Démontrer une inégalité avec des racines carrées

Alors, comment on fait ce genre de chose ?

Et bien on remplace a et b par les racines de a et racine de b.

Alors c’est a et b ou c’est plutôt f(a) et f(b) ?

f(a) et f(b), c’est-à-dire…

Oui, d’accord. Donc, j’écris, je t’écoute.

Donc ça va faire : <Calcul mathématique>.

Là le f(A), c’est √a, tu vois entre parenthèse, comment on va écrire tout ceci ?

<Calcul mathématique>, oui c’est ça, c’est-à-dire que tout est sous la racine. Donc là, je ne suis pas obligé de mettre des parenthèses mais il faut mettre une racine qui soit prolongée jusqu’au dénominateur. D’accord ?

Ok.

Et l’idée c’est de démontrer que ça c’est supérieur ou égal. Donc je vais mettre un point d’interrogation, je ne sais pas du tout ce qu’il faut écrire au début. C’est justement ce qu’il faut écrire à la fin, c’est ce qu’il faut démontrer. Donc supérieur ou égal à quoi ?

A la racine de a plus la racine de b, sur deux.

Très bien. Alors comment on va faire ce genre de démonstration là.

Et bien moi déjà, j’ai l’idée de mettre au carré.

Alors, c’est bien de mettre au carré, le problème c’est que : comment tu raisonnes ? Tu vois, c’est-à-dire que là, est-ce que tu écrirais ça au début, tu vois, j’ai déjà écris l’inégalité. Mais le truc c’est qu’il faut le démontrer. Tu vois ce que je veux dire ?

Oui.

On doit partir de l’inégalité.

Oui exactement, tu ne peux pas partir de ce que tu veux démontrer à la fin. Donc ça, c’est vraiment notre objectif en fait, notre but. C’est pour ça que j’ai mis un point d’interrogation. Donc comment tu vas raisonner finalement pour essayer de…

Et bien on le fait séparément.

Oui d’accord. C’est une bonne idée. C’est une très bonne idée vu que tu as des racines. Les racines carrées c’est un peu comme les valeurs absolues en maths, c’est embêtant. Donc ce qu’il faut essayer de faire, c’est toujours de les enlever.

Et donc, pour enlever une racine carrée, tu as eu la bonne idée de mettre au carré. Moi je te conseille de commencer déjà par le premier nombre ici.

Quel est ce premier nombre au carré. Qu’est-ce que ça nous donne ?

Ça nous donne (a+b)/2.

Exactement, très bien. Alors maintenant, je ne mets rien ici, et là, à droite, qu’est-ce que ça nous donne ?

Ça nous donne (a+b)/4.

Alors erreur Alexandra, erreur, tu es allée trop vite. Est-ce que tu vois pourquoi ?

Oui.

Alors tu vois tu t’en rends compte. Ça, c’est le genre de reflexe qu’on a qui nous font faire des erreurs. Mais bon, des fois il faut être un peu plus long, progressif. Alors qu’est-ce que ça va nous donner du coup.

Ça donne <Calcul mathématique>.

Alors, est-ce que tu es sûre ?

Non ça donne <Calcul mathématique>.

Alors est-ce que tu es sûre. Pas loin mais presque. Il y a encore une petite erreur. Donc là, je suis d’accord, mais moi je te propose vraiment d’y aller progressivement.

Regarde, ici, on va dire que c’est u, ici on va dire que c’est v, et toi tu veux mettre (u+v)². Est-ce que tu peux me dire déjà combien ça vaut tout ça ? (u+v)²

Ça nous donne u²+2uv+v².

C’est bien. Alors du coup, en appliquant exactement cette formule, c’est vraiment ce que je vous recommande de faire, à chaque fois, il faut y aller progressivement dans vos calculs. Donc sur votre brouillon, vraiment, indiquez quelle est l’identité remarquable que vous utilisez. Indiquez surtout quel est votre, donc des fois vous la notez plutôt (a+b)² ; mais là, je n’ai pas remis a et b parce qu’on a déjà des a et b, il ne faut pas les confondre. Donc, j’ai noté ça u et v. Et je vais noter quel est mon u, donc là, mon u c’est quoi ?

<Calcul mathématique>

Donc effectivement, ici j’obtiens 2uv, c’est-à-dire <Calcul mathématique>. Voilà, ça c’est important. Et tu vois, c’est faire ces étapes-là, qui te permettent de ne pas faire d’erreur, sinon tu vas trop vite dans ton esprit et c’est trop risqué en fait. Donc là, <Calcul mathématique> tu me l’as déjà dit, sur 4, exactement.

Bon et bien, c’est pas mal tout ça.

Comment on va continuer ?

Et bien peut-être mettre la première expression sur quatre pour voir ?

Oui, c’est vraiment une bonne idée, on peut essayer de faire ça. Alors comment on va mettre cette première expression sur quatre ?

On va multiplier par deux en haut.

Très bien, donc deux fois tout ça, et deux fois le dénominateur. Je note en-dessous. Donc <Calcul mathématique>. C’est bien. Ok.

Alors, est-ce que tu es d’accord qu’au niveau du raisonnement, tu vois je n’ai rien mis entre ces nombres, j’ai mis juste un point, tu vois ? Donc comment on va comparer ces deux nombres.

L’idée c’est vraiment d’essayer de comparer ces deux nombres, parce que si tu arrives à les comparer, et bien tu pourras passer facilement de là ou de là, on va voir, à là. Ça ne sera pas forcément évident, mais on va voir comment. Mais ce sera une deuxième étape en tout cas. Déjà la première étape serait de comparer ce nombre là, nombre 1 et ce nombre 2. Donc là, tu as eu l’idée de mettre sur 4, c’est très bien mais, comment on va comparer deux nombres, comment on compare deux nombres en général. Est-ce que tu n’as pas une idée.

Est-ce que tu as une technique pour comparer deux nombres ?

Et bien, les mettre par rapport à zéro ?

Oui c’est presque ça, ça veut dire quoi exactement les mettre par rapport à zéro ?

Par exemple, faire f(b)-f(a), si f(b)-f(a)>0, ça veut dire que  f(b) est supérieur à f(a).

Oui, exactement, et là, comment on va faire pour ces deux nombres ? Donc ces deux nombres, ce n’est pas f(a) et f(b) tu es d’accord ? Mais c’est ça l’idée oui. Donc ça, ce nombre, comment on peut l’appeler. On va l’appeler, j’en sais rien, N, celui-là M et là, et si on faisait ça tout simplement.

On va les soustraire ?

Voilà, on va les soustraire, et on va comparer les signes en fait, de ce qu’on va trouver, et donc on va faire N-M et qu’est-ce qu’on va obtenir alors ? Donc là, c’est bien parce qu’ils sont sous le même dénominateur.

On va obtenir <Calcul mathématique>. Donc je mets un grand /4, un grand trait, et derrière donc <Calcul mathématique>.

Voilà, c’est ça, et donc, du coup, à partir de là, et bien comment on va faire ? On peut nettoyer certaines choses quand même ?

Donc déjà, il nous reste <Calcul mathématique>, d’accord, ça fait <Calcul mathématique>. Voilà.

Donc ça je vais mettre ça comme ça. Très bien. Donc ça, c’est déjà pas mal déjà. Alors maintenant, comment on va faire pour trouver le signe de cette chose en fait, parce qu’une fois qu’on est passé de N à M, enfin de vouloir comparer N et M à N-M, c’est-à-dire essayer de trouver le signe de N-M.

Parce que je rappelle à tout le monde que, une technique pour comparer le nombre, ici, les nombres N et M, et bien c’est comme on l’a dit, comme Alexandra l’a dit, c’est de faire la différence de ces deux nombres.

Peu importe comment on la fait, que l’on commence par N ou par M, peu importe, mais juste, si on obtient à la fin, N-M supérieur ou égal à zéro, c’est-à-dire N-M positif, ça voudra dire que, je vais l’écrire, N-M, si on le trouve, ce n’est pas sûr, on va voir, supérieur ou égal à zéro, ça veut dire que N est supérieur ou égal à M, c’est la même chose. Donc, ça c’est à mon avis, ce qu’il va falloir démontrer. Le truc c’est comment on va faire ?

Et bien il faut démontrer que le numérateur est positif.

C’est très bien, parce que le dénominateur lui, il est 4, il est positif, pas de soucis. Donc comment on fait pour prouver maintenant que ça, sachant à mon avis que dans ton affaire, ton exercice, a et b, ce n’est pas n’importe quel nombre. A mon avis, ils ne sont pas réels tout le temps comme ça. Tout simplement parce que déjà tu ne peux pas prendre la racine carrée de a comme ça. A mon avis, c’est des nombres…

C’est des réels positifs.

Voilà R+, je le rajoute ici, R+. Je rappelle que R+, c’est tout simplement l’intervalle zéro inclus, jusqu’à plus l’infini. Donc, voilà. Alors maintenant, comment on va faire pour montrer que ça c’est positif ?

Et bien déjà, on sait que a+b c’est positif.

Ça c’est vrai mais alors derrière tu as un « moins », comment on va faire ? Il y a quelque chose d’embêtant.

La racine de a et la racine de b ça va être positif, et après c’est le -2.

Et oui, -2 fois quelque chose de positif ça veut dire que <Calcul mathématique>, c’est négatif tout ça avec le moins, donc, tu as quelque chose de positif moins quelque chose de négatif, du coup, tu ne peux pas vraiment comparer. Tu es d’accord, c’est un peu ennuyeux. En fait, je te rappelle que là, à la fin, tu aimerais prouver que tu as supérieur ou égal, enfin, que ça c’est supérieur ou égal à zéro. Et bien en fait, pareil, comment démontrer que, donc là on repart dans un sous-problème finalement, il va falloir démontrer que cette chose, que ce numérateur est positif.

Et quand tu auras démontré, on va remonter donc à la fin, quand tu auras démontré que ça c’est positif, quand tu auras démontré que N-M supérieur ou égal à zéro, donc que N est supérieur ou égal à M. Une fois que tu auras N supérieur ou égal à M, et bien tu auras prouvé que le premier nombre, enfin la racine carrée de N plutôt, est supérieure ou égale à la racine carrée de M. Mais ça on y reviendra parce que ce passage là, que j’ai fait figuré avec la flèche rouge, n’est pas évident. C’est la deuxième étape.

Maintenant donc, le sous-problème dans lequel on est, c’est effectivement comment montrer que ce dénominateur-là est positif. Donc, toi tu essaies de comparer un petit peu les nombres-là, à l’intérieur, est-ce que tu as une technique pour trouver le signe d’un nombre en général ?

Un tableau de signes ?

En tout cas ce n’est pas vraiment une technique, c’est plutôt l’outil qui va te permettre de visualiser les signes. Mais comment tu vas faire un tableau de signes, en tout cas comment trouver le signe d’une expression, et bien tu peux factoriser. Ce serait bien de factoriser.

Est-ce que tu sais comment on pourrait factoriser ça ?

Ça, ça fait, <Calcul mathématique>

Pas loin, en fait, ce qu’il faut faire, c’est rappeler tes identités remarquables, je vais en rappeler une, donc j’espère qu’elle va te rappeler quelque chose. Je vais la mettre juste ici.

(u-v)², alors qu’est-ce que ça vaut ça ?

<Calcul mathématique>

Voilà. (Je n’écris pas très bien). Mais tu as vu, est-ce qu’on n’a pas des choses qui sont ressemblantes ici ?

Oui.

Alors quel serait mon u en noir et mon v en noir ?

Et bien le u ce serait racine de a. Voilà et on peut le prendre racine de a parce que je rappelle à tout le monde que a est positif. Donc on peut prendre la racine carrée d’un nombre positif.

<Calcul mathématique>. C’est bien. Et quand je mets ça au carré, et bien je retombe exactement là-dessus. Tu vois ? Et quand on factorise, alors je n’ai pas fini mon explication mais une technique pour trouver le signe d’une expression, et bien c’est de la factoriser. Quand une expression est sous la forme de produits de facteurs, et bien il suffit de regarder le signe de chacun des deux facteurs mais là, c’est complètement simplifié, on va voir pourquoi ? Il suffit de regarder le signe de chacun des deux facteurs pour obtenir le signe de ton expression finale. Tu comprends ça ?

Oui.

Oui. Et donc, du coup là, vu qu’on a même trouvé une inégalité, entre cette expression, on va dire développée et cette expression factorisée, alors quel est le signe de ton numérateur. Est-ce que tu ne peux pas conclure tout de suite ici ?

Et bien on peut tout de suite dire que c’est positif. Tout simplement parce que c’est un carré, donc ça c’est supérieur ou égal à zéro. Et là, c’est gagné presque, je vous avais dit que c’était le sous-problème dans notre exercice. Là c’est gagné, enfin presque, parce qu’on a N, du coup, je vais l’écrire en rouge même, N-M, on vient de prouver que c’est supérieur ou égal à zéro, donc, c’était la sous-conclusion à laquelle je voulais vous faire arriver. Donc, on a N, qui est supérieur ou égal à M, tu es d’accord avec ça ? Et donc, je remonte un peu, petit à petit. Là on était dans un sous-problème. Quand on est dans un sous-problème en maths, ça se passe comme ça, regardez. On part d’un point de départ, on a le point d’arrivée. Et bien, là vous partez, vous avancez dans la résolution, mais vous rencontrez des sous-problèmes. Donc en fait, c’est des étages, imaginons, donc là, à chaque fois, par exemple ce premier étage là, et bien vous rencontrez un deuxième sous-problème, ensuite un troisième, et si vous arrivez à résoudre ce troisième sous-problème, vous avez fini de le résoudre, et bien vous pouvez remonter.

C’est-à-dire que là vous avez fini le problème 3, donc là, vous montez au sous-problème 2, vous le résolvez. Vous montez au sous-problème 1 et vous arrivez à votre objectif final. Donc là, c’est ce qui s’est passé. On a vu juste u, un sous-problème, donc pas deux ou trois. Donc là on a trouvé que N supérieur ou égal à M, donc on va noter ça, et là, ça on l’a démontré vraiment. Là c’est vrai, on l’a démontré en partant de l’écriture juste de chacun des deux nombres en en faisant la soustraction et en démontrant que la soustraction est positive. Donc là on l’a démontré après ça. Ensuite, comment passer de là à là ? C’est-à-dire comment conclure finalement ?

Comment faire cette deuxième étape ?

Est-ce que tu sais tout simplement pourquoi on a le droit de mettre la racine carrée de deux nombres en gardant l’inégalité, le sens de l’inégalité ici ? Tu vois, ici tu as le sens qui est préservé.

Parce que la fonction carrée elle est croissante ?

Et bien ça c’est parfait. C’est parfait Alexandra. Tu as tout compris. C’est exactement ça la raison. Donc pour tout le monde, je vais faire un petit schéma. Est-ce que je peux effacer ce qu’il y a en dessous-là ?

Oui, tu es toujours là Alexandra ?

Oui ici…

Pas de problème, on est tous sains et sauf. Donc là on va effacer ce qu’il y a en dessous, je pense que c’est bon ?

Donc la raison que tu m’as évoqué, c’est tout à fait, on peut prendre la racine carrée de deux nombres, donc je vais noter le premier nombre, c’est tout simplement N, voilà. Et regardez, on a N et M qui se baladent sur un axe horizontal, d’accord ?

Je l’ai placé, sachant qu’on sait que N est plus grand que M. Et ça c’est quelque chose qu’on vient de démontrer. On est sûr de ça. N, est au-dessus de M, donc c’est comme ça. Donc, ce sont aussi des nombres positifs, il suffit de regarder a et b sont deux nombres positifs, donc a + b aussi, donc N c’est positif. Ça, il n’y a pas de soucis, et M aussi puisque a et b sont positifs et <Calcul mathématique> c’est positif, donc tout ça, c’est positif aussi, donc ici on a zéro. C’est ça que ça veut dire. C’est que ces deux nombres N et M appartiennent à R+. Ils sont dans l’intervalle de zéro à plus l’infini.

<Figure>

Et bien c’est ça exactement. Ici, on a la courbe de la fonction racine carrée, et donc du coup, si je prends la racine carrée de M, c’est-à-dire ce deuxième nombre mauve ici, et bien il va se retrouver où en fait sur notre schéma ? Est-ce que tu sais me dire ?

La racine carrée de N, et bien elle va se retrouver là où vous avez mis le point.

A ce niveau-là ou plutôt sur l’axe des ordonnées ?

On pose perpendiculairement.

C’est bien, c’est ça. Donc ici, on a la racine carrée de M. Donc c’est bien que tu aies compris ça, c’est parfait.

<Figure> Je prends le point de la courbe en fait, et ensuite, l’ordonnée c’est forcément la racine carrée, tout simplement parce que les points verts, tous les points de la courbe verte, ce sont des points de coordonnées et bien x, et comme coordonnée donc racine carrée de x. <Figure>. Et bien qu’est-ce qu’on observe sur cet axe Dy, et bien on observe tout simplement racine carrée de N est supérieur à la racine carrée de M. Et c’est exactement ce qu’on voulait démontrer.

Donc là, à la fin sur ta copie, tu conclurais, vu que N et M sont deux nombres positifs, donc ils sont à droite ici, sur l’axe des x, d’accord ? Et bien, vu que la fonction racine carrée est positive sur l’intervalle de zéro à plus l’infini sur R+ tout simplement. Pas positif, pardon, croissante, et bien, tu peux prendre la racine carrée et quand tu prends la racine carrée de M, et la racine carrée de N et bien l’inégalité est conservée. Donc tu as racine carrée de N, supérieure ou égale à la racine carrée de M.

Ça va, tu saisis Alexandra ? Je pense que tu as compris là.

Oui.

Et bien c’est tout. Ça termine ton exercice. Donc l’idée c’était vraiment déjà de ne pas partir, factoriser effectivement à partir d’un moment, mais déjà de ne pas partir de l’inégalité, ça c’est une faute de raisonnement. Il ne faut pas partir de l’inégalité. Il faut prendre chacun des deux nombres séparément. Et ensuite, et bien tu les mets au carré parce que tu aimerais comparer, on est d’accord, les deux nombres. Pris séparément donc, comment comparer deux nombres ? L’idée c’est d’en faire la soustraction, mais ici tu as des racines carrées, c’est un peu ennuyeux, déjà il faut enlever la racine carrée, donc comment tu l’enlèves, et bien tu le mets au carré. C’est ce qu’on a fait ici. On a obtenu les nombres N et M en orange. Et ensuite, ces deux nombres et bien tu pouvais les comparer beaucoup plus facilement, donc tu en fais la soustraction. Tu trouves la factorisation à l’aide de la fameuse identité remarquable (a-b)², ou ici c’était (u-v)², et puis voilà, ensuite, tu concluais, tu conclus en disant que vu que la fonction racine carrée est croissante, et bien la racine carrée de N est supérieure ou égale à la racine carrée de M. Voilà. C’est tout.

D’accord.