Comment résoudre une inéquation avec une étude de signe ?

2nde Tableau de signe d’un quotient (1/2)

Comment étudier le signe d’un quotient en fonction de x.

Bonjour à toi, et bienvenue sur Star en Maths TV. Ici Romain, alors dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons étudier le signe du quotient suivant et ce quotient c’est :

<Équation mathématique>

Alors, comment étudier en général le signe d’une expression fonction de x. Et bien, ce qu’on veut déjà obtenir à la fin, c’est un tableau de signe, c’est-à-dire avec une première ligne qui représente les x et une deuxième ligne qui représente le signe de ton expression suivant donc la première ligne, c’est-à-dire les valeurs de x.

Alors, comment on fait d’une façon générale pour déterminer le signe d’une expression. Déjà, d’une façon générale, je te dis qu’il est beaucoup plus facile d’étudier le signe d’une expression qui est sous forme factorisée c’est-à-dire sous forme d’un produit de facteurs. En fait, il est beaucoup plus facile d’étudier le signe d’un produit de facteurs parce que si tu connais le signe d’un des facteurs dans ce produit de facteurs et que tu connais le signe du second facteur, alors il t’est facile de connaître le signe du produit des deux facteurs parce que si tu as un moins et un plus pour le premier facteur et le deuxième facteur respectivement, alors le signe du produit sera moins, c’est-à-dire moins par plus, ça donne moins tout simplement. Si je multiplie moins cinq par sept, ça fait moins 35, d’accord, donc ça donne un nombre négatif. Voilà. Si tu as deux plus, ça donnera plus, si tu as deux moins, ça donnera plus et si tu as plus et moins, ça donnera moins également. Donc, voilà, d’une façon générale, il est beaucoup plus simple d’étudier le signe d’un produit de facteurs et quand tu as une somme de termes plutôt, et bien, il faut essayer de la factoriser. C’est, par exemple, l’une des utilisations possibles de la factorisation d’une expression. Alors, tu me diras ici on a un quotient et pas un produit de facteurs. En fait, un quotient, c’est une opération de diviser, mais une opération de diviser c’est aussi une opération de multiplication par l’inverse, donc ce que je viens de dire pour un produit de facteurs, c’est vrai aussi pour un quotient.

C’est-à-dire ici le numérateur est x au carré plus trois, ça tu es d’accord et le dénominateur est trois moins quatre x. Alors, si on trouve le signe du numérateur, puis ensuite tu trouves le signe du dénominateur, alors il te sera très facile d’avoir le signe du quotient total parce que par exemple, imaginons que x deux plus trois est positif suivant certaines valeurs de x qu’on va déterminer et trois moins quatre x est négatif alors un nombre positif au numérateur sur un nombre négatif au dénominateur et bien à la fin, ça donne un nombre négatif.

Par exemple, si tu as le nombre huit sur le nombre moins quatre, donc un nombre positif sur un nombre négatif, le résultat c’est moins deux, donc moins deux c’est négatif. Tu vois, donc c’est les mêmes règles que pour un produit de facteur : plus sur moins, ça donnera moins, moins sur plus aussi, moins sur moins, ça donnera plus et plus sur plus, ça donnera plus également. Donc, j’espère que tu m’as suivi.

Ce qu’on va d’abord étudier, c’est le signe de x au carré plus trois et ensuite on s’attaquera tout de suite au signe de trois moins quatre x. Alors, en fait le signe de x au carré plus trois, c’est très très facile à étudier parce que c’est constitué de deux termes, d’une somme, tu es d’accord, c’est une somme, il faut en étudier le signe. Je te disais que c’est plus facile d’étudier le signe d’un produit, et que c’est moins facile d’étudier le signe d’une somme, mais là c’est quand même très facile parce que chaque terme de cette somme c’est-à-dire x au carré et trois sont des nombres qui sont positifs. Tout simplement parce qu’un carré, c’est toujours positif ou nul et trois bien sûr, c’est supérieur ou égal à zéro. Donc le résultat du signe de x au carré plus trois, c’est tout simplement positif. Tu ajoutes deux nombres positifs, forcément le résultat sera positif. Voilà donc pour le signe déjà du numérateur, tu vois que c’est extrêmement simple.

Ensuite, ce qu’il faut faire, c’est étudier le signe du dénominateur, c’est-à-dire ici le signe de tris moins quatre x. Donc maintenant, pour étudier le signe de trois moins quatre x, et bien tu imagines bien que son signe va dépendre de la valeur de x. par exemple, si on prend x égale zéro dans cette expression. Qu’est-ce que ça nous donne? Je remplace x par zéro, donc on va obtenir trois moins quatre fois zéro, mais quatre fois zéro, ça fait zéro, donc on va obtenir trois. C’est-à-dire trois moins quatre fois zéro, c’est égale à trois et trois c’est un nombre qui est quoi, positif ou négatif? Eh bien, positif. Donc déjà, pour x égale zéro, t’obtiens un nombre qui est positif pour l’expression trois moins quatre x.

Maintenant, si je prends par exemple, x égale un, prenons x égale un, deuxième cas, donc x égale un, je remplace x par un dans cette expression et j’obtiens trois moins quatre fois un et trois moins quatre fois un, ben c’est aussi trois moins quatre et trios moins quatre, ça fait moins un. Donc, là, t’obtiens un nombre qui est négatif.

Donc, ce que tu vois bien ici, c’est que le signe de l’expression trois moins quatre x va dépendre de la valeur de x. Ici, j’ai pris deux exemples : x égale zéro et x égale un et on obtient deux signes différents opposés. Donc, ce qu’on peut déjà dire c’est que le signe de trois moins quatre x il est pas constant, c’est pas toujours plus ou pas toujours moins. Donc, comment on va étudier le signe de ça?

En fait, ce qu’il faut considérer, c’est trois moins quater x eh bien c’est une équation de droite. Tu peux tout à fait considérer la droite géométrique d’équation

<Équation mathématique>

Tu vois, si tu traces cette droite dans un repère orthonormé, qu’est-ce que l’on va obtenir. Eh bien, je le fais tout de suite, regarde, donc là, je trace rapidement un repère orthonormé avec les deux axes x et y, ton origine ici de coordonnées zéro zéro, et maintenant comment tracer cette droite? Tu sais que pour tracer une droite dans un plan, il suffit de tracer deux points, de construire deux points de cette droite. Donc, ce qu’on peut déjà construire, c’est en choisissant x égale zéro, par exemple, tu peux choisir l’abscisse de ton point, donc x égale zéro, combien vaut l’ordonnée du point géométrique? Eh bien, il suffit de remplacer x par zéro dans cette expression et tu vas obtenir y égale trois moins quatre fois zéro, donc y égale trois, d’accord? Donc, là t’obtiens déjà un premier point géométrique de coordonnées zéro et trois. C’est-à-dire d’abscisse zéro et d’ordonnée trois. Donc, ce point, si on choisit l’unité par exemple comme ceci, ce point, il va être ici. Voilà un premier point de ta droite. D’ailleurs, il est à une ordonnée de trois, c’est-à-dire que c’est l’ordonnée à l’origine de ta droite parce que dans ta droite qui a une équation de la forme y égale a x plus b, eh bien, tu reconnais tout de suite la pente qui vaut ici moins quatre devant le x c’est-à-dire le coefficient directeur, hein, c’est la même chose que pente et l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire trois, voilà. Tu aurais pu tout aussi bien écrire cette équation de la façon suivante :

<Équation mathématique>

Donc, là, tu reconnais le petit a et là tu reconnais le petit b, donc a x plus b, tu vois, c’est vraiment une équation de droite.

Donc, voilà pour un premier point de ta droite. Pour un deuxième point, on a qu’à choisir x égale un, par exemple, et x égale un, on avait déjà fait le calcul. Ben, ça fait moins un. Donc x égale un, tu remplaces dans cette expression et t’obtiens moins quater plus trois, c’est-à-dire y égale moins un. Donc, voilà un deuxième point de ta droite. Un moins un. Voilà donc les deux points par lesquels va passer ta droite

<Équation mathématique>

Voilà. Donc je viens de tracer cette droite bleue que l’on peut noter delta si tu veux et à quoi ça sert, pourquoi j’ai fait tout ça? Pourquoi j’ai tracé géométriquement y égale notre expression au dénominateur ici trois moins quatre x? Eh bien parce que quand tu as la droite qui est tracée dans le plan, il t’est très facile de trouver le signe en fait de trois moins quatre x, c’est-à-dire de y selon les valeurs de x. Regarde quand x qui varie, tu es d’accord, sur cet axe, quand x est là, dans cette zone-là jusqu’à ici, le y correspondant, il est positif puisque si je prends par exemple un x là, le y correspondant il est là, tu vois, tu prends le point de la droite qui correspond au x qu’on choisit. Et son ordonnée donc, son y est positif… jusque-là. À partir du moment où tu passes ce point que je vais faire figurer en orange, tu passes dans les x que je vais faire figurer en vert pour lesquels trois moins quatre x est négatif parce qu’ici, si tu prends un x ici, eh bien tu es d’accord que le point correspondant sur la droite delta a une ordonnée ici qui est négative.

Donc, concrètement, ça veut dire quoi? Eh bien, ça veut dire que pour les x qui varient de moins l’infini jusqu’à ce x ici qu’on va trouver, le x au point orange, eh bien le signe de trois moins quatre x, c’est-à-dire y, hein, y est égale à trois moins quatre x, eh bien c’est positif. Ensuite, pour x variant de ce x orange qu’on va trouver jusqu’à plus l’infini, le signe de trois moins quatre x est négatif.

Alors, ce qu’il faut faire maintenant, c’est trouver ce point orange. C’est-à-dire trouver le point d’intersection de cette droite et de l’axe des abscisses. Comment on va faire? Quand est-ce que cette droite ici croise l’axe des abscisses? Eh bien, quand le y est égale à zéro, donc c’est ça que ça veut dire analytiquement.

Ici, tu vas résoudre l’équation

<Équation mathématique>

Pour trouver exactement ce point orange, là, les coordonnées de ce point orange. Et donc, si je résous rapidement cette équation

<Calcul mathématique>

On va obtenir à la fin x égale trois-quarts. Voilà, donc ce point orange, il a quoi comme coordonnées, tout simplement, les coordonnées donc zéro en y, ça, c’est sa deuxième coordonnée et la première, c’est-à-dire son abscisse, elle vaut trois quarts, c’est ce que l’on vient de calculer. Voilà. Donc, ça veut dire, je répète, que pour x variant de moins l’infini jusqu’à trois quarts, le signe de trois moins quatre x est positif et pour x variant de trois quarts jusqu’à plus l’infini, le signe est négatif.

Voilà comment tu étudies le signe d’une telle expression de type a x plus b.

Je résume ce que je viens de dire ici, pour x appartenant à l’intervalle moins l’infini jusqu’à trois quarts inclus, tu peux tout à fait l’inclure, eh bien tu as l’expression trois moins quatre x qui est supérieure ou égale à zéro. Ensuite, pour x, c’est à partir des x verts ici, à partir du point orange plutôt, ce sont les x verts, pour x appartenant à trois quarts que tu peux inclure également, en fait pourquoi tu peux l’inclure? Ben, c’est justement le moment où l’expression trois moins quatre x est égale à zéro. Et si tu ne l’incluais pas, tu pourrais dire que c’est strictement négatif pour les x verts. Donc, ici, jusqu’à plus l’infini, alors tu as trois moins quatre x qui est inférieur ou égale à zéro tout simplement parce que la droite bleue est en dessous de l’axe des abscisses ici.

Donc, à partir de ces informations, celles entourées en rose ici et ceci, on va pouvoir dresser le tableau de signe de notre quotient. C’est parti!

2nde Tableau de signe d’un quotient (2/2)

Donc, pour dresser le tableau de signe de notre quotient, alors, tu mets une première ligne, c’est x et on pourrait mettre comme deuxième ligne tout de suite le quotient. Ce que je te propose de faire, c’est de mettre comme deuxième ligne le numérateur, le signe du numérateur plutôt, comme troisième ligne, le signe du dénominateur et comme quatrième ligne, eh bien, le signe de notre quotient.

Donc, ici on va mettre : signe de x au carré plus trois. Il n’est pas bien compliqué d’ailleurs puisque c’est toujours plus. Ensuite, troisième ligne, le signe du dénominateur, c’est-à-dire le signe de trois moins quatre x et enfin le signe de notre quotient.

Ensuite, tu traces les lignes composant ton tableau et maintenant tu t’intéresses à la première ligne. Alors, cette variable x dans ton quotient, elle peut varier de moins l’infini jusqu’à plus l’infini. Donc, on va mettre moins l’infini ici à gauche et plus l’infini ici à droite et tu peux mettre aussi la valeur trois-quarts dont tu sais qu’elle va jouer un rôle particulier ans le signe de ton quotient et aussi tout simplement parce que cette valeur trois-quarts, si tu regardes bien ton quotient, et ça c’est très important de la noter, eh bien, c’est une valeur interdite parce que c’est la valeur pour laquelle ton dénominateur il vaut zéro. Tu vois quand x égale trois quarts, alors trois moins quatre x est égale à zéro parce que tu remplaces x par trois quarts, on n’a qu’à le faire très rapidement,

<Calcul mathématique>

Donc, il reste zéro. Tu vois. Donc trois quarts, c’est ici la valeur interdite de ton quotient. Et ça, c’est très important de le dire parce que ça va figurer en fait dans ton tableau de signe. En effet, donc ici tu peux tracer une ligne et tu regardes d’un petit peu plus près cette ligne. Ici, le signe de trois mois quatre x, eh bien quand x vaut trois quarts justement, tu mets un zéro parce que trois moins quatre x vaut zéro justement pour cette valeur quand x est égale à trois quarts. Il faut mettre une double barre absolument pour signaler que trois quarts est une valeur interdite de notre quotient.

Donc, c’est pour ça que normalement une des premières choses à faire, je ne l’ai pas faite tout de suite dans cet exercice, mais c’est important normalement de le faire, c’est de déterminer la ou les valeurs interdites de ton expression avant d’en étudier le signe.

Donc, le signe de x au carré plus trois, on avait dit que c’est toujours positif, donc ce que tu peux mettre, c’est plus ici, plus là. Il ne s’annule bien sûr pas pour trois quarts. En fait, x au carré plus trois, ça ne s’annule jamais, ça ne peut jamais être égale à zéro.

Ensuite, le signe de trois moins quatre x eh bien, on se réfère à ce qu’on avait trouvé grâce à l’étude de notre petite équation de droite : y égale justement trois moins quatre x et on avait trouvé que pour x variant de moins l’infini jusqu’à trois quarts inclus, eh bien, le signe est positif. Et pour x variant de trois quarts à plus l’infini, le signe est négatif.

Ce que je te disais en tout début d’exercice, c’est que comme pour un produit de facteurs, eh bien, le signe d’un quotient ça dépend du signe du numérateur et du signe du dénominateur et plus particulièrement, c’est comme la multiplication des deux signes.

Donc, ici, plus par plus, tu vois, c’est comme si on multipliait, t’obtiens forcément un nombre qui est positif. Et ici, plus par moins, t’obtiens un nombre qui est négatif.

Voilà donc, on a étudié le signe de notre quotient, tu vois, c’est cette dernière ligne qui répond en fait à ton exercice. Il fallait d’abord étudier le signe du numérateur, celui du dénominateur, étudier la valeur interdite également, c’est-à-dire donc résoudre le dénominateur égale zéro et ensuite dresser tout simplement le tableau des signes de ton quotient.