Comment résoudre une inéquation division ?

Comment résoudre une inéquation division ?
Bonjour à toi et bienvenu dans ce cours star en maths. Ici Romain, j’espère que tu vas bien.
Alors dans cette vidéo nous allons présenter ce qu’est une inéquation division et comment résoudre ce type d’inéquation assez particulière.
Donc en fait je vais tout de suite donner un exemple d’inéquation division pour que tu puisses voir à quoi ça ressemble.
Et essaie d’imaginer, toi, comment tu résoudrais ce type d’inéquation.

Par exemple : 2x-1, le tout sur -3x+7, et tout ceci inferieur ou égal à 0
Voilà, tu es face à ce type d’équation dans un devoir surveillé par exemple. Comment tu t’y prendrais pour résoudre cela.
Donc dans cette vidéo je vais t’expliquer comment résoudre cela, et la petite méthode qu’il faut employer pour résoudre ce type d’inéquation quand tu as un zéro ici.
Parce que quand tu n’as pas de 0 ici, la méthode est un petit peu différente, il faut que tu aies un 0 à gauche ou à droite de ton inégalité si tu veux.
Parce que finalement, qu’est-ce que tu cherches à savoir ici quand tu veux résoudre cette inéquation.

Je te rappelle que résoudre une inéquation, c’est une peu comme résoudre une équation, il s’agit de chercher les x qui satisfont cette inégalité ici présente.
C’est-à-dire que tu vas trouver des valeurs de x à la fin, peut-être une, peut-être plusieurs, qui, quand tu remplaces x là-dedans, dans cette fraction, dans cette division, et bien le tout, le nombre obtenu ici à gauche est bien négatif, inferieur ou égal à 0.
Donc plutôt que de te dire je vais essayer de résoudre cette inéquation avec certaines techniques que je connais, par exemple essayer de passer -3x+7 de l’autre coté, je ne sais pas trop comment encore, en fait, il faut transformer un peu le problème ici.
IL faut chercher quand est-ce que ce nombre ici à gauche est négatif ou égal à 0.
Donc en fait, pourquoi ne pas essayer d’établir le signe de cette expression division ici.
Et quand tu auras le signe, pour n’importe quelle valeur de x pour laquelle c’est défini…
Parce que c’st pas forcement défini pour toutes les valeurs de x cette chose là, on va voir d’ailleurs pourquoi.
Et bien une fois que tu as le signe, il s’agit de regarder dans ton tableau de signe quand est-ce que cette chose là est négative.
Et les valeurs de x pour lesquelles cette fonction, ici présente, est négative et bien ce seront les solutions de ton inéquation. Tu comprends ?

Donc finalement, on va juste faire une chose, on va juste établir, dresser si tu veux le tableau de signe de cette expression ici à gauche.
Et à la fin et bien on regardera quand est-ce que c’est négatif.
Donc comment avoir le signe d’une telle expression fraction ?

Pour un produit, tu sais obtenir le signe d’un produit, il s’agit d’observer le signe de chacun des facteurs du produit.
Et bien là, c’set un petit peu le même principe en fait. Il s’agit de regarder le signe du numérateur et le signe du dénominateur.
Parce qu’imagine, le numérateur, il est positif, et imagine que le dénominateur soit positif aussi. Et bien tu as un nombre positif sur un nombre positif.
Quel sera le signe du nombre final ? Et bien ce sera positif puisque par exemple 3 qui est positif, sur 2 qui est positif aussi et bien ça fait 3/2 ça fait 1.5, c’est positif.
Donc en fait, les mêmes règles que pour le signe d’un produit d’expressions s’appliquent ici;
Dès que tu as le signe du numérateur et le signe du dénominateur tu obtiens le signe de ta fraction.

Donc en fait il s’agit juste d’obtenir le signe de 2x-1 le numérateur, et le signe de -3x+7, le dénominateur.
Alors, à une précaution près tout de même, parce qu’ici tu as une fraction et en mathématiques, une fraction n’est pas toujours définie, c’est-à-dire qu’elle n’est définie que quand le dénominateur est différent de 0.
Donc vraiment la première étape de la résolution d’une équation comme d’une inéquation, c’est toujours de vérifier que les expressions que tu as dans ton équation ou ton inéquation son toujours calculables.
Et ici, cette chose là, c’est calculable que quand -3x+7 est différent de 0.

Donc j’ai beaucoup parlé mais en fait il va y avoir juste 2 étapes :
La première étape : il s’agit de savoir quand est-ce que tes expressions dans ton inéquation sont calculables
La deuxième étape : il s’agira de dresser le tableau de signe de ta fraction et plus particulièrement de chercher le signe du numérateur et du dénominateur.

Alors est-ce que tu peux réfléchir déjà à quel genre de fonction ressemble de numérateur et le dénominateur ici présents ?
C’est la question que je te pose pendant que j’écris cette deuxième étape.
À quoi ressemble 2x-1 et -3x+7 comme type de fonction, que tu connais ?

Donc une fois que tu as le signe du numérateur et du dénominateur, et bien il t’est très facile d’établir le tableau de signe final de ton expression.
Donc en fait la question que je te posais, quelles sont les fonctions ici du dénominateur et du numérateur ? Et bien elles sont du type ax+b.
Et une fonction du type ax+b, c’est ce qu’on appelle une fonction affine.
Et pour avoir le signe d’une fonction affine, c’est très simple, je t’en parle plus en détail sur d’autres vidéos si tu veux plus de détails.
Donc comment avoir le signe d’une fonction affine de type ax+b, donc ici 2x-1, donc ici le a vaut 2 le b vaut -1 dans le cas du numérateur, et dans le cas du dénominateur a vaut -3 et b vaut 7.
Pour avoir le signe d’une telle fonction il s’agit juste de savoir quand est-ce que la fonction s’annule et ensuite de savoir si elle est croissante ou décroissante.
Parce que une fois que tu sais quand est-ce que la fonction s’annule et si elle est croissante par exemple, et bien forcement elle est négative avant et elle sera positive après.
Donc je t’explique cela plus en détails dans une autre vidéo, n’hésite pas à aller voir cette vidéo. Il y a même plusieurs vidéos dans lesquelles j’explique ça sur star-en-maths.TV.

Donc appliquons immédiatement la première étape, c’est-à-dire quand est-ce que cette fraction ici présente est calculable ?
Et bien quand le dénominateur est différent de 0, donc quand -3x+7 est différent de 0.
Il suffit juste d’avoir ça pour que toute cette fraction soit calculable, qu’elle existe.
Si par contre -3x+7 est égal à 0 et bien ça va te fournir une valeur interdite pour x.
Donc c’est ce qu’on va faire tout de suite, première étape ici, on va résoudre l’équation -3x+7=0 et ceci va te fournir la valeur interdite pour x c’est-à-dire la valeur pour laquelle il ne faudra jamais que x soit égal.
Donc:
« Calcul mathématique »
Donc la valeur interdite c’est tout simplement 7/3. Je vais mettre VI pour Valeur Interdite.

Donc en fait l’ensemble de définition des solutions possible.
C’est comme ça que ça s’appelle, c’est un petit peu long à dire.
Ce n’est pas l’ensemble des solutions, c’est l’ensemble de définition des solutions possibles, et bien c’est R, c’est-à-dire l’ensemble des réels moins 7/3.
Ce qui se note comme ceci : moins l’infini jusqu’à 7/3 que tu exclus, et ensuite union 7/3 exclu jusqu’à plus l’infini.

Donc ça ce n’est pas les solutions, c’est l’ensemble de définition des solutions possibles.
C’est-à-dire que les solutions, elles sont là-dedans mais on ne sait pas encore exactement lesquelles elles sont.
Donc maintenant c’est parti, on va vraiment rentrer dans le vif du sujet avec la deuxième étape dans laquelle il s’agit de dresser le tableau de signes de cette expression.
Donc je vais effacer quelques petites choses ici. On va vraiment chercher le signe de cette expression, c’est-à-dire dresser le tableau de signes.

2nde
Comment résoudre une inéquation division 2/2

Donc c’est parti trouvons le signe de cette expression. Donc la deuxième étape que je te donne.
Donc là j’ai rappelé l’ensemble de définition des solutions possibles.
Donc ensemble de définition Ed

Donc c’est parti alors 2x-1, pour avoir le signe d’une telle expression affine, il faut vraiment que tu regardes d’autres vidéos sur star-en-maths.tv pour avoir plus de détails.
Ici on va aller assez vite. Donc 2x-1 c’est une fonction affine. a, le coefficient directeur vaut 2 donc il est positif et donc ça prouve que la fonction affine est croissante.
Donc ça déjà c’est une première information importante.
Ensuite il faut résoudre la petite équation intermédiaire suivante pour le signe du numérateur : 2x-1=0
Tu cherches en fait à savoir quand est-ce que ça s’annule, c’est-à-dire pour quel x ça s’annule ce numérateur.
« Calcul mathématique »
x=1/2
Donc ça c’est la valeur pour laquelle 2x-1 s’annule. En effet quand tu remplaces x par 1/2 ça fait bel et bien 0.

Donc maintenant, tu connais le signe de 2x-1, c’est-à-dire que pour x entre -infini et 1/2 et bien 2x-1 est négatif parce que tu te souviens c’est une fonction croissante.
Et après 1/2, c’est à dire pour x supérieur ou égal à 1/2 et bien 2x-1 est positif.
Donc ça c’est déjà une première information très importante.

La deuxième c’est le signe du dénominateur.
Donc en fait vu que c’est une fonction affine aussi au dénominateur, il s’agit juste de réaliser les mêmes étapes.
C’est-à-dire est-ce que ta fonction est croissante ou décroissante ? Et bien ici elle est décroissante puisque le coefficient directeur c’est -3, il est négatif donc elle est décroissante.
Donc forcement le signe ce sera + puis – mais plus précisément il faut savoir quand est-ce que ça change de signe et pour savoir cela il s’agit de résoudre -3x+7=0
ON l’avait déjà résolu pour trouver la valeur interdite et on avait trouvé x=7/3
Donc à partir de ces informations tu peux dresser le tableau de signes de cette expression

Donc dans un tableau de signes, la première ligne c’est toujours les x. Donc ici les x ils se baladent dans quel intervalle ?
Et bien ils se baladent là-dedans, dans R moins 7/3, il faut quand même enlever le 7/3.
Donc en fait de moins l’infini à plus l’infini.
Donc première ligne c’était les x, deuxième ligne on va mettre le numérateur 2x-1, c’est-à-dire le signe plus précisément de ce numérateur.
Et bien son signe, on avait dit que c’était – puis +, et quand est-ce que ça s’annule ? Et bien pour x qui vaut 1/2.
Donc tu mets ton 1/2, tu mets une barre dans tout ton tableau et tu mets 0 ici.

Ensuite, la troisième ligne de ton tableau et bien ça va être le signe du dénominateur donc -3x+7.
Et bien on avait dit que c’était + puis –
Par contre il faut savoir quand est-ce que ça change de signe, c’est pour x=7/3.
Et 7/3 ici il faut faire attention il faut le placer à droite de 1/2 puisque c’est plus grand que 1/2 tout simplement.
7/3 c’est plus grand que 2 donc plus grand que 0.5 qui est 1/2.
Donc 7/3 tu vas le mettre là. Ici tu mets une barre verticale. Tu mets un 0 là.
Et ici tu vas mettre +, + puis -.

Et là tu vas avoir le signe de ton expression finale dans la dernière ligne. C’est justement ça le but de la manœuvre;
Et donc ici on va mettre F(x). F(x) c’est tout simplement tout ça. Et là tu vas avoir le signe;
– sur + ça donne -.
Quand le numérateur vaut 0, ça va donner 0
Ensuite là, tu peux reporter le plus puisque quand x est supérieur à 1/2 et bien 2x-1 est positif.
Donc + sur +, ça donne +
Quand le dénominateur vaut 0, c’est une valeur interdite donc là, tu mets la double barre.
Et là, + sur – et bien ça donne un nombre négatif.
Donc voilà tu as dressé le tableau de signes de ton expression.

Et donc une fois que tu as ce beau tableau de signes, tu vas pouvoir revenir à la résolution de ton inéquation initiale.
Tu te souviens que l’on cherchait à savoir quand est-ce que cette expression ici à gauche est négative.
Et bien il suffit de regarder dans le tableau. C’est négatif ici, tu vois je vais mettre une accolade là et une autre ici.
C’est-à-dire pour x qui varie entre moins l’infini et 1/2 inclus puisque là pour 1/2 ça fait 0 donc c’est inferieur ou égal à 0.
Et pour x supérieur strictement à 7/3 et bien c’est négatif aussi cette chose-là. Il ne faut pas inclure le 7/3, le x ne doit jamais être égal à 7/3.

Donc voilà, tes solutions tu les as. S égal la réunion des 2 intervalles suivants :
moins l’infini jusqu’à 1/2 inclus union 7/3 exclu jusqu’à plus l’infini.

Voilà comment résoudre ce type d’inéquation. Il suffit donc dans un premier temps de chercher quand est-ce que ta fraction existe. Pour quels x ça existe.
Donc en fait le problème inverse, c’est chercher quelles sont les valeurs interdites de x. Souvent il n’y en a qu’une mais parfois il y en a plusieurs.
Là il n’y en avait qu’une puisque tu avais une fonction affine au dénominateur et c’était la valeur 7/3.
Ça c’est la première étape.
La deuxième étape, il s’agit de savoir quand est-ce que le numérateur est positif ou négatif, c’est à dire d’avoir le signe du numérateur et d’avoir le signe du dénominateur.
ET à partir de ces deux informations, tu peux avoir le signe de l’expression totale.

Et une fois que tu as dressé le tableau de signes de cette expression, un tableau de signes c’est juste un outil qui permet de bien visualiser le signe de F(x).
Ce n’est pas forcement indispensable de faire le tableau de signes mais c’est quand même très pratique puisque tu vois tout de suite quand est-ce que ton expression est négative.
A partir de ces deux informations ici en bleu clair tu avais le signe en fait de ta fraction.
Mais c’est quand même bien plus simple de consigner toutes ces informations dans un tableau de signes. C’est pour ça qu’on fait un tableau, c’est juste un outil.

Donc, à partir de ce tableau, tu vois quand est-ce que ton expression est négative et là tu obtiens les solutions de ton inéquation.
Et si tu avais eu ici strictement supérieur à 0 plutôt que inferieur ou égal à 0 et bien les solutions ça aurait été 1/2 exclu puisque les solutions, il ne faut pas que ce soit égal à 0, jusqu’à 7/3 exclu.
Donc l’intervalle ]1/2;7/3[

Donc voilà comment résoudre ce type d’inéquation division. Ça ressemble à la méthode que je t’ai donnée pour résoudre les inéquations produit.
C’est une méthode que l’on rencontre souvent dès lors que tu as un 0 à gauche ou à droite de ton inéquation.
Parce que dès lors que tu as un 0 à gauche ou à droite et bien il s’agit juste de savoir le signe de l’expression qui est de l’autre cote.
Et une fois que tu as le signe et bien c’est gagné.
C’est une technique que tu peux utiliser, si tu as une inéquation mais tu n’a pas de 0 par exemple ici si tu avais eu 2x-7, et bien tu passes le 2x-7 de l’autre cote.
Et ici, à gauche, tu as 2x-1 sur -3x+7 toujours comme fraction et moins ce que tu as passé.
Et tu transformes tout ce que tu as à gauche en une fraction et tu reviens à un problème fraction inferieure ou égale à 0.
Et là tu peux réemployer cette méthode.

Donc il ne faut pas être effrayé si tu tombes sur une inéquation ou il n’y a pas de 0 ici. Tu peux passer ce que tu as à droite à gauche de façon à obtenir un 0 ici à droite.
Voilà la petite méthode plus générale que tu peux employer quand tu as des inéquations qui ressemblent à ce type d’inéquations produit ou division mais qui ne sont pas tout à fait les mêmes puisque tu n’as pas de 0.
Tu comprends ?
Voilà donc je te dis à la prochaine dans une prochaine vidéo.