Début d’une étude de fonction avec un ln

Comment trouver l’ensemble de définition d’une fonction puis ensuite comment la dériver cette fonction ?
Bonjour à toi et bienvenu sur star-en-math TV j’espère que tu vas bien.
Alors on va faire un petit exercice sur une étude de fonction, début d’étude de fonction aujourd’hui

Alors on définit une fonction par ceci: f(x)=1/(x+1)+ln(x/x+1)
L’idée dans cet exercice c’est dans un premier temps de trouver l’ensemble de définition de cette fonction f puis ensuite de calculer f'(x).

Alors dans un premier temps on va s’atteler à ceci, trouver l’ensemble de définition d’une fonction.
Alors je te rappelle que l’ensemble de définition d’une fonction c’est quoi ?
C’est l’ensemble des x tel que f(x) est calculable, tel que f(x) existe si tu veux.
Parce qu’effectivement, il y a des opérations en mathématiques, je pense que tu le sais très bien, qu’on ne peut pas faire.
Notamment diviser par 0, prendre la racine carré d’un nombre strictement négatif, par exemple racine carré de -2 ça n’existe pas.
Et aussi la troisième opération qu’on ne peut pas faire c’est prendre le ln d’un nombre strictement négatif, d’un nombre négatif même parce que ln0 ça n’existe pas, ln(-2) ça n’existe pas etc.

Donc, c’est à partir de ces trois opérations interdites qu’on va pouvoir trouver l’ensemble de définition de f.
Et c’est toujours normalement comme ça qu’il faut procéder parce que c’est ça qui va te permettre de déterminer un bel ensemble de définition et de façon très propre et rigoureuse.
Donc quand on regarde notre fonction f, qu’est-ce qu’on voit ?
Et bien déjà on voit une opération de division puisqu’on voit un trait de fraction, on en voit même deux.
Donc ça veut absolument dire que les dénominateurs doivent être différents de 0.
Donc ça c’est vraiment la première chose à dire, tu vois on utilise la première opération interdite qui est qu’un dénominateur doit être toujours différent de 0. On ne peut pas diviser par 0 en maths. C’est exactement la même chose de dire ça.

Donc en fait, ce qu’on va dire, première condition : c’est que les dénominateurs, il n’y en a qu’un ici, c’est x+1, doivent être différents de 0 que ce soit ici mais aussi dans le ln, peu importe que ce soit dans un ln ou pas.
Ici on a une fraction dans le ln, donc dès qu’on a une fraction, le dénominateur doit être toujours différent de 0 et c’est vrai tout le temps en mathématiques, dès que tu vois une fraction.
Donc ici x+1 différent de 0. Voilà on doit avoir ça absolument.
Donc x doit vérifier cette condition là, cette première condition là.

Ensuite la deuxième condition, et bien ici on n’a pas de racine carré, donc en fait la deuxième condition qu’on va avoir c’est concernant le ln.
Et tu te souviens que ln ne prend en entrée, ne mange si tu veux que des valeurs strictement positives. Donc lnX et bien le X il doit être absolument strictement supérieur à 0 parce que sinon, ln d’un nombre inferieur ou égal à 0, ça n’existe pas.
Donc ici, la deuxième condition que nous allons avoir c’est celle-ci, c’est que x/(x+1) ça doit être strictement supérieur à 0. Voilà.

Donc là finalement ces 2 conditions te permettent de trouver les valeurs possibles de x, l’ensemble de définition de f;
On pourrait tout à fait raisonner de façon inverse c’est-à-dire en fait essayer de trouver les valeurs interdites, c’est généralement ce qu’on fait par exemple quand on a une fraction.
Alors plutôt que de faire ça il faut écrire dénominateur égal 0. Ce qui va te fournir la ou les valeurs interdites de la fonction que tu es en train d’étudier.
Donc là par exemple si on avait voulu chercher les valeurs interdites. Donc les valeurs interdites une fois que tu les as et bien l’ensemble de définition c’est tout le reste tout simplement.
Par exemple si tu trouves une valeur interdite qui vaut -1 et bien l’ensemble de définition c’est l’ensemble des réels moins -1. Donc si tu veux c’est moins l’infini jusqu’à -1 Union -1 jusqu’à plus l’infini, en excluant -1.
Donc ça c’est vraiment une autre façon de faire mais ça revient exactement au même. Plutôt que de chercher les valeurs possibles, tu cherches les valeurs interdites et l’ensemble de définition tu l’obtiendras par contraste si tu veux.

Donc là, x+1 différent de 0 et bien ça te donne tout simplement x différent de -1. Il faut tout simplement que x soit différent de -1.
Ça c’est la première condition mais il faut que les deux soient respectées en même temps donc j’aimerais bien mettre un et ici entre ces deux conditions : ces deux conditions doivent être respectées en même temps.

Donc il faut aussi avoir ceci : x/(x+1) supérieur à 0. Donc ici on est face à une inéquation qu’on va résoudre assez rapidement mais c’est simple tu vas voir.
Alors comment on résout une telle inéquation ? Ici tu as une expression en fonction de x, ici à gauche, et tu cherches à savoir quand elle est strictement supérieure à 0.
Et pour résoudre une telle inéquation, c’est-à-dire où il y a un 0 ici à droite, et bien en fait ça revient à se poser la question d’avoir le signe du x/(x+1).
C’est une autre façon de considérer le problème. Plutôt que de résoudre l’inéquation, tu vas chercher le signe de x/(x+1) et en particulier quand est-ce que cette chose là, cette fonction de x là est supérieur à 0.
Et pour faire une étude de signe d’une telle fonction, c’est assez simple en fait puisque c’est une quotient et c’est un petit peu le même genre d’étude de signe que l’on fait quand on a un produit de facteurs.
Par exemple x facteur de (x-2). Et bien pour avoir le signe de ça tu cherches d’abord le signe de x puis le signe de x-2.
Et bien là pour obtenir le signe de ceci c’est exactement la même chose, tu cherches d’abord le signe de x et le signe de x+1.

Donc on va faire un tableau de signe très rapidement.
Alors le x il va se balader dans R mais moins -1 parce qu’il ne peut pas être égal à -1 dans cette expression.
Donc x, première ligne de ton tableau de signe, on va le faire assez rapidement ce tableau de signe, il va se balader entre moins l’infini et plus l’infini et on va mettre une valeur interdite qui va être -1.
Donc la deuxième ligne ça va être le signe de x donc je vais juste mettre x et on va avoir le signe de x très rapidement puisque ça correspond aux valeurs de x si tu veux.
Dès que tu as les valeurs de x tu peux avoir le signe puisqu’en fait tu vas avoir 0 ici et x s’annule pour x=0, donc tu mets un 0 là. Et donc ici tu vas avoir un – et un +.
Et ensuite tu mets la 2ème expression en fait le dénominateur, si ça avait été un produit de facteurs tu aurais mis le deuxième facteur et ici tu mets x+1, donc le signe de x+1, troisième ligne de ton tableau.
Et donc ici, ça s’annule pour -1 et donc là tu vas mettre un 0, dans la troisième ligne de ce tableau. Et donc là, dans la 4ème ligne ça deviendra une valeur interdite pour -1 puisque ce sera le signe de la fraction x/(x+1).
Et donc x+1 c’est négatif quand x se balade sur moins l’infini à -1 et c’est positif quand x est au dessus de -1.

Donc si tu n’es pas tout à fait au point sur le signe de ce genre de petite chose, c’est le signe d’une fonction affine, c’est à dire des expressions du type ax+b, et bien je t’encourage à aller voir les vidéo que j’ai faites sur star en math TV sur le sujet pour vraiment bien connaître le signe de petites expressions comme x+1, 2x-3 ou -x+4, ce genre de choses.
En effet il y a des petites techniques à connaitre pour avoir le signe de ce genre d’expression et tu vois qu’ici ça sert, c’est pour ça que je t encourage à aller voir ces vidéos si tu n’es pas tout à fait au point là-dessus.
Et donc le signe ensuite de notre expression finale donc x/(x+1), alors cette expression a une valeur interdite, c’est -1 donc tu mets une double barre là et ici il suffit juste de multiplier les signes entre eux si tu veux ou de les diviser.
Moins sur moins, c’est un nombre positif, donc ici tu obtiens +. Ici tu peux reporter le -. Donc moins sur plus, ça donnera un nombre négatif.
Ici ça s’annule cette expression pour x qui s’annule. Quand le numérateur vaut 0, le tout vaut 0. Donc ici ça s’annule.
Et là, tu as plus sur plus, donc c’est plus.
Donc finalement quand est-ce que cette expression est strictement positive ? Et bien quand x se balade entre moins l’infini et -1 exclu et quand x se balade aussi entre 0 exclu et plus l’infini.
Donc ça ça équivaut à x appartient à cet intervalle-là : moins l’infini jusqu’à -1 exclu puisque c’est une valeur interdite de tout façon, union 0 -donc il va falloir l’exclure aussi puisque quand x=0 l’expression vaut 0 et nous on veut que ce soit strictement supérieur à 0 donc on l’exclut-jusqu’à plus l’infini.

Donc j’espère que tu sauras maintenant résoudre ce genre d’inéquation, dès que tu as un 0 à gauche ou à droite d’une inéquation, ça revient finalement à faire une étude de signe, tu vois.
Donc dès que tu as une étude de signe à faire, si tu as un quotient ou un produit de facteurs, c’est extrêmement simple, il suffit d’étudier le signe de chaque facteur, dans le cas d’un produit de facteurs, ou le signe du numérateur et du dénominateur dans le cas d’un quotient.
Comme on l’a fait ici, tu vois, on a fait ça très progressivement pour obtenir le signe de ça. On n’a pas voulu l’avoir tout de suite, il ne faut pas aller trop vite en mathématiques, il faut vraiment y aller pas à pas.
Tu veux le signe de cette expression, et bien d’abord on va voir le signe du numérateur, ce qui est assez simple, puis le signe du dénominateur, donc ça je t’encourage à aller voir les videos, comme je te le disais qui parlent du signe d’une fonction affine donc du type ax+b. C’est toujours un petit peu la même technique pour avoir le signe de ça.
Et ensuite, une fois que tu as le signe de chacune de ces deux choses là, du numérateur et du dénominateur, tu peux avoir le signe du total.

Et voilà, on obtient ceci finalement. Donc x, à la fois il doit être différent de -1 et à la fois il doit appartenir à cet intervalle.
Mais en fait si tu veux, il n’y a pas besoin de répéter le fait que x doit être différent de -1 puisque c’est déjà inclus là-dedans si tu veux puisque x appartient à moins l’infini -1 exclu et bien forcement le x ne peut pas être égal à -1.
Donc finalement, ici, tu obtiens l’ensemble de définition de ta fonction f. Tu vois, c’est ça l’ensemble de définition.
Dès que x se balade dans cette réunion d’intervalle, alors f(x) existe, est calculable si tu veux.
Et puis si x est entre -1 inclus et 0 inclus et bien là, f(x) n’est plus calculable tout simplement.

Donc voilà comment on obtient un ensemble de définition de fonction. J’espère que tu retiendras bien ces petites règles :
La première c’est qu’un dénominateur doit être toujours différent de 0, donc tu repères tous les dénominateurs dans l’expression de ta fonction et il faut qu’ils soient tous différents de 0.
Deuxième règle, quand tu as une racine carré, et bien ce que tu as en dessous, il faut absolument que ce soit supérieur ou égal à 0 et pas strictement négatif.
Et la troisième règle, c’est que le ln d’un nombre, et bien le nombre doit être absolument strictement supérieur à 0. C’est donc la deuxième condition ici, c’est exprimé dans la deuxième condition ici.
Donc voilà pour la première partie de cet exercice.

Fonction logarithme
Début d’une fonction avec un ln
Terminale S
vidéo 2/3
Justification de la dérivabilité

Maintenant que nous venons de trouver l’ensemble de définition de notre fonction f, donc c’est bien, on connait les x pour lesquels f(x) existe, est calculable, et bien maintenant on va s’intéresser à la deuxième partie de la question dans laquelle il s’agit de calculer la dérivée f'(x) de f.
Avant de calculer la dérivée d’une fonction, toujours, normalement ce qu’il faut faire dans un devoir, c’est justifier que la fonction est dérivable avant de calculer f'(x).
Tu vois, pour calculer la dérivée, il faut savoir si la fonction est dérivable et si oui, sur quel intervalle.
Alors, généralement, la plupart des élèves vont l’oublier parce que c’est quelque chose qu’on ne fait pas trop en terminale S mais normalement il faut le justifier pour être rigoureux.
Mais là on va le faire assez vite, il y a des arguments qui permettent d’aller assez vite pour justifier que la fonction f est dérivable et sur quel intervalle.

En fait, qu’est-ce qu’on observe sur la fonction f ?
Est-ce que c’est une somme de sous-fonctions, est-ce que c’est un produit de fonctions, un quotient ?
Bon c’est une somme en fait de fonctions : la première fonction qui est 1/(x+1) et la deuxième fonction qui est ln(x/x+1).
Alors, pour étudier la dérivabilité de f, donc pour savoir si tu peux calculer f'(x) et sur quel intervalle, tu peux regarder la dérivabilité de chacune des deux fonctions.
Le premier terme, la première sous-fonction 1/(x+1) et la deuxième sous-fonction là.

Et maintenant voici les arguments qui te permettent de dire qu’une fonction est dérivable sur un intervalle.
En fait tu ne reviens pas du tout à la définition de la dérivabilité d’une fonction en un point.
Tu te souviens c’est ce fameux quotient f(x+h)-f(x)/h et tout ça à la limite quand h tend vers 0. Et ceci te permettra de savoir si la fonction est dérivable en x ou pas.
Non, on ne revient pas à cette définition très fondamentale.

En fait, on utilise des arguments plus avancés qui te permettent d’avoir la dérivabilité d’une fonction, non pas en un point comme cette fameuse définition avec la limite et le quotient assez compliquée, mais la dérivabilité sur un intervalle, c’est-à-dire sur un ensemble de points.
Et ces arguments, ce qu’il faudrait écrire sur ta copie, c’est les choses suivantes :
La première sous-fonction, vu que c’est un quotient et qu’au dessus tu as une fonction constante et au dessous une fonction affine qui est dérivable sur R, et bien ce quotient est dérivable sur son ensemble de définition qui est R moins -1 (puisque cette chose là est définie quand x est différent de -1)
Donc aucun problème, c’est dérivable sur R moins -1.

Cette deuxième sous-fonction ensuite, il faut en étudier la dérivabilité, et si oui, sur quel intervalle.
Donc cette deuxième fonction est en fait une fonction composée de 2 fonctions : la première fonction c’est ln, la fonction à l’extérieur, et la fonction à l’intérieur c’est celle-ci, x/(x+1).
Et x/(x+1), il n’y a aucun problème, c’est dérivable, comme quotient de fonctions affines. Une fonction affine en fait c’est dérivable sur R, et ça tu le sais et c’est ce qu’il faudrait écrire sur ta copie.
Donc x est dérivable sur R, x+1 est dérivable sur R et s’annule pour x=-1. Donc x/x+1 est dérivable sur R moins -1 parce qu’il faut enlever quand même la valeur interdite, c’est-à-dire la valeur pour laquelle le dénominateur s’annule.
Donc, x/x+1, la fonction à l’interieur est dérivable sur R moins -1. Donc ça pas de problème.

Ensuite, x/x+1, nous avions dit que c’était un nombre strictement positif, tu te souviens, c’est absolument nécessaire pour que ln de tout ça soit calculable, que ln de tout ça existe.
Et donc, vu que ln est dérivable sur R+* puisqu’elle est dérivable sur son ensemble de définition qui est aussi R+*, ça c’est une connaissance que tu as, alors, ln de tout ceci, est dérivable non pas sur R+* mais sur l’ensemble des x sur l’ensemble sur lequel se balade petit x et l’ensemble sur lequel se balade petit x c’est R moins -1.
Donc ln de tout ceci est dérivable sur R moins -1.

Donc là, je suis allé un petit peu vite mais c’est ce qu’il faudrait écrire sur ta copie.
Donc première chose, la fonction qui à x associe x+1 est dérivable sur R, donc, la je mettrai entre parenthèse, c’est une fonction affine. Parce que c’est une fonction affine, c’est pour ça que tu peux dire ceci.
Donc c’est le mot clé qu’il faut sortir sur ta copie, c’est vraiment important.
Donc, la fonction qui à x associe 1/x+1 est dérivable non pas sur R, attention il faut enlever la valeur interdite, est dérivable sur R moins -1, qui s’écrit comme ceci et c’est l’ensemble moins l’infini jusqu’à -1 union -1 jusqu’à plus l’infini, il faut exclure le -1.
Et donc si c’est dérivable la dessus, et bien c’est dérivable là-dessus aussi puisque ce domaine de définition, ici en rouge est un sous-ensemble de ça.
Donc forcement si ta fonction est dérivable là-dessus, elle est dérivable aussi là-dessus.
Donc ça c’est le premier point qui concernait la première sous-fonction.

Et la deuxième sous-fonction, et bien il faut dire quoi ?
La fonction qui à x associe x/x+1 est dérivable de la même façon que la précédente.
En fait on appelle ça une fraction rationnelle, c’est-à-dire un quotient qui a au-dessus, un polynôme. EN fait ici tu as un polynôme du premier degré, c’est une fonction affine, une fonction affine c’est aussi un polynôme. Donc un polynôme sur un autre polynôme, c’est ça une fonction rationnelle.
Et ces choses là sont dérivables sur leur ensemble de définition. Et ça tu peux le mettre sur ta copie. Est dérivable sur R moins -1.
Donc là je prends un peu de temps pour écrire ça mais c’est normalement ce qu’il faudrait écrire sur ta copie avant même de calculer f'(x).
Et donc ensuite, tu écrirais : vu que ln est dérivable sur R+*, ça tu le sais, c’est une connaissance de ton cours, et vu que x/x+1 est supérieur à 0, alors normalement il faudrait écrire pour x se baladant là-dedans, ou x appartenant à ceci.
Alors, la fonction qui à x associe tout ceci, donc ln(x/(x+1)) est dérivable sur R moins -1.

Alors le moins pour les ensembles est toujours penché, c’est pour ça que je le mets penché comme ça, parce que ce n’est pas le même moins que pour les nombres, c’est le moins pour les ensembles parce que R c’est un ensemble et -1 entre accolades comme ça c’est un ensemble également.
Donc là tu as presque fini, ce qu’il faudrait rajouter sur ta copie, c’est que la fonction f, comme somme de fonctions dérivables sur R moins -1, est elle-même dérivable sur R moins -1 donc à fortiori sur son ensemble de définition ici en rouge.
Voilà ce qu’il faudrait écrire sur ta copie. Je sais que c’est un peu long.
Je sais que la plupart des élèves peut-être l’oublieront parce que c’est un petit peu délicat, ce n’est pas forcement évident.
Quand t’es bon élève, si tu comprends ça, c’est vraiment bien, ça met aussi le correcteur dans une bonne disposition d’esprit, si tu prends le temps d’écrire ça avant de calculer la dériver parce que très peu d’élèves justement le font et ça montre que tu as bien compris qu’avant de dériver une fonction, il faut d’abord savoir si elle est dérivable.
Donc il faut vraiment le justifier de cette façon-là.
Alors maintenant on va s’atteler au calcul de la dérivée f'(x).

Fonction logarithme
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Terminale S
vidéo 3/3
Dérivation

A présent nous allons nous atteler enfin au calcul de f'(x), c’est-à-dire à dériver la fonction f.
Donc c’est parti.
Donc maintenant tu sais que ton petit x dans f'(x), forcément il faut savoir ce que c’est que ton petit x.
Et bien ton petit x il se balade là-dedans puisque tu sais que ta fonction est dérivable là-dedans.
Donc tu peux tout à fait écrire f'(x) sachant que petit x est là-dedans.

Donc maintenant on va calculer la dérivée en utilisant les règles que tu connais et surtout en utilisant un algorithme que je t’ai décrit dans une vidéo précédente, que je t’encourage à aller voir, c’est l’algorithme de dérivation à retrouver sur star en math TV.
Et c’est un algorithme tout simple, en deux étapes que tu peux appliquer pour dériver n’importe quelle fonction mathématique.
Donc alors, comment tu vas faire ? Ici qu’est-ce que tu vois sur la fonction f ? Est-ce que c’est une somme, un produit de fonctions, un quotient ?
C’est un petit peu la même question qu’on s’était posée pour savoir si la fonction f était dérivable ou pas et si oui sur quel intervalle.
Donc là ce qu’on voit dans un premier temps, c’est que f c’est une somme de 2 fonctions : la première et la deuxième.
Bon et quand une somme de deux fonctions, pour la dériver il suffit de dériver chaque terme, donc dériver la première fonction, celle-ci et dériver la deuxième.

Donc là finalement, sans le savoir on vient d’appliquer l’algorithme en deux étapes que je te propose.
La première étape il s’agit de savoir quelle est l’opération principale que tu fais dans ta fonction. Est-ce que c’est une somme, une différence, un produit, un quotient ou une fonction composée ? Donc parmi ces cinq opérations là.
Et ensuite la deuxième étape, c’est choisir la bonne formule.
Quand c’est une somme, il suffit de dériver chaque terme. Quand c’est une différence aussi. Quand c’est un produit et bien c’est u’v+uv’. Quand c’est un quotient c’est u’v-uv’ sur v2 et quand c’est une fonction composée U rond V et bien la dérivée c’est U’rond V fois v’.
Ça ce sont des petites formules qu’il faut connaitre très bien.

Alors là, dans un premier temps on va dériver 1/(x+1) et là tu réemploies l’algorithme, tu le réappliques.
Donc qu’est-ce que tu remarques là dessus ? Est-ce que c’est un quotient, une différence, une somme ou une fonction composée?
Bon c’est un quotient et la fonction qu’on a au dessus, le U si tu veux c’est 1 et le V c’est x+1.
Donc en fait, pour dériver ceci, puisque là il faut qu’on ait la dérivée de ceci, je vais le mettre comme ceci : 1/(x+1) avec un petit prime et derrière on veut plus la dérivée de tout ceci donc ln(x+1) et tout ceci prime. C’est la dérivée de tout ça, c’est une façon de l’écrire rapidement.

Donc la dérivée de ceci, tu appliques l’algorithme, ce qu’on vient de dire à l’oral donc ça va te donner :
« Calcul mathématique »
Donc voilà pour la dérivée de ce premier terme, de cette première sous-fonction.
Et la dérivée de cette deuxième sous-fonction, pareil, tu réemploies l’algorithme.

Qu’est-ce qu’on fait comme opération dans cette deuxième sous-fonction.
Et bien ce n’est pas un quotient, il y a un quotient mais il est à l’intérieur de la fonction ln.
Ce n’est pas vraiment une somme, en fait c’est une fonction composée de ln dans un premier temps, et la fonction à l’intérieur c’est x/ (x+1).
ET la dérivée d’une fonction composée, la formule pour dériver une fonction composée. Imaginons que tu aies une fonction composée qui se note comme ça : U rond V.
Le rond ça veut dire U de V(x) si tu veux. Comme si le V était à l’intérieur de U. Comme si x/(x+1) était à l’intérieur du ln, ce qu’on a ici.
Et bien la dérivée de ça, c’est égal à -alors c’est une formule que je t’encourage vivement à connaitre parce qu’elle te permet de retrouver plein d’autres formules, il y a plein de formules que tu n’as pas à connaitre par cœur si tu connais celle-ci.
Et celle-ci et bien c’est U’rond V et derrière, fois V’.
Donc tu gardes l’ordre si tu veux et tu mets un prime sur le U et derrière un V’. C’est comme ça que tu peux le retenir.

Donc maintenant ici, quel est ton U quel est ton V ?
Ton U c’est la fonction au début, fonction à l’extérieur, on peut l’appeler comme ça, c’est la fonction ln.
Et la fonction à l’intérieur, c’est le V, c’est x/(x+1).
Donc u’rond V, qu’est ce que c’est que la dérivée de U ici ? La dérivée de ln, c’est 1/x mais toi c’est pas 1/x que tu vas mettre, c’est 1/V(x), tu vois, U’ rond V.
Donc ça va donner un petit peu une construction à étage, cette première chose là. Donc je répète, U’ c’est 1/x, c’est la dérivée de ln mais toi c’est pas 1/x c’est 1/V(x) puisque U’ rond V c’est U’ de V(x).
Donc ici tu vas avoir :
« Calcul mathématique »

C’est un peut bizarre cette construction à étage, en fait c’est l’inverse de ce quotient, et l’inverse d’un quotient ça se note tout simplement le dénominateur au dessus, qui devient le numérateur et le numérateur qui devient le dénominateur.
Donc en fait, tout ceci c’est en fait (x+1)/x
Et ensuite, fois la dérivée de V donc la dérivée de x/(x+1) et qu’est-ce que c’est ? Et bien là, tu réappliques l’algorithme puisque tu dois dériver ceci et c’est un quotient. Donc un quotient c’est u’v-uv’ sur v2.
Ça va tu commences à comprendre comment on applique cet algorithme ? Donc là tu mets le fois de la formule, la dérivée de V donc:
« Calcul mathématique »
IL ne faut pas oublier que c’est en facteur de cela, tout ceci, qui est cela.
On voit aussi qu’au numérateur tu as x-x donc ils s’en vont.

Peut-être que tu pressens qu’il va y avoir une simplification parce qu’on a un même dénominateur qui est (x+1) au carré
On va voir comment ça se passe. Ici tu vas avoir :
ON a presque fini la dérivation, on en est au nettoyage. Tu vas obtenir :
« Calcul mathématique »

Et là, à partir de ce moment là, tu as une belle dérivée, tu vois il ne fallait pas s’arrêter là, quand tu avais calculé la dérivée de chacune des sous-fonctions de ta somme.
IL vaut mieux toujours essayer de mettre une dérivée sous la forme d’un produit ou d’un quotient.
C’est très intéressant parce que ça te permet d’obtenir le signe facilement de ta dérivée.
A chaque fois que tu dérives une fonction, tu sais que c’est pour en connaitre le signe de ta dérivée, comme ça tu obtiens après les variations de f, donc tu vois c’est ça le but de calculer une dérivée.
Une dérivée ça ne sert à rien d’autre que d’avoir les variations de ta fonction petit f. Et comment les obtenir ? En étudiant le signe de f’.
Donc obtenir le signe de f’, c’est beaucoup plus simple quand f’ est sous forme d’un quotient ou d’un produit plutôt que d’une somme. Ça c’est claire.

Donc ici, et bien tu as quasiment directement le signe puisque tu as (x+1) au carré, c’est positif.
1 : c’est positif. Et x et bien ça dépend, c’est négatif quand x est négatif et c’est positif quand x est positif.
Donc en fait, f'(x) tu as directement son signe, on pourrait continuer l’étude de fonction comme ceci:
C’est négatif quand x est strictement inférieur à 0, parce qu’il ne faut pas que x soit égal à 0 et c’est supérieur ou égal à 0, f'(x), quand x est positif tout simplement;
Finalement, le signe de f'(x), c’est le signe de x.
Et donc finalement, ta fonction f, c’est ça que tu déduirais pour avoir le tableau de variation, et bien elle est décroissante quand x est négatif et elle est croissante quand x est positif.
Donc bien sûr il faut quand même se ramener à l’ensemble de définition de f, donc en fait c’est quand x est inférieur à -1 que la fonction est décroissante et quand x est supérieur à 0, cette partie-là, f est croissante.

Voilà, pour ce petit sujet que j’ai modifié un petit peu, je me suis inspiré en fait du sujet 2012 du BAC, je l’ai modifié un tout petit peu, mais vraiment pas beaucoup, c’est juste sur l’ensemble de définition.
Et voilà comment tu peux étudier une fonction donc c’est un sujet vraiment classique qu’il s’agit de comprendre et de savoir refaire par la suite.