Comment faire un tableau de variation

Comment faire un tableau de variation

Comment dresser le tableau de variation d’une fonction f quand on en possède une courbe représentative?

Bonjour et bienvenue à toi sur Star en Maths TV. Alors aujourd’hui dans l’exercice on va dresser le tableau de variation de la fonction f dont on a ici la courbe représentative dans un repère orthonormal donc oxy.

Alors comment dresser le tableau de variation d’une fonction sachant qu’on a sa courbe représentative? Et bien en fait il y a quelques questions à se poser et ces questions sont très simples. Il faut déterminer en fait sur quel intervalle des x et bien f est croissante, sur quel intervalle des x f est décroissante, et il faut enfin déterminer les extrema de la fonction f. C’est à dire son maximum si elle en possède un ou son minimum si elle en possède un aussi. Donc ici sur quel intervalle des x notre fonction est croissante ? Alors qu’est ce que ça veut dire croissante, et bien ça veut dire tout simplement que quand tu vas dans ce sens là, dans le sens de la flèche de l’axe des abscisses ici, l’axe des x et bien f monte. C’est ça que ça veut dire croissante. Donc sur quel intervalle, à priori notre fonction f monte ?

Et bien elle monte de – ∞ ici puisqu’elle a l’air de descendre continuellement après quand on va vers là. De – ∞ jusqu’à 2 tu es d’accord qu’elle monte puisqu’elle fait ça. Elle arrive ici à 2, mais à 2, certes elle monte moins vite mais ensuite elle se remet à monter à partir d’ici. Donc elle monte finalement de – ∞ jusqu’à 7. C’est à dire quand x varie de – ∞ jusqu’à 7 et bien notre fonction f là elle monte, elle est croissante.

<calcul mathématique>

Ensuite sur quelle intervalle f est décroissante et bien juste après si tu regardes bien puisqu’à partir de 7 et jusqu’à + ∞ à priori notre fonction est décroissante puisqu’elle descend quand on va dans ce sens là. C’est vraiment la première question à te poser. Sur quel intervalle f est croissante et deuxièmement sur quel intervalle f est décroissante. Ça peut être aussi des réunions d’intervalles.

<calcul mathématique>

Donc ensuite pour obtenir le tableau des variations complet et bien il va falloir déterminer les extrema, son maximum ou son minimum si il y en a un. Donc ce qu’on va faire déjà c’est dessiner le tableau des variations comme on l’a avec les informations présentes.

<calcul mathématique>

Donc ensuite j’ai dit que la troisième question à se poser c’était et bien est ce que f a un extremum ? Elle peut avoir une extremum ou 2 extrema même. On dit un extremum, 2 extrema. C’est en latin. Et bien parce qu’elle peut avoir un minimum et un maximum. A priori là, notre fonction f elle a pas de minimum puisque là elle décroit tout le temps donc à priori elle irait jusqu’à – ∞. En revanche, d’après la courbe représentative donnée ici elle a clairement un maximum et ce maximum il est atteint en x=7 et il vaut 1. Il est atteint en ce point là. Un maximum ce n’est jamais un point d’une courbe c’est en fait l’ordonnée du point où la fonction atteint son maximum.

Donc un maximum retient bien ce n’est pas un point qui serait le sommet de la courbe de la fonction f, c’est l’ordonnée de ce point, c’est un nombre un maximum c’est pas un point géométrique.

<Schéma mathématique>

Voilà comment on peut dessiner un tableau de variations On peut aussi ajouter d’autres informations.

<Schéma mathématique>

Donc généralement une barre avec un 0 comme ceci on fait plutôt apparaître dans un tableau de signes plutôt qu’un tableau de variations. Mais on peut le mettre aussi sur un tableau de variations. Ça ça nous montre bien que quand f est croissante ici et bien ici on sait qu’elle coupe l’axe des abscisses. Tu vois bien qu’ici elle coupe l’axe des abscisses. C’est à dire qu’à un moment elle s’annule. Donc ici là elle est négative si tu voulais tracer son tableau des signes et ici une fois passé ce 0 en fait elle est positive. Voilà donc c’est le lien en fait entre le tableau des variations et le tableau des signes de f. Voilà donc les questions à se poser en résumé c’est : Où f est croissante ? Où st ce que f est décroissante ? Et enfin, est ce qu’elle a des extrema ? Un maximum, un minimum, ou les 2, et leur valeur surtout. Rappelle toi qu’un maximum ou un minimum ce n’est pas un point. Ce n’est pas ça le maximum, ça c’est le point où elle atteint son maximum et la maximum c’est un nombre c’est l’ordonnée en fait de ce point, c’est un. C’est à dire jusqu’ou est capable d’aller f et f si tu regarde elle va jusqu’à 1 maximum. Au niveau du minimum, cette courbe représentative ne nous dit pas si elle en a un. Puisqu’on ne sait pas comment elle se comporte au delà ici et au delà dans les nombres négatifs.