Comment résoudre une inéquation produit ?

2nde
Comment résoudre une inéquation produit ?

Bonjour à toi et bienvenu dans ce cours star-en-maths. Ici Romain j’espère que tu vas bien.
Alors dans cette nouvelle vidéo, nous allons présenter et expliquer la méthode pour résoudre ce type d’inéquations, les inéquations produit.
Alors je vais tout de suite rentrer dans le vif du sujet en te donnant un exemple d’inéquation produit. Qu’est-ce que c’est qu’une inéquation produit ?
Alors c’est une inéquation qui ressemble à ceci. Je vais tout de suite te donner un exemple. Par exemple si tu dois résoudre ce type d’inéquation là :
(2x-1) facteur de (-3x+2) supérieur ou égal à 0. Donc voilà, c’est un exemple, il s’agit de résoudre ce type d’inéquation.

Je pense que tu sais que résoudre une inéquation, c’est en fait trouver les x, il n’y en a pas forcement un seul, il peut y en avoir plusieurs, qui satisfont cette inéquation.
C’est-à-dire les x tels que cette inégalité ici présente soit vraie.
C’est-à-dire qu’il faut trouver les x, quand on te demande de résoudre cette inéquation, il faut trouver les x tels que (2x-1) facteur de (-3x+2) soit positif ou égal à 0.

Donc pour trouver les x dans une inéquation et même dans une équation, souvent la méthode que tu utilises c’est d’essayer d’isoler le x, c’est-à-dire d’essayer de le mettre tout seul d’un coté du égal ou du supérieur ou égal comme ici.
Et pour isoler le x, et bien tu emploies plusieurs petites techniques, notamment tu essaies de passer un nombre de l’autre coté du supérieur ou égal puis ensuite tu divises à gauche puis à droite par un même nombre, ce genre de choses.
Le problème, c’est qu’ici, dans ce type d’inéquation ça ne va pas être facile d’isoler le x.
En effet, tu vois que tu as un produit de facteurs, donc il faudrait peut-être développer, c’est peut-être une idée qui te viendrait à l’esprit. Il faut toujours essayer des choses quand tu veux résoudre une inéquation, et parfois ça ne marche pas, parfois ça marche.
Donc là, tu essaies de développer mais le problème c’est que tu vas tomber sur du x carré à un moment donné et aussi du x.
Et donc, avec du x carré et du x il va être très difficile, impossible en fait, d’isoler le x tout seul d’un coté, d’avoir vraiment que x supérieur ou égal ou inferieur ou égal à un nombre.

Donc ce n’est vraiment pas cette méthode qu’on va utiliser. On va utiliser une autre méthode : on va faire un tableau de signe ici.
vu que tu as une inéquation qui est produit et que tu cherches à savoir quand est-ce que ce nombre ici à gauche est supérieur ou égal à 0 et bien pourquoi ne pas chercher à savoir quand est-ce que ce nombre est positif plus particulièrement.
Et vu que c’est une produit de deux facteurs : le premier facteur c’est (2x-1) et le deuxième facteur c’est (-3x+2), et bien il faudrait juste savoir le signe de (2x-1).
Quand est-ce que ça c’est positif ou négatif et quand est-ce que ça, ce deuxième facteur (-3x+2) c’est positif ou négatif.
Et une fois que tu as les endroits, c’est-à-dire les valeurs de x, pour lesquelles ça c’est positif et pour lesquelles ça c’est positif par exemple, et bien un nombre positif fois un nombre positif, ça te donnera un nombre positif.
Tu comprends ?
Et l’autre cas qui va nous intéresser c’est quand (2x-1) est négatif et quand (-3x+2) est négatif aussi, et bien le produit de deux nombres négatifs, ça te donne un nombre positif aussi.
Sinon, le reste du temps, quand (2x-1) sera négatif et (-3x+2) positif, ça donnera un nombre négatif.
Et enfin, le quatrième cas, quand (2x-1) sera positif et (-3x+2) négatif, le produit sera négatif, donc ce n’est pas un cas qui nous intéresse.

Donc finalement, on transforme ce problème de résolution d’une inéquation en un tableau de signe.
Comment établir le tableau de signe de cette inéquation produit ?
En fait c’est très simple. Il suffit juste d’avoir le signe de ces deux facteurs ici, donc ce facteur numéro 1 que l’on peut appeler F1(x), c’est une fonction de x. Et ce facteur numéro 2 F2(x).
Et une fois que tu auras le signe, en fonction de x évidemment, de ces 2 facteurs, et bien tu feras ton tableau de signe et tu regarderas ta ligne finale, et tu regarderas quand est-ce que tout ça, F1 fois F2 sera positif.
Et là il faudra retenir les x qui satisferont cela. Et ces x seront les solutions de cette inéquation.

Donc c’est parti on va déjà établir le tableau de signe de F1(x).
Dans un tableau de signe, tu sais bien que la première ligne, ce sont les x.
Et les x ici ils peuvent se balader dans R. IL n’y a pas de valeur interdite puisqu’il n’y a pas de dénominateur, il n’y a pas de racine carrée.
Donc ici x il se balade de moins l’infini à plus l’infini.
Et donc pour F1(x), on va établir son signe ensemble.

Donc là il faut connaitre vraiment quelque chose, c’est que F1 et F2 ce sont 2 fonctions affines parce que ce sont deux fonctions du type ax+b.
ax+b tu vois, le a c’est 2, le b c’est -1 dans le cas de la première fonction affine F1, de ce premier facteur si tu préfères.
Et dans le cas de la deuxième fonction affine, et bien c’est toujours ax+b puisque c’est une fonction affine. Et dans le cas de F2, le a c’est -3 et le b c’est 2.
Et tu te souviens qu’une fonction affine a pour courbe une droite dans un repère orthonormé et c’est très facile d’obtenir le signe d’une fonction affine.
En fait il faut regarder plusieurs choses. Il faut regarder quand est-ce que ax+b s’annule et ensuite il faut regarder le signe du coefficient directeur.
Donc ces deux informations-là, le signe du coefficient directeur et quand est-ce que ta fonction affine s’annule, c’est ça qui va te donner le signe de la fonction affine.

Dans d’autres vidéos, si tu veux plus de détails sur le sujet, j’explique vraiment ça en détails, c’est-à-dire comment obtenir le signe d’une fonction affine.
C’est vraiment quelque chose à connaitre et qui justement nous sert ici.

Donc ax+b, 2x-1 ici, 2 c’est le coefficient directeur, donc ta fonction affine elle est croissante, ça veut dire ça.
Et ensuite, 2x-1 ça s’annule pour quel x? Et bien il suffit de résoudre F1(x)=0
Tu vois c’est une petite équation que tu résous de façon intermédiaire.
F1(x)=0 ça veut dire 2x-1=0 tout simplement.
« Calcul mathématique »
Ça te donne x=1/2
Donc en fait le premier facteur s’annule pour x qui vaut 1/2. 1/2 tu le fais apparaitre dans ton tableau de signe ici, et là tu as un 0. Une barre verticale et tu mets un 0 au niveau de cette barre.

Maintenant pour obtenir le signe final de F1(x) il te faut la 2ème information. Quel est le signe du coefficient directeur.
Je crois que je l’ai dit précédemment, c’est 2.
Donc la fonction affine est croissante.
Donc forcement son signe c’est – puis + puisqu’elle démarre dans les nombres négatifs puis à un moment elle passe par 0, pour x qui vaut 1/2, et quand x est au dessus de 1/2, 2x-1 passe dans les nombres positifs.
Donc ici c’est moins et plus.

Voilà pour le signe du premier facteur. Pour le signe du deuxième facteur on va procéder de la même façon. C’est vraiment pareil puisque c’est aussi une fonction affine.
Donc c’est une fonction affine décroissante puisque le coefficient directeur c’est -3.
Et de la même façon on va résoudre F2(x)=0 pour savoir vraiment quand est-ce que cette fonction affine s’annule.
C’est important de savoir où elle s’annule puisque c’est vraiment à cet endroit, à ce x là qu’elle change de signe.
La fonction F1(x) change de signe en x=1/2. Si x est supérieur à 1/2 elle est positive et si x est inferieur à 1/2 elle est négative.
C’est pour ça que c’est important de savoir quand est-ce que ta fonction affine change de signe.

Donc F2(x)=0, c’est parti :
« Calcul mathématique »
Tu obtiens x=2/3
Donc 2/3 il faut également le placer dans ton tableau de signe. 2/3 c’est 0.6666… Donc c’est tout simplement supérieur à 1/2.
Il faut donc le mettre ici à droite de 1/2.
Et là je vais faire une barre verticale. Et la je construis un peu le tableau. F2(x) c’est la troisième ligne.
Et vu que ta fonction elle est décroissante, là on a un zéro, et forcement c’est + et ensuite -, quand x est supérieur à 2/3.
Tu comprends parce que ta fonction affine elle est décroissante.

Voilà donc on va terminer le tableau de signe. Je peux reporter ici le + sur la première ligne.
Parce que quand x vaut 2/3, ça n’influence pas F1(x) qui reste positive.

Et donc enfin, le produit des 2, c’est-à-dire F1(x) fois F2(x), c’est-à-dire tout simplement (2x-1) facteur de (-3x+2).
On va enfin connaitre le signe de cette expression en fonction de x.
Ici ça va donner tout simplement 0, il faut mettre les 0 d’abord.
Ensuite ça va donner : moins par plus, c’est-à-dire moins. Plus par plus ça donne plus. Et plus par moins ça donne moins.
Et donc là, dans la ligne finale, la dernière ligne de ton tableau tu vois quand est-ce que ton expression est positive ou nulle.
Et en fait elle est positive ou nulle quand x est entre 1/2 et 2/3.

Voilà donc si tu as compris ça, tu as tout compris.
Là c’est vraiment la solution finale de ton inéquation, de ton exercice.
Donc S est égal à cet intervalle : 1/2 ; 2/3
Et à ton avis, est-ce qu’il faut inclure le 1/2 et le 2/3 dans cet intervalle ? Puisque c’est un intervalle, ce n’est pas juste 2 solutions.
Ici on est en train de résoudre une inéquation, donc les solutions d’une inéquation c’est très souvent – ce n’est pas toujours le cas mais très souvent- un intervalle et pas seulement une solution ou deux solutions uniques.

Donc là on a un intervalle mais à ton avis, est-ce qu’il faut inclure 1/2 et 2/3 ?
Et bien en fait oui puisque quand x est égal à 1/2 ou 2/3 et bien tout ça c’est égal à 0, donc en fait c’est supérieur ou égal à 0. Donc en fait il faut les inclure;
Donc voilà la solution finale de ton exercice.

Donc j’espère que tu as bien compris comment résoudre une inéquation produit;
C’est toujours la même méthode en fait. Dès que tu as une inéquation avec un produit, il s’agit de chercher le signe de chacun des facteurs.
Et une fois que tu as le signe de chacun des facteurs, et bien tu obtiens très facilement le signe de ton expression finale.
Et une fois que tu as le signe de ton expression finale, tu peux savoir quand est-ce qu’elle est positive ou négative.
Puisque c’est de ça qu’il s’agit en fait. Ici on veut, plus que résoudre cette inéquation, on veut savoir quand est-ce que ça, c’est positif ou égal à 0.

Donc dans cet exercice j’ai fait vraiment en sorte d’avoir une inéquation produit avec un 0 ici comme membre, à droite.
Des fois tu as un produit supérieur ou égal à 2. Et bien dans ce cas, ce n’est pas ce qu’il faut appliquer comme méthode, il faut faire autrement;
Là vraiment, je t’ai expliqué la méthode pour résoudre une inéquation produit avec l’un des membres égal à 0.
Et en fait il s’agit juste de chercher le signe de ton produit de facteurs. Et une fois que tu as le signe de ton produit de facteurs, tu peux résoudre ce type d’inéquation produit, avec un 0.
Si ça avait été supérieur ou égal à 2, il aurait fallu faire autrement. Ce n’est plus du tout la même méthode qu’il faut employer.

Voilà, alors ce que tu peux faire aussi quand tu as un 2 ici, et que tu as autre chose là, il faut essayer de passer le 2 de l’autre coté, de façon à avoir supérieur ou égal à 0 ici.
Et ici, tu essaies de transformer ça en un produit de facteurs, donc de factoriser ça.
C’est parfois possible, et quand tu peux le faire, et bien tu as vraiment une équation produit avec supérieur ou égal à 0.
Et là, tu peux utiliser cette méthode-là, c’est-à-dire trouver le signe finalement de ton produit de facteurs.

Voilà donc j’espère que tu as bien compris cette méthode et que tu sauras la réemployer dans les exercices.
Je te dis à la prochaine, dans une prochaine vidéo.