Définition d’un losange
Comment démontrer qu’un quadrilatère ABCD est un losange à partir des coordonnées de ses 4 sommets dans l’espace ?
Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui dans l’exercice nous allons démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange avec les points ABCD définis de la sorte : A(2 ;3 ;2), B(5 ;3 ; -1), C(1 ;2 ; -2), D(-2 ; 2 ; 1).
Alors premier rappel, qu’est ce que c’est qu’un losange ? C’est un quadrilatère qu’on n’a pas toujours l’habitude de rencontrer en lycée.
Alors un losange est tout simplement un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs de même longueur. Donc, un losange anciennement on l’appelait Rhombe. Ça c’est pour ta culture mathématique. C’est un mot qu’on n’utilise plus vraiment. Donc un losange a aussi comme propriété : 2 côtés consécutifs égaux, ses diagonales se coupent en leur milieu, comme tout parallélogramme d’ailleurs, et elles ont pour particularités de se couper en angle droit.
Donc premier exemple de losange que tu as dans ta tête c’est par exemple le carré. Un losange ressemblerait à ceci.
<calcul mathématique>
Une autre propriété du losange est que ses 4 côtés sont de même longueur. Donc ici ce qu’on pourrait faire c’est de l’indiquer comme ceci. Voilà !
Donc ça c’était pour rappel. Maintenant comment démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange à partir des coordonnées de ses sommets dans l’espace qui plus est. Ce n’est pas des coordonnées dans le plan puisque ses coordonnées ont une troisième dimension : une côte.
Alors pour le démontrer ce qu’on peut faire c’est calculer la distance entre les points AB, les points BC, les points CD et les points AD. Puisque si tu appelles ce losange ABCD on n’a qu’à calculer, en fait, la distance entre les points, en fait la longueur des côtés de ce quadrilatère. Et si on montre que les longueurs de ses côtés sont égales alors on aura montré qu’ABCD est un losange. C’est une façon de le démontrer, une première façon. Donc c’est ce qu’on va faire.
Donc la première façon c’est ceci, on va calculer la distance entre A et B et cette distance correspond en fait à la longueur AB tout simplement. Il y aune égalité ici.
Pour calculer la distance entre A et B donc il existe une formule dans ton cours et cette formule c’est la formule avec la longue racine carré tu sais. Alors cette racine carré on va la mettre ici et à l’intérieur de cette racine carrée tu as la différence des coordonnées de ces 2 points au carré donc :
<calcul mathématique>
Tu remarques que pour jouer, entre guillemets, j’ai inversé l’ordre ici, j’aurai pu mettre (Za-Zb)². Pourquoi j’ai fait ça ? C’est pour te montrer qu’il ne faut pas avoir peur ici de modifier l’ordre des points A et B. Tu pourrais mettre (Xb-Xa)² puisqu’il y a un carré en fait (Xb-Xa)² c’est égal à (Xa-Xb)² et de la même façon pour (Ya-Yb)² et (Zb-Za)².
En fait il ne faut pas avoir peur d’inverser le A et le B ici.
Donc voilà pour ce rappel de cours. Calculons donc la distance AB :
<calcul mathématique>
Calculons maintenant les longueurs des autres côtés du quadrilatère ABCD. Bien sûr ne pas encore dire que c’est un losange puisque il faut le démontrer. Donc on va calculer maintenant la longueur du côté BC :
<calcul mathématique>
C’est bon signe puisque déjà on trouve que les longueurs des côtés AB et BC qui sont 2 côtés consécutifs du quadrilatère ABCD sont égales et valent √18. Toujours encadrer ton résultat, que ce soit sur ton brouillon et bien sûr sur ta copie, car ça te permet de mieux te repérer au fur et à mesure de ton avancée dans la résolution de l’exercice.
Donc là déjà c’est bon signe ! On va calculer maintenant la longueur du troisième côté, très rapidement, qui est le côté CD :
<calcul mathématique>
Donc là super ! C’est encore bon signe, on approche, on a presque terminé la démonstration puisqu’il nous reste plus qu’à démontrer que la longueur du dernier côté, du quatrième côté de notre quadrilatère vaut √18. Ce côté AD, on en calcule tout de suite la longueur. Donc on considère le point A et le point D. On applique cette formule comme toujours :
<calcul mathématique>
Voilà ! Donc ceci termine la démonstration puisqu’on vient de montrer que notre quadrilatère ABCD possède 4 côtés de même longueur et ceci c’est une définition d’un losange. Donc là on a vraiment montré que notre quadrilatère ABCD est un losange.
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