.
Et bien ce serait bien de transformer cette inégalité, en ceci, cette inéquation, c’est une inéquation à résoudre.
Et bien, hop, donc là si tu avais un A supérieur ou égal à B, et bien ça te donne A-B supérieur ou égal à 0.
Et là c’est intéressant également de transformer cette inéquation en une étude de signe puisque là tu cherches finalement quand est-ce que A-B est positif.
Donc là ça peut valoir le coup pour trouver le signe d’une expression. Donc tu peux oublier ça un instant, mais c’est ça que je voulais te dire, pour trouver le signe d’une expression, ça vaut le coup que cette expression soit factorisée.
Ce n’est pas toujours utile mais quand c’est factorisé, c’est beaucoup plus facile de trouver le signe d’une expression.
Ça va ? Donc voilà les quelques utilités de la factorisation en mathématiques et ça en a d’autres mais là je t’ai donné les deux principales à mon avis : donc équation égal 0 et inéquation, quand tu cherches le signe plus généralement d’une expression.
Alors maintenant ce que je vais faire, tout simplement, c’est te présenter quelques expressions que tu pourras factoriser.
Prenons l’exemple suivant : 2a-4b et tu aimerais factoriser cette expression.
Donc en fait pour factoriser une expression, je te rappelle que ça consiste à transformer cette différence en une multiplication, en un produit, et bien en fait, ce qu’il faut essayer de faire, c’est essayer de repérer un élément commun dans les 2 termes.
Parce que quand tu repères un élément commun, tu vas pouvoir faire ce qu’on appelle le mettre en facteur, c’est-à-dire le mettre devant et après mettre un fois.
Donc tu auras transformé ta différence en un produit.
ET c’est vraiment ça la base d’une factorisation, c’est qu’il faut essayer de trouver un élément dans les différents termes, dans tous les termes que tu as.
Alors ce n’est pas la seule façon de factoriser, je vais t’en montrer d’autres par la suite.
Donc ici qu’est-ce qu’il pourrait y avoir comme élément commun entre 2a et 4b? C’est pas forcément évident de prime abord puisque 2 ce n’est pas pareil que 4, a ce n’est pas pareil que b ni que 4.
Bref tu n’as pas vraiment d’élément commun comme ça mais en fait il faut bien remarquer que 4 c’est 2 fois 2 et donc 4b c’est 2 fois 2 fois b.
Donc finalement tu obtiens 2a-2*2*b et l’élément commun, c’est ce que je t’encourage à faire, tu peux l’entourer au crayon à papier, c’est 2 ici.
Là on voit bien un élément commun entre les deux termes. Et donc une fois que tu en as trouvé un, tu le mets en facteur.
Donc tu le mets en facteur juste après, tu mets deux fois et tu ouvres des parenthèses et derrière tu mets a…
Et après quand tu redévelopperas pour vérifier ton calcul, c’est toujours ce que je t’encourage à faire quand tu viens de faire une factorisation, c’est de redévelopper, c’est-à-dire faire l’opération inverse de la factorisation.
Je te rappelle que développer c’est faire les calculs pour enlever toutes les parenthèses, c’est ça le but d’un développement. Et bien sûr tu retomberas sur 2a-4b.
Donc là, c’est :
« Calcul mathématique »
Donc en redéveloppant rapidement, évidemment on retombe là-dessus : 2a-4b
Donc ça c’est vraiment une première façon, la façon de base si tu veux de factoriser une expression : c’est de trouver un élément commun dans les différents termes de ta somme ou de ta différence.
Ça c’est vraiment la première façon.
Ensuite, la deuxième façon de factoriser, une autre situation, c’est en utilisant les identités remarquables.
Notamment quand tu vois cette chose-là. Donc on va dire a carré moins 4a plus 4.
Et bien ça c’est tout à fait une expression que tu peux factoriser. Est-ce que tu vois comment ?
EN fait il faut utiliser l’identité remarquable que je vais te rappeler ici en noir :
« Calcul mathématique »
Donc là en fait on a une forme factorisée puisque je te rappelle que factoriser ça consiste à transformer la chose en un produit.
Mais est-ce qu’un carré ce n’est pas un produit ? Ben si parce que a moins b, le tout au carré, c’est (a-b) fois (a-b).Donc c’est bel et bien un produit;
ET ici tu as ce qu’on appelle la forme développée de ton identité remarquable et là, la forme factorisée.
Donc là, on peut tout à fait employer cette identité remarquable pour essayer de factoriser notre expression.
Alors là, le a ce serait a mais on n’a pas vraiment de b. En fait le b, si tu regardes bien, c’est 2 parce que là tu as 4.
Tu vois ton 4, ça correspondrait à ton b carré. Ton -2ab, ça correspondrait à ton -4a et ton a carré, évidemment en bleu correspondrait à ton a carré en noir.
Donc le a bleu c’est le a noir et le b noir c’est le 2. Donc tout simplement ce que ça donne c’est que ça vaut (a-2) le tout au carré.
Et tu peux redévelopper cette chose-là en utilisant ta connaissance de cette identité remarquable pour vérifier que tu retombes bien là-dessus. Ça donne :
« Calcul mathématique »
Donc voilà vraiment une expression que tu peux factoriser alors qu’au premier abord ce n’est pas évident parce que quand tu regardes les trois termes, il n’y a pas vraiment d’élément commun entre ces termes;
Il y a 4 entre ces deux là mais quand tu cherches un élément commun, donc ce qui se rapporte à cette première situation là, il faut chercher un élément commun dans tous les termes. Et là le 4 tu ne le retrouves pas dans le a carré.
Pareil le a, tu le retrouves dans les deux premiers termes mais pas dans le troisième.
Donc c’est un peu pénible tu ne peux pas utiliser cette première façon de faire pour factoriser.
En fait il faut vraiment utiliser cette identité remarquable-là.
Et enfin, une autre situation que je voulais te montrer, c’est en utilisant encore une identité remarquable, donc celle-ci de situation. On va prendre :
36 moins a au carré. Et tu aimerais factoriser ça. Au premier abord, tu n’as pas du tout d’élément commun entre 36 et a carré.
Alors en fait il faut penser à l’identité remarquable suivante qu’on appelle aussi la différence de deux carrés, c’est bien une soustraction entre deux nombres au carré :
« Formule mathématique »
Donc si tu ne connais pas bien tes identités remarquables, je t’encourage vraiment à réviser les 3 et à bien faire les différences entre les 3 pour bien les retenir.
Donc là, qu’est-ce qu’on reconnait ? C’est que notre a en noir et bien ce ne serait pas 36, ce serait 6 car 36, c’est un carré parfait, c’est le carré du nombre 6.
Donc ça tu peux dire que c’est 6 au carré moins a au carré pour bien faire apparaitre une différence de 2 carrés
Donc le a en noir c’est 6 et le b en noir c’est notre a bleu.
Donc en fait tu peux dire à la fin que c’est égal à :
« Calcul mathématique »
Et donc là tu as bel et bien un produit de facteurs et donc c’est super tu as réussi à factoriser ton expression.
Donc là je dirais que tu as les trois situations principales dans lesquelles tu peux factoriser une expression.
Et il faut vraiment penser à ces deux situations-là. C’est celles auxquelles tu penses le moins mais pourtant elles peuvent apparaitre.
Ce sont celles qui utilisent ta connaissance des identités remarquables.
Il ne faut pas toujours penser qu’à ça : c’est-à-dire trouver un élément commun dans les différents termes pour factoriser, il faut aussi penser aux trois identités remarquables.
Celle-ci c’est pratiquement la même que la 3ème qui est (a+b) le tout au carré.
Donc voilà ce qui conclut cette vidéo. Je t’ai expliqué, dans cette vidéo, ce qu’est la factorisation : transformer une somme de choses ou une soustraction de choses en un produit.
Ensuite je t’ai expliqué à quoi ça servait un petit peu : ça sert principalement à résoudre les équations égal 0, les inéquations aussi.
Et ensuite, je t’ai expliqué comment et dans quelles situations tu peux factoriser : trouver un élément en commun ou utiliser tes identités remarquables.
Voilà donc j’espère que tu as bien compris cette opération qui est fondamentale en mathématiques et qu’on utilise vraiment dans énormément d’exercices d’analyse.